专题27 圆锥曲线中的面积问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解析】抛物线，焦点坐标，准线方程为，
设点，由抛物线的定义可知，等于到准线的距离，即，
又，故，故，.故选：C.
2．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6B．12C．D．
【解析】由椭圆，得，，.

设，，
∴，在中，由余弦定理可得：，
可得，得，故.故选：C.
3．已知是抛物线的准线，为的焦点，分别为和上的两点，与轴交于点，且四边形的面积为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由抛物线定义及，则，即为直角梯形，
又，则，即△为等边三角形，
所以，在Rt△中，，，
故四边形的面积为，可得，
又，则，故抛物线为.故选：D
4．已知双曲线的左右焦点为，P为右支上除顶点外的任意一点，圆I为的内切圆，且与x轴切于A点，过作，垂足为B，若，则的面积为（ ）
A．B．C．9D．2
【解析】由题意知：，内切圆与轴的切点是点，
设与交于点，圆I与切于点，与切于点，连接，
由及圆的切线的性质知，，为的中点，
由圆的切线的性质知，
，∴，
设内切圆I的圆心横坐标为，则，，即，
为的中点，为的中点，，,
在中，有：,
的面积为.故选：B.
5．已知直线l：与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线：和：交于点P，则的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】根据题意可知，动直线过定点，动直线：，即过定点，
因为，所以无论m取何值，都有，
所以点P在以OB为直径的圆上，且圆心坐标为，半径为，
设，则点P的轨迹方程为，
圆心到直线l的距离为，则P到直线l的距离的最小值为．
由题可知，，则，
所以的面积的最小值为．故选：B

6．已知过抛物线C：的焦点的直线与抛物线C交于A，B两点（A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D．若，为坐标原点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．4
【解析】依题意，，所以抛物线的方程为.
依题意可知与抛物线的准线垂直，在直角三角形中，，
则，所以直线的方程为，
由消去并化简得，
易得，，则，
原点到直线的距离为，所以.故选：B

7．已知抛物线C：，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，直线OA，OB的斜率分别为，，且，直线AB与x轴的交点为P，则的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】不妨设直线AB的方程为，
联立，消去x并整理得，
不妨设，，，由韦达定理得，，
因为A、B是抛物线C上两点，OB的斜率分别为，，且，
所以，又，
所以，解得，此时，则直线AB的方程为，
因为直线AB与x轴的交点为P，所以，易知抛物线的焦点，
则
，
当时，的面积取得最小值.故选：B.

8．已知，分别为双曲线的左、右焦点，直线过点，且与双曲线右支交于A，两点，为坐标原点，、的内切圆的圆心分别为，，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设圆与，，分别切于点，，.由双曲线定义知，，
∴，∵，，，
∴，又，∴，，即点为双曲线的右顶点.
∵轴，∴的横坐标为1，同理：横坐标也为1.
∵平分，平分.∴，
设、的内切圆半径分别为，，∵轴，∴，
∵，∴.
设直线倾斜角为，又为双曲线右支上两点，
又渐近线方程为，∴由题意得，∴，
∴，又在单调递减，在单调递增
当时，；当时，；当时，
∴.故选：B.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知拋物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于两点，则（ ）
A．
B．
C．以线段为直径的圆一定与直线相切
D．的面积的最小值为4
【解析】对于选项A，因为抛物线的准线为，所以，则，故选项A错误.
对于选项 B，抛物线，过点的直线方程为，则整理可得，设，可得 ，
，
所以，故选项 B 正确.
对于选项C，设的中点为，则点到轴的距离，所以以线段为直径的圆一定与直线相切，所以选项C正确.
对于选项D ，，
所以当时，，故选项D 正确.
故选：BCD .
10．设抛物线的焦点为，为坐标原点，直线与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，则（ ）
A．B．
C．是钝角D．的面积小于的面积
【解析】直线过抛物线焦点，设，，
则，，，，
，A错误；
中点坐标为，，，
圆方程为：，取得到，，B正确；
不妨取，，
故，不共线，故是钝角，C正确；
，，
，D正确；
故选：BCD
11．已知椭圆，为的右焦点，为的左顶点，为直线与的两个交点，则（ ）
A．的取值范围是B．周长的最小值为
C．的面积的最大值为D．直线与的斜率之积为
【解析】对于椭圆，则、，所以，
所以，，又，为直线与的两个交点，
显然直线的斜率不为，且、不可能在轴上，、两点关于原点对称，
所以，即，故A正确；
设椭圆的左焦点为，根据对称性可得，
所以，
要使周长的最小，只需取得最小值，由椭圆的性质可知，
所以，当且仅当时取最小值，即、分别在上、下顶点时，故B正确；
设，则，则，因为，
所以，当且仅当时取最大值，即、分别在上、下顶点时，故C错误；
由，，所以，又，
所以，所以，故D正确；
故选：ABD
12．已知椭圆的左，右焦点分别为，过点垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，若点P是椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的面积的最大值为
C．的取值范围为
D．C上有且只有4个点P，使得是直角三角形
【解析】由题意得是等边三角形，所以的周长为，所以，
令，则，则，所以，
所以椭圆，
对于A，当点位于上下顶点时，最大，
此时的最小为，故A错误；
对于B，设，则，
所以的面积的最大值为，故B正确；
对于C，设，则，所以，
又，则，
因为，所以，所以，故C正确；
对于D，由A选项可知，最大时为锐角，
所以以点为直角顶点的不存在，以点为直角顶点的分别有2个，
所以C上有且只有4个点P，使得是直角三角形，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在的右支上，且，则的面积为 .
【解析】由，得，
所以，可得.
不妨设，，所以，所以点在以为直径的圆上，
所以是以为直角顶点的直角三角形.故．
又因为点在双曲线的右支上，所以，
所以，解得，
所以．故答案为:8.
14．已知抛物线的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线，，且直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是 .
【解析】由题意可得，直线的斜率存在且不为0，

设直线：，，，由于直线，互相垂直，则，
联立，整理得，
则，，从而，
同理可得，
四边形的面积，当且仅当，即时，等号成立，即四边形ADBE面积的最小值是128，
15．已知抛物线，圆，设为坐标原点，过圆心的直线与圆交于点，直线分别交抛物线于点（点不与点重合）.记的面积为，的面积为，则的最大值 .
【解析】由题意，知直线AB的斜率不为0，故设直线AB的方程为x=my+4，
如图，设．
将直线AB的方程代入圆E的方程中，消去x，得，
所以，所以，且．
直线OA的方程为，代入抛物线方程，
消去x，得，解得或，所以．同理，得，
所以
，
所以当m=0时，取得最大值，为．

16．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦AB过焦点，为其阿基米德三角形，则的面积的最小值为 ．
【解析】设，直线，
联立，整理得，则．
设过点的切线方程为，联立，整理得，
由，可得，
则过点A的切线方程分别为：，即，即，即，同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：，
因为两条切线的交点在准线上，所以，
两式相减得，
，，可得，
，又因为直线的斜率为，
（也成立），如图，设准线与轴的交点为，
的面积，当轴时，最短（最短为），也最短（最短为），
此时的面积取最小值．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆的一个焦点为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
【解析】（1）由题意得，解得，
所以椭圆的方程为，
（2）设，由，得，
因为直线与椭圆交于两点，
所以，解得，
所以，
所以，
因为点到直线的距离为，
所以的面积为，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为，此时直线的方程为.
18．椭圆的左顶点为，右顶点为，满足，且椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点在椭圆的内部，直线和直线分别与椭圆交于另外的点和点，若的面积为，求的值．
【解析】（1）由题意,,得.离心率,得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设，点,直线的方程为,即.
与椭圆方程联立得:,解得:.
点,直线的方程为.
与椭圆方程联立得:,解得: .
三角形面积比.
又因为,
所以，
由题意, ,整理得,解得:或.
又由点在椭圆内部,故,即.

19．设椭圆的左､右顶点分别为，且焦距为.点在椭圆上且异于两点，若直线与的斜率之积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线，交于点.求面积的最大值.
【解析】（1）由题意知：，，设，
则，，
又，，，椭圆的标准方程为：.
（2）
设直线，，则，
由得：，
显然，，，，又，
直线方程为：，
令，则，
直线过定点；
而，
则，
令，有在上单调递增，
则，即时 ，取最小值4，
于是当时，，
所以面积的最大值是.
20．已知 的两顶点坐标，．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)不垂直于轴的动直线与轨迹相交于两点，定点，若直线关于轴对称，求面积的取值范围．
【解析】（1）在中，由，得，
由正弦定理得，
因此动点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆（点外），
显然此椭圆半焦距，短半轴长，
所以动点的轨迹的方程为．
（2）依题意，直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为， 点，
由消去x并整理得：，
，化为，
，
由直线关于轴对称，得直线的斜率互为相反数，
即，且，则，
即，于是，
化简得，即有，满足，因此直线经过定点，
则面积
，
令，函数在上单调递增，于是，
即，从而，
所以面积的取值范围是.
21．设抛物线方程为，过点的直线分别与抛物线相切于两点，且点在轴下方，点在轴上方.
(1)当点的坐标为时，求；
(2)点在抛物线上，且在轴下方，直线交轴于点，直线交轴于点，且.若的重心在轴上，求的最大值.（注：表示三角形的面积）
【解析】（1）解法一：设，，，
由，可得，当 ，
当，所以，直线的斜率，
直线：，又∵在上，
，所以，又，所以，
同理可得，∴，
∴；
解法二：设，，，由，可得，
所以，直线的斜率，直线：，又∵在上，
故，即，
因为，所以，同理可得，故直线的方程为，
联立消去，得，故，
故
（2）设，由条件知，
∴
，∵ ∴，
∴当时，取得最大值.
22．已知椭圆的短轴长为，一个焦点为．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值．
【解析】（1）由题设
解得 所以椭圆的方程为．
的离心率为．
（2）设椭圆的另一个焦点为，则直线过点．
由 得．
设，则，．
由题设，点为线段的中点，所以点和点到直线的距离相等．
所以四边形的面积为面积的倍．
又，所以
．
所以．
设，则．
所以．
当且仅当，即时，．
所以四边形的面积最大时，．