四川省巴中市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份四川省巴中市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
3．一元二次方程 配方后可变形为（ ）
A． B．C．D．
4．如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（ ）

A．B．C．D．
5．若是一元二次方程的根，则的值为（ ）
A．B．5C．D．24
6．如图，与位似，点是位似中心，若，的周长为3，则的周长为（ ）
A．9B．12C．16D．27
7．如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关C．只闭合3个开关D．闭合4个开关
9．如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（ ）
A．8米B．9米C．10米D．10.2米
10．对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A．B．C．且D．且
11．已知，化简得（ ）
A．B．C．D．
12．如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，取A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…利用这一图形，能直观地计算出（ ）
A．1B．C．D．
二、填空题
13．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
14．如图，在平行四边形中，点在上，连接并延长与的延长线交于点，若，则的长为 ．
15．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，那么的值为 ．
16．如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点．若四边形与矩形相似，则 ．
17．一对夫妇有两个孩子，若其中一个孩子是男孩，则另一个是女孩的概率是 ．
18．如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为 ．

三、解答题
19．（1）计算：．
（2）解方程：
①
②
20．已知：如图，．
(1)求证：；
(2)如果，求的长．
21．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求的值．
22．某数学小组为调查重庆实验外国语学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“：乘坐电动车，：乘坐普通公交车或地铁，：乘坐学校的定制公交车，：乘坐家庭汽车，：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．
（1）本次调查中一共调查了 名学生；扇形统计图中，选项对应的扇形圆心角是 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若甲、乙两名学生放学时从、、三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率．
23．的顶点坐标分别为．
(1)作出与关于轴对称的，并直接写出点的坐标；
(2)以原点为位似中心在原点的另一侧画出，使，并直接写出点的坐标．
24．某商场今年年初以每件元的进价购进一批“网红”商品．当商品售价为元时，一月份销售件，三月份销售3240件．设二月和三月该商品销售的月平均增长率相等．
(1)求二月和三月该商品的月平均增长率；
(2)从四月初起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？
25．随着技术的进步与发展，生活中的测量技术也与时俱进．小颖与家人到经开区九寨山公园游玩时想用无人机来测量公园内两点之间的距离（位于同一水平地面上），如图所示，小颖站在处遥控空中处的无人机，此时她的仰角为，无人机的飞行高度为，并且无人机测得湖岸边处的俯角为，若小颖的身高，（点在同一平面内）．求、两点之间的距离．（结果精确到）
26．已知，如图在中，，点在边上，交于点．
(1)当时，求线段的长；
(2)已知，点在边上且四边形是矩形，求四边形的最大面积；
(3)已知点是边上的一动点，当线段的长为何值时，是等腰直角三角形？
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答．
【详解】A．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
B．含两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
C．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D．是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
2．D
【分析】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断．
【详解】A、，与不是同类二次根式，故此选项错误；
B、，与不是同类二次根式，故此选项错误；
C、与不是同类二次根式，故此选项错误；
D、，，与3是同类二次根式，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次根式．
3．B
【分析】本题考查了配方法的基本步骤，熟练掌握配方的基本要领是解题的关键．
【详解】，
，
，
，
故选B．
4．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；逐一判断即可求解，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：∵∠是公共角，
∴再加上或，根据“如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似”，都可判定，故选项不符题意；
∵是公共角，再加上，即，根据“如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似”，可判定，故选项不符题意；
而加上，即，对应边成比例，但不是相应的夹角相等，不能单独判定，该选项符合题意；
故选：．
5．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．，掌握以上公式是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【详解】∵是一元二次方程的根，
∴，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了位似变换，利用位似的性质得，，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【详解】∵与位似，点为位似中心．
，，
∴的周长：的周长，
∴的周长为．
故选：A．
7．C
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
只有选项C错误，符合题意．
故选C．
8．B
【分析】本题考查了随机事件的判断，根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．解题的关键是根据题意判断小灯泡能否发光．
【详解】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意．
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了相似三角形的应用，作于点，如图，则四边形为矩形，，，利用“在同一时刻物高与影长的比相等得到” ，求出从而可得到的长．
【详解】作于点，如图，
则四边形为矩形，，，
根据题意得，
即，
解得，
所以．
答：旗杆的高度为米．
故选：A．
10．A
【分析】本题考查了根的判别式，先利用新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解不等式即可．
【详解】，
，
方程化为一般式为，
方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
故选：A．
11．B
【分析】首先将两个根式的被开方数化为完全平方式，再根据a的取值范围，判断出底数的符号，然后根据二次根式的意义化简．
【详解】解∵，
∴=；
∵，
∴，，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，能够熟练运用完全平方公式对被开方数进行变形是解答本题的关键．
12．C
【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点.
【详解】解：∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点，且△ABC的面积为1，
∴△A1B1C的面积为
∴四边形A1ABB1的面积=△ABC的面积-△A1B1C的面积
；
∴四边形A2A1B1B2的面积=的面积- 的面积
…
∴第n个四边形的面积

∴
故答案为C
【点睛】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.
13．
【分析】概念二次根式被开方数大于或等于0，分母不为0求解即可．
【详解】解：二次根式有意义，
则且，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题关键是熟记二次根式和分式有意义 的条件，列出不等式．
14．8
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，可以得到，，，然后即可得到，从而可以得到，再根据题目中的数据，即可计算出的长．
【详解】四边形是平行四边形，，
，，，
，
，
，
，
，
又，，
，
解得，
即的长是，
故答案为：8．
15．
【分析】根据网格求出三角形的三边，得到是直角三角形，再进行求解．
【详解】连接，
由勾股定理可得，
，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查正弦的求解，解题的关键熟知勾股定理的运用．
16．
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，可设，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【详解】，
设，则，，
四边形与矩形相似，
，则，
解得，（不合题意舍去），
经检验是原方程的解．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查概率的求法，列举法，列举出全部可能事件，再去求概率即可．
【详解】解：一对夫妇有两个孩子，若其中一个孩子是男孩，基本事件有：男女，女男，男男，
∴在已知其中有一个是男孩的条件下，另一个是女孩的概率为；
故答案为：．
18．//4.8
【分析】设，交于点，四边形是平行四边形，则，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值．
【详解】如图，设，交于点，过点作于点，连接

四边形是平行四边形，
，，
∵点D是的中点，为定点，
∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，即最小，
即当重合时，最小，
∴
，
∴
∵，即
∴
，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等面积法，利用等面积法求的长是解题的关键．
19．（1）；（2）①，②
【分析】本题主要考查实数的运算和解一元二次方程的能力；
（1）将特殊锐角的三角函数值代入、计算零指数幂、化简二次根式，再进一步计算即可；
（2）①利用因式分解法求解即可；②利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：原式
（2）①解：
∴
②解：
∴
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用，
（1）先由所给等式，证得，从而得，再由所给等式得出，从而证得结论；
（2）先由已知数据，结合勾股定理得出的长，再利用相似三角形的性质，得出比例式，代值求解即可．
【详解】（1）
∴
∴；
（2），，
由勾股定理得：
∵，
∵，
∴，
∴．
21．（1）见解析；（2）3或12
【分析】（1）先计算出△的值，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用因式分解法求出方程的解，再分类讨论当BC为直角边或BC为斜边时△ABC为直角三角形，然后利用勾股定理求出m的值．
【详解】解：（1）∵
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵
∴，
∴，，
∴可以假设，
当BC为斜边时，由勾股定理可得，
∴，即
解得或（舍去）；
当BC为直角边时，由勾股定理可得，
∴，即
解得；
∴综上所述，当△ABC时直角三角形时，或．
【点睛】本题考查了根的判别式与解一元二次方程以及勾股定理，解题的关键是熟练的掌握根的判别式并根据因式分解法解一元二次方程．
22．（1）200，72；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）根据B的人数以及百分比得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可；
（2）求出C组的人数即可补全图形；
（3）列表得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率．
【详解】解：（1）本次调查的学生人数为（名，
扇形统计图中，项对应的扇形圆心角是，
故答案为：200；72；
（2）选项的人数为（名，
补全条形图如下：
（3）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有3个，
甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率为．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图和概率公式，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出解题的有关信息，正确画出树状图．
23．(1)见解析，
(2)
【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
（1）利用关于轴对称的点的坐标特征，写出、、的坐标，然后描点即可得到；
（2）把、、的横纵坐标后乘以得到出、、的坐标，然后描点即可得到．
【详解】（1）如图，为所作，；
（2）如图，为所作，．
24．(1)二、三这两个月的月平均增长率为
(2)当商品降价1元时，商品获利元．
【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率为，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：件，由此等量关系列出方程求出的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量每件商品的利润列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，
根据题意可得：，
解得：或（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设当商品降价元时，商品获利元，
根据题意可得：，
解得：（不合题意舍去）．
答：当商品降价1元时，商品获利元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
25．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
【详解】过点作交于点，作交于点
由题意可得：
∵
∴
∴四边形是矩形
∴
∵，
∴，
∴，
∵在Rt中，，
∴，
∴，
∵在Rt中，，
∴，
∴，
∴、两点之间的距离为．
26．(1)
(2)12
(3)或
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质；
（1）由可得，得到代入计算即可；
（2）过点作，交于点，交于点，先由面积求出，设，然后根据利用相似三角形的性质列方程得到，最后表示出矩形面积根据二次函数求最值即可；
（3）根据等腰直角三角形得到三角形相似，再计算即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）过点作，交于点，交于点，
，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴
，
∴，
∵在矩形中，，
∴
∴当，即时，面积有最大值，最大面积为12；
（3）①如图所示，若，则，
由（2）可得：，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴当时，是等腰直角三角形，
②如图所示，若，则，
此时，
③如图所示，若，则，作交于点，
，
，
，
设，
设，
可得：，
解得：，
∴当时，是等腰直角三角形，
综上，当或时，是等腰直角三角形．