2023年四川省成都市中考数学真题试卷(解析版)

这是一份2023年四川省成都市中考数学真题试卷(解析版)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1. 在，，，四个数中，最大的数是（ ）
A. 3B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
解：根据有理数比较大小的方法，可得
，
∴最大的数是：3；
故选：A．
【点拨】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2. 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星．北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超亿次．将数据亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
解：亿．
故选：D．
【点拨】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分别根据积的乘方、合并同类项、乘法公式逐项求解判断即可．
解：A.，故原计算错误，不符合题意；
B.，故原计算错误，不符合题意；
C.，故原计算正确，符合题意；
D.，故原计算错误，不符合题意，
故选：C．
【点拨】本题考查积的乘方、合并同类项、乘法公式，熟记完全平方公式和平方差公式，正确判断是解答的关键．
4. 近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景．下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数（）：，，，，，则这组数据的中位数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数定义求解即可．
将这组数据从小到大重新排列为，，，，
∴这组数据的中位数为，
故选：C．
【点拨】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．
∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点，
A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
D.，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根据概率公式求解即可．
解：由题意，随机抽取一张，共有6种等可能的结果，其中恰好抽中水果类卡片的有2种，
∴小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是，
故选：B．
【点拨】本题考查求简单事件的概率，关键是熟知求概率公式：所求情况数与总情况数之比．
7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解．
解：设木长尺，根据题意得，
，
故选：A
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
8. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A. 抛物线的对称轴为直线B. 抛物线的顶点坐标为
C. ，两点之间的距离为D. 当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【解析】
待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；
当时，
即
∴，
∴，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 因式分解：m2﹣3m＝__________．
【答案】
【解析】
题中二项式中各项都含有公因式，利用提公因式法因式分解即可得到答案．
解：，
故答案：．
【点拨】本题考查整式运算中的因式分解，熟练掌握因式分解的方法技巧是解决问题的关键．
10. 若点都在反比例函数的图象上，则_______（填“”或“”）．
【答案】
【解析】
根据题意求得，，进而即可求解．
解：∵点都在反比例函数的图象上，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了比较反比例函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
11. 如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为___________．

【答案】3
【解析】
利用平移性质求解即可．
解：由平移性质得：，
∴，
故答案为：3．
【点拨】本题考查平移性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．
12. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反进行求解即可．
解：在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是，
故答案为：.
【点拨】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，解决本题的关键是掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
13. 如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为___________．

【答案】
【解析】
根据作图可得，然后得出，可证明，进而根据相似三角形的性质即可求解．
解：根据作图可得，
∴，
∴，
∵与四边形的面积比为，
∴
∴
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）3；（2）
【解析】
（1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值，再加减运算即可求解；
（2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可求解；
解：（1）
；
（2）解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
【点拨】本题主要考查实数的混合运算和解一元一次不等式组，涉及到特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、二次根式的加减等知识，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．
15. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数：
（3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
【答案】（1），图见解析；
（2）；
（3）人；
【解析】
（1）根据“清洁卫生”的人数除以占比即可得出样本的容量，进而求“文明宣传”的人数，补全统计图；
（2）根据“敬老服务”的占比乘以即可求解；
（3）用样本估计总体，用乘以再乘以“文明宣传”的 比即可求解．
（1）
解：依题意，本次调查的师生共有人，
∴“文明宣传”的人数为（人）
补全统计图，如图所示，

故答案：．
（2）
在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数为，
（3）
估计参加“文明宣传”项目的师生人数为（人）．
【点拨】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
16. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）

【答案】米
【解析】
过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解．
解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，

依题意， ，（米）
在中，（米），（米），则（米）
∵（米）
∴（米）
∵，
∴（米）
∴（米）．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17. 如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接．

（1）求证：；
（2）若，求和的长．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
（1）根据，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，可证明是等腰三角形，即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角为直角，得到，设，根据勾股定理列方程，解得x的值，即可求出；解法一：过点作的垂线段，交的延长线于点F，证明，求出的长，根据勾股定理即可解出的长；解法二：连接,得到角相等，进而证得，根据对应边成比例即可解出的长．
（1）
证明：，
，
，
，
，
；
（2）
解：设，
是的直径，
，
，
，即，
根据（1）中的结论，可得，
根据勾股定理，可得，即，
解得，（舍去），
，,
根据勾股定理，可得；
解法一：如图，过点作的垂线段，交的延长线于点F，

，
，
，
，即，
，，，
，
，
，
设，则，
，
可得方程，解得，
，，
根据勾股定理，可得．
解法二：如图，连接,

，，
，
，
又，，，
，
．
【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理，正切，利用等量代换证明相关角相等是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．

（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
【答案】（1）点A的坐标为，反比例函数的表达式为；
（2）点C的坐标为或
（3）点P的坐标为；m的值为3
【解析】
（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；
（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；
（3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得．
（1）
解：令，则
∴点A的坐标为，
将点代入得：
解得：
∴
将点代入得：
解得：
∴反比例函数的表达式为；
（2）
解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，

令解得：
∴，
∴，
又∵，
∴
∵，
∴
又∵直线l是的垂线即，，
∴，
∴
设直线l得解析式是：，
将点，点代入得：
解得：
∴直线l的解析式是：，
设点C的坐标是
∵，(分别代表点B与点C的横坐标)
解得： 或6，
当时，；
当时，，
∴点C的坐标为或
【小问3详解】
∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，
∴点E是直线l与双曲线的另一个交点，
将直线l与双曲线的解析式联立得：
解得：或
∴
画出图形如下：

又∵
∴
∴
∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等，
设直线的解析式是：
将点代入得：
解得：
∴直线的解析式是：
∵点D也在双曲线上，
∴点D是直线与双曲线的另一个交点，
将直线与双曲线的解析式联立得：
解得：或
∴
设直线的解析式是：
将点，代入得：
解得：
∴直线的解析式是：，
又将直线的解析式与直线l的解析式联立得：
解得：
∴点P的坐标为
∴
∴
【点拨】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 若，则代数式，的值为___________．
【答案】
【解析】
根据分式的化简法则，将代数式化简可得，再将变形，即可得到答案．
解：，
，
，
，
，
，
，
故原式的值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了分式的化简法则，整式的整体代入，熟练对代数式进行化简是解题的关键．
20. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有___________个．

【答案】
【解析】
根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，即可求解．
解：根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，如图所示，

∴搭成这个几何体的小立方块最多有，
故答案为：．
【点拨】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．
21. 为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳___________名观众同时观看演出．（取3.14，取1.73）

【答案】184
【解析】
过点O作的垂线段，交于点，根据直角三角形的边长关系求出的角度，阴影面积即为扇形的面积减去三角形的面积，随机可以求出容纳观众的数量．
解：如图，过点O作的垂线段，交于点，

圆心O到栏杆的距离是5米，
米，
，
，米，
，
，
，
可容纳的观众
阴影部分面积（人），
最多可容纳184名观众同时观看演出，
故答案为：184．
【点拨】本题考查了弓形的面积，根据特殊角三角函数值求角的度数，熟知扇形面积公式是解题的关键．
22. 如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则__________．

【答案】
【解析】
过点作于，证明，得出，根据，得，设，，则，则，在中，，在中，，则，解方程求得，则，，勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解．
解：如图所示，过点作于，

∵平分交于点，
∴,
∴
∴
∵折叠，
∴，
∴,
又∵
∴
∴
∴
∵，，则，
∴
∴，，
∵
设，，则，则，
∵
∴
在中，
在中，
∴
即
解得：
∴，
则
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是________；第23个智慧优数是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．
解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为
当，，则第2个智慧优数为
当，，则第3个智慧优数为，
当，，则第5个智慧优数为
当，，则第6个智慧优数为
当，，则第7个智慧优数为
……
时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个，
第22个智慧优数，当时，，第22个智慧优数为，
第23个智慧优数为时，，
故答案为：，．
【点拨】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元．
（1）求，两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】（1）种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元
（2）种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元
【解析】
（1）设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设种食材购买千克，则种食材购买千克，根据题意列出不等式，得出，进而设总费用为元，根据题意，，根据一次函数的性质即可求解．
（1）
解：设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意得，
，
解得：，
答：种食材的单价为元，种食材的单价为元；
（2）
解：设种食材购买千克，则种食材购买千克，根据题意，
解得：，
设总费用为元，根据题意，
∵，随的增大而增大，
∴当时，最小，
∴最少总费用为（元）
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
（3）过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点B的坐标为或或
（3）存在，m的值为2或
【解析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，分和两种情况，分别根据等腰三角形性质和两点坐标距离公式列方程求解即可；
（3）先根据题意画出图形，设抛物线与直线交点坐标为，，联立抛物线和直线解析式，根据根与系数关系得到，，利用待定系数法分别求得直线、的表达式为得到， ，过E作轴于Q，过D作轴于N，证明得到，整理可得到，进而求解即可．
（1）
解：∵抛物线经过点，与y轴交于点，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）
解：设，
根据题意，是以为腰的等腰三角形，有两种情况：
当时，点B和点P关于y轴对称，

∵，∴；
当时，则，
∴，
整理，得，
解得，，
当时，，则，
当时，，则，
综上，满足题意的点B的坐标为或或；
（3）
解：存在常数m，使得．
根据题意，画出图形如下图，

设抛物线与直线的交点坐标为，，
由得，
∴，；
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
令，由得，
∴，
同理，可得直线的表达式为，则，
过E作轴于Q，过D作轴于N，
则，，，，
若，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
则，
整理，得，
即，
将，代入，得，
即，则或，
解得，，
综上，存在常数m，使得，m的值为2或．
【点拨】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、坐标与图形等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造相似三角形，并利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键．
26. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．

【初步感知】
（1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．
【深入探究】
（2）①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）
【拓展运用】
（3）如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．
【答案】（1）见解析 （2）①，证明过程略；②当点F在射线上时，，当点F在延长线上时，
（3）
【解析】
（1）连接，当时，，即，证明，从而得到即可解答；
（2）①过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到；
②分类讨论，即当点F在射线上时；当点F在延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答；
（3）如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，可利用建系的方法表示出的坐标，再利用中点公式求出，最后利用勾股定理即可求出的长度．
（1）
证明：如图，连接，

当时，，即，
，
，，,
，，即，
，
，
在与中，
，
，
，
；
（2）
①
证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点，

当时，，即，
是的中点，
，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，且，
，
根据（1）中的结论可得，
；
故线段之间的数量关系为；
②解：当点F在射线上时，
如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，

同①，可得，
，，
，，
同①可得，
，
即线段之间数量关系为；
当点F在延长线上时，
如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，连接

同（1）中原理，可证明，
可得，
，，
，，
同①可得，
即线段之间数量关系为,
综上所述，当点F在射线上时，；当点F在延长线上时，；
【小问3详解】
解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，

如图，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过点作的垂线段，交于点，过点作的垂线段，交于点，

，
，，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
根据（2）中的结论，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键．