河南省驻马店市2024届高三上学期期末考试数学

这是一份河南省驻马店市2024届高三上学期期末考试数学，共12页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，设圆，已知，则，已知为坐标原点，抛物线等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数，则
A.B.C.D.
2.设集合，，则
A.B.
C.D.
3.已知函数的定义域为，则的最小值为
A.1B.2C.4D.5
4.如图，这是某厂生产的一批不倒肦型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为
A.B.C.D.
5.设圆：和圆：交于，两点，则四边形的面积为
A.B.4C.6D.
6.已知，则
A.B.C.D.
7.将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为
A.78B.92C.100D.122
8.已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若，则
A.B.C.D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行了1000米跑测试，测试结果表明所有男生的成绩（单位：分）近似服从正态分布，，，则下列说法正确的是
A.若从高三男生中随机挑选1人，则他的成绩在内的概率为0.2
B.若从高三男生中随机挑选1人，则他的成绩在内的概率为0.4
C.若从高三男生中随机挑选2人，则他们的成绩都不低于75的概率为0.25
D.越大，的值越小
10.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象关于轴对称，得到函数的图象，则下列结论正确的是
A.的图象关于点对称B.在上的值域为
C.为偶函数D.在上单调递增
11.已知函数存在个不同的正数，，使得，则下列说法正确的是
A.的最大值为5B.的最大值为4
C.的最大值为D.的最大值为
12.在三棱锥中，，，为的中点，为上一点，球为三棱锥的外接球，则下列说法正确的是
A.球的表面积为
B.点到平面的距离为
C.若，则
D.过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知正项等比数列的前3项和为26，且数列的前3项和为，则______.
14.若函数有最小值，则的取值范围是______.
15.已知是边长为3的等边三角形，为上一点，为的中心，为内一点（包括边界），且，则的最大值为______.
16.探究函数的图象和性质时发现它的图象实际上是双曲线，将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点在轴上的双曲线，是双曲线上一点，则______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在中，内角，，的对边分别为，，.已知，.
（1）求的面积；
（2）求边上的高的最大值.
18.（12分）
已知数列的前项和为，且满足.
（1）令，求数列的通项公式；
（2）求.
19.（12分）
如图，在斜三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的菱形，，，，分别为，的中点.
（1）证明：.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（12分）
一枚质地均匀的小正四面体，其中两个面标有数字1，两个面标有数字2.现将此正四面体任意抛掷次，落于水平的桌面，记次底面的数字之和为.
（1）当时，记为被3整除的余数，求的分布列与期望；
（2）求能被3整除的概率.
21.（12分）
动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数，点的轨迹为.
（1）求的方程，并说明是什么曲线；
（2）过点作不与坐标轴垂直的直线交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，求的方程.
22.（12分）
已知函数有两个零点.
（1）求的取值范围；
（2）设，是的两个零点，，证明：.
驻马店市2023-2024学年度高三年级期末统一考试
数学参考答案
1.B ，则.
2.A 依题得，则.
3.C 由题可知，且，即，所以，当且仅当，时，等号成立，则的最小值为4.
4.C 几何体的轴截面如图所示，设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则球的半径也为.因为圆锥的体积恰好等于半球的体积，所以，得.故.设圆锥的轴截面的顶角为，则.
5.B 由题意可知，，直线的方程为，易知四边形为菱形，所以到直线的距离，所以，故.
6.A
.
7.C 若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有种，当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有种.综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是.
同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.故不同的分配方法数是.
8.D 不妨设点在第一象限，直线的倾斜角为，所以，则，同理可得.因为，所以，即，，所以.
在中，.
9.ABC ，
，故A，B正确.无论为何值，，若从高三男生中随机挑选2人，则他们的成绩都不低于75的概率为，故C正确，D错误.
10.BCD 由题得，，
令，则，，故A错误；
当时，，，故B正确；
为偶函数，故C正确；
当时，，所以在上单调递增，故D正确.
11.BD 的几何意义为过点，的直线的斜率.易知直线与的图象最多只有4个交点，故的最大值为4.当直线与曲线相切时，取得最大值，设切点为，则该直线的斜率为，又，所以，解得，得，所以.
12.BCD 由，，可将三棱锥补形成如图所示的长方体，则，，所以球的半径为，所以球的表面积为，故A错误.易知平面，过点作的垂线，交于，故为点到平面的距离.在中，，，解得，故B正确.以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，.设，所以.因为，所以，解得，所以，故C正确.当且仅当与截面垂直时，截面面积最小，最小的半径为2，故D正确.
13.6 由题可知，，则，解得.
14. 函数在上的值域为，在上的值域为，则，即，所以的取值范围是.
15.3 因为，，三点共线，所以，解得，即为上靠近点的三等分点.利用向量的投影定义，可知当位于点时，取得最大值，最大值为.
16.2 设双曲线的方程为，函数的两条渐近线方程为和，其夹角为，故，解得，则，且，所以和的角平分线的方程为.联立解得，所以，，所以双曲线的方程为，故.
17.解：（1）由及正弦定理，
得，
则，即，
所以的面积.
（2）由余弦定理可知.
因为，所以，当且仅当时，等号成立.
设为边上的高，所以，即，
所以边上的高的最大值为.
18.（1）由题可知，
所以，
即，所以数列是等差数列，
则
（2）
19.（1）证明：如图，连接.
因为四边形是边长为2的菱形，，
所以为等边三角形，则.
又平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以.
因为，，所以.
因为，所以平面.
又平面，所以.
（2）解：如图，过作的平行线为轴，结合（1）知轴，，两两垂直.故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，.
设平面的法向量为，
则得
取，得，则.
因为为的中点，所以.
又.所以.
则.
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
20.解：（1）由题可知，的取值可能为0，1，2.
，
，
，
则的分布列为
.
（2）由题可知，当时，次底面的数字之和能被3整除的概率为，
所以，
则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
即.
21.解：（1）由题意得，
化简得，即.
故曲线是焦点在轴上的椭圆。
（2）设，，直线的方程为，
则，
所以，.
（也可以根据题目条件得出，）
联立方程组整理得，
则，所以，
所以线段的中点为，
所以线段的垂直平分线方程为.
令，可得，即.
因为，
由，可得，
则，解得，
所以的方程为.
22.（1）解：由且，可得.
设，，则，
令，解得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
又当趋向于0时，趋向于，当趋向于时，趋向于0，
所以要使的图象与直线有两个交点，则，
故的取值范围是.
（2）证明：，由（1）得，
则，.
设，则，
即，
.
设，则.
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
又，，，
所以存在唯一的，使得，
即，
所以的最小值为，，
所以，故.
0
1
2