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18 全等与相似模型之十字模型-2024年中考数学几何模型归纳讲练（全国通用）
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这是一份18 全等与相似模型之十字模型-2024年中考数学几何模型归纳讲练（全国通用），文件包含18全等与相似模型之十字模型教师版docx、18全等与相似模型之十字模型学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共77页， 欢迎下载使用。
模型1.正方形的十字架模型（全等模型）
“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。
1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；则 AE=BF。
2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；则 AE=GF。
3）如图3，在正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF；则 HE=GF。
模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.
例1．（22·23下·广东·课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
例2．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ．
例3．（2023安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形中，点E、F、H分别是的中点，交于G，连接．下列结论：①；②；③；④．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例4．（广西2022-2023学年九年级月考）（1）感知：如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点AB重合），连接DE，过点A作，交BC于点F，证明：．
（2）探究：如图②，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点（点E，F不与正方形的顶点重合），连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O．若E为AB中点，，，求GH的长．（3）应用：如图③，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，，BF，AE相交于点G．若，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则的面积为______，的周长为______．
模型2.矩形的十字架模型（相似模型）
矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。
如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则.
如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则.
如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则.
例1．（22·23下·广西·九年级期中）如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长．
例2．（22·23下·河北·九年级期中）如图，在矩形中，、、、分别为、、、边上的点，当时，证明：．
例3．（22-23·贵港·中考真题）已知：在矩形中，，，是边上的一个动点，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．（1）如图1，当点与点重合时，则线段_______________，_____________；（2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接，，．①求证：四边形是平行四边形：②当时，求四边形的面积．
例4．（2022年四川乐山中考数学适应性试卷）解答(1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N分别在边BC，CD上，若，求的值；(3)如图3四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，，求的值．
模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）
1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：
如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），则AD=BE，且AD和BE夹角为60°，△ABC。
2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：
如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。
3）直角三角形中的十字模型：
如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似）
例1.（22-23.成都市.八年级期中）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，AD与BE相交于点P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中正确的结论是________（填序号）
例2．（22·23下·淄博·一模）如图，等边，点E，F分别在AC，BC边上，，连接AF，BE，相交于点P．(1)求的度数；(2)求证：．
例3．（22·23下·无锡·阶段练习）如图，在边长为6的等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则＝ °；则的周长为 ．
例4．（22·23下·六安·一模）如图1，等边中，点D、E分别在上，且，连接交于点(1)求证：；(2)如图2，连接，若，判断与的位置关系并说明理由；(3)如图3，在的条件下，点G在上，的延长线交于H，当时，请直接写出线段FH的长．
例5．（22·23上·深圳·期中）如图，在中，，，点D为边上的中点，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ．
例6．（22·23下·沧州·二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（ ）
A． B．若点D是AB的中点，则
C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若，则
例7．（22·23·广东·期中）如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长．
例8．（22-23下·深圳·一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接．
(1)若，求证：；(2)如图②，若，，求的值．
例9．（22·23上·长春·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】(1)如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接，，，则的值为___________．【类比探究】(2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值．【拓展延伸】(3)如图③，在中，，点在边上，连结，过点作于点，的延长线交边于点．若，，，则___________．
课后专项训练
1．（22·23下·杭州·一模）如图，在等边的AC，BC边上各取一点M，N使，AN，BM相交于点O．若，，则BO的长是（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．（2023.湖北.九年级期末）如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．若CE的长为7cm，则MN的长为（ ）
A．10B．13C．15D．无法求出
3．（2023.南充市中考模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF，下列结论正确的是（ ）
A．CE=B．EF=C．cs∠CEP=D．HF2=EF•CF
4．（黑龙江省牡丹江市2021年中考数学真题试卷）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（ ）
A．2B．2C．6D．5
5．（22·23下·东营·中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若，则 其中正确的结论序号是（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①②③④
6．（22·23下·江门·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连接AD，过点C作CG⊥AD，分别交AD、AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，点D是BC的中点，连接DE．则= ；
7．（22·23下·山西·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC边上的中线，过点B作AE的垂线BD，垂足为H，交AC于点D，则AD的长为 ．
8．（山东2022-2023学年九年级下学期期末数学试题）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①AG=AD；②AG⊥GH；③∠DAG=60°；④∠AGE=∠BCE．其中正确的有 ．
9．（江西2023-2024学年九年级月考数学试题）在矩形纸片中，，，将纸片折叠．
(1)如图1，若沿对折，使点C恰好落在上得到点E，求的长．
(2)如图2，若沿对角线折叠，使点C落在点F处，与交于点E，求的长．
(3)如图3，若沿折叠，使点C与点A重合，求折痕的长．
10．（2023年成都市中考三模数学试题）已知正方形的边长为6，动点分别在边上运动，连接．(1)如图1，过作交边于点，交于点．i）若为的中点，为的中点，求的长；ⅱ）探索线段之间的数量关系，写出你的结论并证明．(2)如图2，将四边形沿翻折得到四边形与相交于点，调整点和点的位置使得线段始终经过顶点．i）若点到的距离，求的长；ⅱ）点到的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大距离；若不存在，请说明理由．
11．（四川省成都市2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）【模型发现】如图1，在正方形中，E为边上一点（不与点B、C重合），过点D作垂直于的一条直线，垂足为G，交于点F．小明发现可以通过证明：得（不需证明）
【模型探究】（1）如图2，在正方形中，P为边上一点（不与点B、C重合），M为线段上一点（不与C、D重合），过点M作，垂足为G，交于点N，请直接写出与及线段、、之间的数量关系．
（2）如图3，在（1）的条件下，若垂足G恰好为的中点，连接，交于点H，连接并延长交边于点I，再连接，请探究线段、的数量关系；
【拓展应用】（3）如图4，若正方形的边长为8，点M、N分别为边、上的点，过A作，已知，将正方形沿着翻折，的对应边恰好经过点A，连接交于点Q.过点Q作，垂足为R，求线段的长．（直接写出结论即可）
12．（成都市锦江区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）（1）问题探究：如图1，在正方形，点，分别在边，上，于点，点，分别在边、上，．
①判断与的数量关系： ； ②推断：的值为： ；（无需证明）
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用1：如图3，四边形中，，，，，点，分别在边、上，求的值．
（4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接，若，，求的长．
13．（22·23下·江苏·九年级期中）平行四边形中，，分别是边、上的点，，G为垂足．（1）如图1，当，时，求证：
（2）如图2，当，，，求的最小值
（3）如图3，当，，E为的中点，直接写出的值．
14．（2022年湖北中考模拟）知矩形ABCD中，，点E是BC边上一点，于点O，分别交AB、CD于点F、G．(1)特例发现：如图1，若，则______；
(2)类比探究：如图2，若，请探究的值，并写出探究过程；
(3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将矩形ABCD沿CF折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处，得到四边形PEFG，PE与CD交于点H，连接PC．已知，，求PC的长
15．（成都市锦江区2022-2023学年九年级下学期入学练习数学试题）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若，则的值为______；
（2）如图2，在矩形ABCD中，，，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若，则的值为______；
（3）如图3，在四边形ABCD中，，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：；
（4）如图4，在中，，，将沿BD翻折，点A落在点C处，得到，点F为线段AD上一动点，连接CF，作交AB于点E， 垂足为点G，连接AG．设，求AG的最小值．
16．（2023年广东省深圳市中考模拟数学试题）【问题解决】
如图1，已知正方形中，，分别是，边上的点，与交于点．当时，求证：；
【类比迁移】如图2，在菱形中，，分别是，边上的点，与交于点．若，求证：．
【拓展延伸】如图3，在四边形中，，分别是，边上的点，与交于点．，，，，若，请求出的值．
17．（22·23下·安徽·模拟预测）如图1，在等边中，点D，E分别在边上，且，连接相交于点F．
(1)求的度数；(2)如图2，连接，当时，求的值；(3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折，使点C落在点G处，连接并延长交于点H，交于点I．当时，求的长．
18．（22·23下·深圳·期中）课本再现
如图1，在等边中，E为边上一点，D为上一点，且，连接与相交于点F．
（1）与的数量关系是 ，与构成的锐角夹角的度数是 ；
深入探究（2）将图1中的延长至点G，使，连接，，如图2所示．求证：平分．（第一问的结论，本问可直接使用）。迁移应用（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是边，上的点，与相交于点F．若，且，求值．
19．（22-23下·太原·期末）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的数量关系．
已知：在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是射线CB上的一个动点，连接AD，过点C作AD的垂线，垂足为点E，过点B作AC的平行线交CE的延长线于点F．
独立思考：(1)如图1，当点D与点B重合时，小颖发现BF＝AC，请你帮她说明理由；
(2)如图2，当点D为BC中点时，直接写出线段BF与AC的数量关系；
合作交流：(3)①如图3，当点D在线段CB上（不与C、B重合），请探究线段BF、BD与AC之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）．②如图4，当点D在线段CB延长线上，请探究线段BF、BD与AC之间的数量关系（要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由）．
20．（22·23下·渝北·阶段练习）是等边三角形，点、分别在、上，且，连接、交于点．
(1)如图1，求的度数；(2)如图2，以为边作等边，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点，点在线段上，且，连接交于点，若，，直接写出的值．（提示：可过点作交于点，过点作于点，作于点．）
模型1.正方形的十字架模型（全等模型）
“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。
1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；则 AE=BF。
2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；则 AE=GF。
3）如图3，在正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF；则 HE=GF。
模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.
例1．（22·23下·广东·课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
例2．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ．
例3．（2023安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形中，点E、F、H分别是的中点，交于G，连接．下列结论：①；②；③；④．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例4．（广西2022-2023学年九年级月考）（1）感知：如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点AB重合），连接DE，过点A作，交BC于点F，证明：．
（2）探究：如图②，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点（点E，F不与正方形的顶点重合），连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O．若E为AB中点，，，求GH的长．（3）应用：如图③，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，，BF，AE相交于点G．若，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则的面积为______，的周长为______．
模型2.矩形的十字架模型（相似模型）
矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。
如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则.
如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则.
如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则.
例1．（22·23下·广西·九年级期中）如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长．
例2．（22·23下·河北·九年级期中）如图，在矩形中，、、、分别为、、、边上的点，当时，证明：．
例3．（22-23·贵港·中考真题）已知：在矩形中，，，是边上的一个动点，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．（1）如图1，当点与点重合时，则线段_______________，_____________；（2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接，，．①求证：四边形是平行四边形：②当时，求四边形的面积．
例4．（2022年四川乐山中考数学适应性试卷）解答(1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N分别在边BC，CD上，若，求的值；(3)如图3四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，，求的值．
模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）
1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：
如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），则AD=BE，且AD和BE夹角为60°，△ABC。
2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：
如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。
3）直角三角形中的十字模型：
如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似）
例1.（22-23.成都市.八年级期中）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，AD与BE相交于点P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中正确的结论是________（填序号）
例2．（22·23下·淄博·一模）如图，等边，点E，F分别在AC，BC边上，，连接AF，BE，相交于点P．(1)求的度数；(2)求证：．
例3．（22·23下·无锡·阶段练习）如图，在边长为6的等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则＝ °；则的周长为 ．
例4．（22·23下·六安·一模）如图1，等边中，点D、E分别在上，且，连接交于点(1)求证：；(2)如图2，连接，若，判断与的位置关系并说明理由；(3)如图3，在的条件下，点G在上，的延长线交于H，当时，请直接写出线段FH的长．
例5．（22·23上·深圳·期中）如图，在中，，，点D为边上的中点，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ．
例6．（22·23下·沧州·二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（ ）
A． B．若点D是AB的中点，则
C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若，则
例7．（22·23·广东·期中）如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长．
例8．（22-23下·深圳·一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接．
(1)若，求证：；(2)如图②，若，，求的值．
例9．（22·23上·长春·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】(1)如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接，，，则的值为___________．【类比探究】(2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值．【拓展延伸】(3)如图③，在中，，点在边上，连结，过点作于点，的延长线交边于点．若，，，则___________．
课后专项训练
1．（22·23下·杭州·一模）如图，在等边的AC，BC边上各取一点M，N使，AN，BM相交于点O．若，，则BO的长是（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．（2023.湖北.九年级期末）如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．若CE的长为7cm，则MN的长为（ ）
A．10B．13C．15D．无法求出
3．（2023.南充市中考模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF，下列结论正确的是（ ）
A．CE=B．EF=C．cs∠CEP=D．HF2=EF•CF
4．（黑龙江省牡丹江市2021年中考数学真题试卷）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（ ）
A．2B．2C．6D．5
5．（22·23下·东营·中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若，则 其中正确的结论序号是（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①②③④
6．（22·23下·江门·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连接AD，过点C作CG⊥AD，分别交AD、AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，点D是BC的中点，连接DE．则= ；
7．（22·23下·山西·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC边上的中线，过点B作AE的垂线BD，垂足为H，交AC于点D，则AD的长为 ．
8．（山东2022-2023学年九年级下学期期末数学试题）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①AG=AD；②AG⊥GH；③∠DAG=60°；④∠AGE=∠BCE．其中正确的有 ．
9．（江西2023-2024学年九年级月考数学试题）在矩形纸片中，，，将纸片折叠．
(1)如图1，若沿对折，使点C恰好落在上得到点E，求的长．
(2)如图2，若沿对角线折叠，使点C落在点F处，与交于点E，求的长．
(3)如图3，若沿折叠，使点C与点A重合，求折痕的长．
10．（2023年成都市中考三模数学试题）已知正方形的边长为6，动点分别在边上运动，连接．(1)如图1，过作交边于点，交于点．i）若为的中点，为的中点，求的长；ⅱ）探索线段之间的数量关系，写出你的结论并证明．(2)如图2，将四边形沿翻折得到四边形与相交于点，调整点和点的位置使得线段始终经过顶点．i）若点到的距离，求的长；ⅱ）点到的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大距离；若不存在，请说明理由．
11．（四川省成都市2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）【模型发现】如图1，在正方形中，E为边上一点（不与点B、C重合），过点D作垂直于的一条直线，垂足为G，交于点F．小明发现可以通过证明：得（不需证明）
【模型探究】（1）如图2，在正方形中，P为边上一点（不与点B、C重合），M为线段上一点（不与C、D重合），过点M作，垂足为G，交于点N，请直接写出与及线段、、之间的数量关系．
（2）如图3，在（1）的条件下，若垂足G恰好为的中点，连接，交于点H，连接并延长交边于点I，再连接，请探究线段、的数量关系；
【拓展应用】（3）如图4，若正方形的边长为8，点M、N分别为边、上的点，过A作，已知，将正方形沿着翻折，的对应边恰好经过点A，连接交于点Q.过点Q作，垂足为R，求线段的长．（直接写出结论即可）
12．（成都市锦江区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）（1）问题探究：如图1，在正方形，点，分别在边，上，于点，点，分别在边、上，．
①判断与的数量关系： ； ②推断：的值为： ；（无需证明）
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用1：如图3，四边形中，，，，，点，分别在边、上，求的值．
（4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接，若，，求的长．
13．（22·23下·江苏·九年级期中）平行四边形中，，分别是边、上的点，，G为垂足．（1）如图1，当，时，求证：
（2）如图2，当，，，求的最小值
（3）如图3，当，，E为的中点，直接写出的值．
14．（2022年湖北中考模拟）知矩形ABCD中，，点E是BC边上一点，于点O，分别交AB、CD于点F、G．(1)特例发现：如图1，若，则______；
(2)类比探究：如图2，若，请探究的值，并写出探究过程；
(3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将矩形ABCD沿CF折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处，得到四边形PEFG，PE与CD交于点H，连接PC．已知，，求PC的长
15．（成都市锦江区2022-2023学年九年级下学期入学练习数学试题）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若，则的值为______；
（2）如图2，在矩形ABCD中，，，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若，则的值为______；
（3）如图3，在四边形ABCD中，，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：；
（4）如图4，在中，，，将沿BD翻折，点A落在点C处，得到，点F为线段AD上一动点，连接CF，作交AB于点E， 垂足为点G，连接AG．设，求AG的最小值．
16．（2023年广东省深圳市中考模拟数学试题）【问题解决】
如图1，已知正方形中，，分别是，边上的点，与交于点．当时，求证：；
【类比迁移】如图2，在菱形中，，分别是，边上的点，与交于点．若，求证：．
【拓展延伸】如图3，在四边形中，，分别是，边上的点，与交于点．，，，，若，请求出的值．
17．（22·23下·安徽·模拟预测）如图1，在等边中，点D，E分别在边上，且，连接相交于点F．
(1)求的度数；(2)如图2，连接，当时，求的值；(3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折，使点C落在点G处，连接并延长交于点H，交于点I．当时，求的长．
18．（22·23下·深圳·期中）课本再现
如图1，在等边中，E为边上一点，D为上一点，且，连接与相交于点F．
（1）与的数量关系是 ，与构成的锐角夹角的度数是 ；
深入探究（2）将图1中的延长至点G，使，连接，，如图2所示．求证：平分．（第一问的结论，本问可直接使用）。迁移应用（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是边，上的点，与相交于点F．若，且，求值．
19．（22-23下·太原·期末）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的数量关系．
已知：在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是射线CB上的一个动点，连接AD，过点C作AD的垂线，垂足为点E，过点B作AC的平行线交CE的延长线于点F．
独立思考：(1)如图1，当点D与点B重合时，小颖发现BF＝AC，请你帮她说明理由；
(2)如图2，当点D为BC中点时，直接写出线段BF与AC的数量关系；
合作交流：(3)①如图3，当点D在线段CB上（不与C、B重合），请探究线段BF、BD与AC之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）．②如图4，当点D在线段CB延长线上，请探究线段BF、BD与AC之间的数量关系（要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由）．
20．（22·23下·渝北·阶段练习）是等边三角形，点、分别在、上，且，连接、交于点．
(1)如图1，求的度数；(2)如图2，以为边作等边，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点，点在线段上，且，连接交于点，若，，直接写出的值．（提示：可过点作交于点，过点作于点，作于点．）
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