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初中苏科版5.3 用待定系数法确定二次函数的表达式精练
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这是一份初中苏科版5.3 用待定系数法确定二次函数的表达式精练，共21页。试卷主要包含了设函数y＝a，如图，抛物线y＝a等内容，欢迎下载使用。
1．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（ ）
A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0
2．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x﹣4）2﹣25
C．y＝（x+4）2+7D．y＝（x+4）2﹣25
3．经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是 ．
4．如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线y＝kx+（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；
（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．
5．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）如图，连接PB，PO，PC，BC．OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，求出点D的坐标．
6．在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
7．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
8．如图，两条抛物线y1＝﹣x2+4，y2＝﹣x2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线y2的最高点．
（1）求抛物线y2的解析式和点B的坐标；
（2）点C是抛物线y1上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交y2于点D，当线段CD取最大值时，求S△BCD．
9．已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1的顶点为A．点B的坐标为（3，5）．
（1）求抛物线过点B时顶点A的坐标；
（2）点A的坐标记为（x，y），求y与x的函数表达式；
（3）已知C点的坐标为（0，2），当m取何值时，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1与线段BC只有一个交点．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ；
（2）求抛物线的表达式及m，n的值；
（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P'，描出相应的点P'，再把相应的点P'用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
（4）设直线y＝m（m＞﹣2）与抛物线及（3）中的点P'所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系 ．
11．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
12．在平面直角坐标系xOy中，关于x二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
13．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；
（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点，抛物线与y轴交于点C．
（1）求一次函数和二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．
15．如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点横坐标x1的取值范围；
（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．
16．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PD+PH的值最小，则PD+PH的最小值为 ．
（注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标为（﹣，）
18．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．
19．如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x＝﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC＝6．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．
20．学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．
（1）P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）；
（2）P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）．
参考答案
1．解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，
整理得：a（9﹣2h）＝1，
若h＝4，则a＝1，故A错误；
若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；
若h＝6，则a＝﹣，故C正确；
若h＝7，则a＝﹣，故D错误；
故选：C．
2．解：y＝x2﹣8x﹣9
＝x2﹣8x+16﹣25
＝（x﹣4）2﹣25．
故选：B．
3．解：根据题意设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a＝3，即a＝﹣，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+3，
故答案为y＝﹣x2+x+3．
4．解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣2）2+3与y轴交于点A（0，），
∴4a+3＝，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣2）2+3；
（2）∵直线y＝kx+与抛物线有两个交点，
∴kx+＝﹣（x﹣2）2+3，
整理得x2+（3k﹣4）x﹣3＝0，
∴Δ＝（3k﹣4）2+12＞0，
∵x1+x2＝4﹣3k，x1•x2＝﹣3，
∴x12+x22＝（4﹣3k）2+6＝10，
∴k＝或k＝2，
∴k的值为2或；
（3）∵函数的对称轴为直线x＝2，
当m＜2时，当x＝m时，y有最大值，
＝﹣（m﹣2）2+3，
解得m＝，
∴m＝﹣，
当m≥2时，当x＝2时，y有最大值，
∴＝3，
∴m＝，
综上所述，m的值为﹣或．
5．解：（1）将点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入函数解析式，
可得，
解得：，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
又∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）如图，过点D作DM⊥y轴，
由y＝﹣x2﹣2x+3，当x＝0时，y＝3，
∴C点坐标为（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（﹣3，0），C（0，3）代入，
可得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴，，
又∵DM⊥y轴，
∴DM∥OB，
∴，
∴，
解得：OM＝2，
在y＝x+3中，当y＝2时，x＝﹣1，
∴D点坐标为（﹣1，2）．
6．解：（1）由题意，得，
解得，
所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1．
并且该函数图象的顶点坐标为（1，0）．
（2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1，
∵b2﹣4ac＝5＞0，
∴函数y＝x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）由题意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1，
所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+1
＝p2+q2+4
＝（2﹣q）2+q2+4
＝2（q﹣1）2+6≥6，
由条件p≠q，知q≠1．所以 P+Q＞6，得证．
7．解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得0＝4a+4a﹣8，
解得a＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣8，
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9,
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣9）．
（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，
∴m＝16，
把y＝7代入函数解析式得7＝x2﹣2x﹣8，
解得n＝5或n＝﹣3，
∵n为正数，
∴n＝5，
∴点A坐标为（﹣4，16），点B坐标为（5，7）．
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣9），
∴抛物线顶点在AB下方，
∴﹣4＜xP＜5,﹣9≤yP＜16．
8．解：（1）当y1＝0时，即﹣x2+4＝0，解得x＝2或x＝﹣2，
又点A在x轴的负半轴，
∴点A（﹣2，0），
∵点A（﹣2，0），是抛物线y2的最高点．
∴﹣＝﹣2，即b＝﹣，
把A（﹣2，0）代入y2＝﹣x2﹣x+c得，c＝﹣，
∴抛物线y2的解析式为：y2＝﹣x2﹣x﹣；
由得，，，
∵A（﹣2，0），
∴点B（3，﹣5），
答：抛物线y2的解析式为：y2＝﹣x2﹣x﹣，点B（3，﹣5）；
（2）由题意得，CD＝y1﹣y2＝﹣x2+4﹣（﹣x2﹣x﹣），
即：CD＝﹣x2+x+，
当x＝﹣＝时，CD最大＝﹣×+×+＝5，
∴S△BCD＝×5×（3﹣）＝．
9．解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1过点B（3，5），
∴把B（3，5）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，整理得，m2﹣4m+3＝0，
解，得m1＝1，m2＝3，
当m＝1时，y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
其顶点A的坐标为（1，1）；
当m＝3时，y＝x2﹣6x+14＝（x﹣3）2+5，
其顶点A的坐标为（3，5）；
综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；
（2）∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1＝（x﹣m）2+2m﹣1，
∴顶点A的坐标为（m，2m﹣1），
∵点A的坐标记为（x，y），
∴x＝m，
∴y＝2x﹣1；
（3）由（2）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x﹣1上运动，且形状不变，
由（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），
把C（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，得m2+2m﹣1＝2，
解，得m＝1或﹣3，
所以当m＝1或﹣3时，抛物线经过点C（0，2），
如图所示，当m＝﹣3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB的端点），
当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，
所以m的取值范围是﹣3≤m≤3且m≠1．
10．解：（1）根据表格信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；
故答案为：上，直线x＝1；
（2）把（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝﹣2时，m＝4+4﹣3＝5；
当x＝1时，n＝1﹣2﹣3＝﹣4；
（3）画出抛物线图象，描出P'的轨迹，是一条抛物线，如图1所示，
（4）根据题意及（3）中备用图所示图象可得：A3A4﹣A1A2＝1．
故答案为：A3A4﹣A1A2＝1．
11．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a﹣3．
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴2a2﹣a﹣3＝0，
解得a＝或a＝﹣1，
∴抛物线为y＝x2﹣3x+或y＝﹣x2+2x﹣1；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），
∴当a＞0，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．
12．解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，
∴，解得，
∴此二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝，
∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x＝时函数有最小值：y＝﹣﹣2＝﹣，
∴y的最大值与最小值的差为：4﹣（﹣）＝；
（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，
∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，
∵a＜3＜b，
∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，
故解得m＜1，即m的取值范围是m＜1．
13．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴交于点B，
∴点B（0，c），
∵OA＝OB＝c，
∴点A（c，0），
∴0＝﹣c2+2c+c，
∴c＝3或0（舍去），
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点G的坐标为（1，4）；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x＝1，
∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，
∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标为（6，﹣21），
∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，
∴﹣21≤yQ≤﹣5或﹣21≤yQ≤4．
14．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），则
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+1；
（2）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴C（0，3），
则OC＝3，BC＝2，BC∥x轴，
∴S△ABC＝×BC×OC＝＝3．
15．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0，）三点
∴ 解得：a＝，b＝，c＝；
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x+．
（2）抛物线的对称轴为x＝1，抛物线上与Q（4，y2）相对称的点Q′（﹣2，y2）
P（x1，y1）在该抛物线上，y1≥y2，根据抛物线的增减性得：
∴﹣2≤x1≤4
答：P点横坐标x1的取值范围：﹣2≤x1≤4．
（3）∵C（0，），B，（3，0），D（1，0）
∴OC＝，OB＝3，OD，＝1
∵F是BC的中点，
∴F（，）
当点F关于直线CE的对称点为F′，关于直线CD的对称点为F″，直线F′F″与CD、CE交点为M、N，此时△FMN的周长最小，周长为F′F″的长，由对称可得到：F′（，），F″（0，0）即点O，
F′F″＝F′O＝＝3，
即：△FMN的周长最小值为3，
16．解：（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0）
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）
即：y＝a（x﹣1）（x+3）
把B（0，3）代入得：3＝﹣3a
∴a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴，
∴直线AB为y＝x+3，
作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），则M（x，x+3），
∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣（x+）2+．
当x＝﹣时，S最大＝，y＝﹣（﹣）2﹣2×（﹣）+3＝，
∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）
17．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）
∴
解得
∴所求函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3
y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴顶点D（1，4）
（2）∵B（3，0），D（1，4）
∴中点H的坐标为（2，2）其关于y轴的对称点H′坐标为（﹣2，2）
连接H′D与y轴交于点P，则PD+PH最小
且最小值为：＝
∴答案：
18．解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）
∴由上两式解得
∴抛物线的解析式为：；
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝
把x＝代入，得y＝4
则点C坐标为（，4）
设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，
解得
∴AB解析式为：
∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）
抛物线的对称轴l于直线AB交于点D
∴设点D的坐标为D
将点D代入，解得m＝2
∴点D坐标为，
∴CD＝CE﹣DE＝2
过点B作BF⊥l于点F∴BF＝OE＝
∵BF+AE＝OE+AE＝OA＝
∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD＝CD•BF+CD•AE
∴S△ABC＝CD（BF+AE）＝×2×＝
19．解：（1）由题意得：x＝﹣＝﹣＝﹣2，c＝2，
解得：b＝4，c＝2，
则此抛物线的解析式为y＝x2+4x+2；
（2）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣2，BC＝6，
∴B横坐标为﹣5，C横坐标为1，
把x＝1代入抛物线解析式得：y＝7，
∴B（﹣5，7），C（1，7），
设直线AB解析式为y＝kx+2，
把B坐标代入得：k＝﹣1，即y＝﹣x+2，
作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，
可得△AQH∽△ABM，
∴＝，
∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，
∴AQ：QB＝2：3或AQ：QB＝3：2，即AQ：AB＝2：5或AQ：AB＝3：5，
∵BM＝5，
∴QH＝2或QH＝3，
当QH＝2时，把x＝﹣2代入直线AB解析式得：y＝4，
此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y＝x+6，令y＝0，得到x＝﹣6，即P（﹣6，0）；
当QH＝3时，把x＝﹣3代入直线AB解析式得：y＝5，
此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y＝x+，令y＝0，得到x＝﹣13，此时P（﹣13，0），
综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．
20．解：（1）∵P1（4，0），4﹣0＝4＞0，
∴绘制线段P1P2，P1P2＝4；
（2）∵P1（0，0），0﹣0＝0，
∴绘制抛物线，
设y＝ax（x﹣4），
把（6，6）代入得：6＝12a，
解得：a＝，
∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣2x．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
0
﹣3
n
﹣3
…
1．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（ ）
A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0
2．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x﹣4）2﹣25
C．y＝（x+4）2+7D．y＝（x+4）2﹣25
3．经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是 ．
4．如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线y＝kx+（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；
（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．
5．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）如图，连接PB，PO，PC，BC．OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，求出点D的坐标．
6．在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
7．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
8．如图，两条抛物线y1＝﹣x2+4，y2＝﹣x2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线y2的最高点．
（1）求抛物线y2的解析式和点B的坐标；
（2）点C是抛物线y1上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交y2于点D，当线段CD取最大值时，求S△BCD．
9．已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1的顶点为A．点B的坐标为（3，5）．
（1）求抛物线过点B时顶点A的坐标；
（2）点A的坐标记为（x，y），求y与x的函数表达式；
（3）已知C点的坐标为（0，2），当m取何值时，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1与线段BC只有一个交点．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ；
（2）求抛物线的表达式及m，n的值；
（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P'，描出相应的点P'，再把相应的点P'用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
（4）设直线y＝m（m＞﹣2）与抛物线及（3）中的点P'所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系 ．
11．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
12．在平面直角坐标系xOy中，关于x二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
13．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；
（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点，抛物线与y轴交于点C．
（1）求一次函数和二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．
15．如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点横坐标x1的取值范围；
（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．
16．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PD+PH的值最小，则PD+PH的最小值为 ．
（注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标为（﹣，）
18．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．
19．如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x＝﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC＝6．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．
20．学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．
（1）P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）；
（2）P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）．
参考答案
1．解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，
整理得：a（9﹣2h）＝1，
若h＝4，则a＝1，故A错误；
若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；
若h＝6，则a＝﹣，故C正确；
若h＝7，则a＝﹣，故D错误；
故选：C．
2．解：y＝x2﹣8x﹣9
＝x2﹣8x+16﹣25
＝（x﹣4）2﹣25．
故选：B．
3．解：根据题意设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a＝3，即a＝﹣，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+3，
故答案为y＝﹣x2+x+3．
4．解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣2）2+3与y轴交于点A（0，），
∴4a+3＝，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣2）2+3；
（2）∵直线y＝kx+与抛物线有两个交点，
∴kx+＝﹣（x﹣2）2+3，
整理得x2+（3k﹣4）x﹣3＝0，
∴Δ＝（3k﹣4）2+12＞0，
∵x1+x2＝4﹣3k，x1•x2＝﹣3，
∴x12+x22＝（4﹣3k）2+6＝10，
∴k＝或k＝2，
∴k的值为2或；
（3）∵函数的对称轴为直线x＝2，
当m＜2时，当x＝m时，y有最大值，
＝﹣（m﹣2）2+3，
解得m＝，
∴m＝﹣，
当m≥2时，当x＝2时，y有最大值，
∴＝3，
∴m＝，
综上所述，m的值为﹣或．
5．解：（1）将点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入函数解析式，
可得，
解得：，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
又∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）如图，过点D作DM⊥y轴，
由y＝﹣x2﹣2x+3，当x＝0时，y＝3，
∴C点坐标为（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（﹣3，0），C（0，3）代入，
可得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴，，
又∵DM⊥y轴，
∴DM∥OB，
∴，
∴，
解得：OM＝2，
在y＝x+3中，当y＝2时，x＝﹣1，
∴D点坐标为（﹣1，2）．
6．解：（1）由题意，得，
解得，
所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1．
并且该函数图象的顶点坐标为（1，0）．
（2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1，
∵b2﹣4ac＝5＞0，
∴函数y＝x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）由题意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1，
所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+1
＝p2+q2+4
＝（2﹣q）2+q2+4
＝2（q﹣1）2+6≥6，
由条件p≠q，知q≠1．所以 P+Q＞6，得证．
7．解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得0＝4a+4a﹣8，
解得a＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣8，
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9,
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣9）．
（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，
∴m＝16，
把y＝7代入函数解析式得7＝x2﹣2x﹣8，
解得n＝5或n＝﹣3，
∵n为正数，
∴n＝5，
∴点A坐标为（﹣4，16），点B坐标为（5，7）．
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣9），
∴抛物线顶点在AB下方，
∴﹣4＜xP＜5,﹣9≤yP＜16．
8．解：（1）当y1＝0时，即﹣x2+4＝0，解得x＝2或x＝﹣2，
又点A在x轴的负半轴，
∴点A（﹣2，0），
∵点A（﹣2，0），是抛物线y2的最高点．
∴﹣＝﹣2，即b＝﹣，
把A（﹣2，0）代入y2＝﹣x2﹣x+c得，c＝﹣，
∴抛物线y2的解析式为：y2＝﹣x2﹣x﹣；
由得，，，
∵A（﹣2，0），
∴点B（3，﹣5），
答：抛物线y2的解析式为：y2＝﹣x2﹣x﹣，点B（3，﹣5）；
（2）由题意得，CD＝y1﹣y2＝﹣x2+4﹣（﹣x2﹣x﹣），
即：CD＝﹣x2+x+，
当x＝﹣＝时，CD最大＝﹣×+×+＝5，
∴S△BCD＝×5×（3﹣）＝．
9．解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1过点B（3，5），
∴把B（3，5）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，整理得，m2﹣4m+3＝0，
解，得m1＝1，m2＝3，
当m＝1时，y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
其顶点A的坐标为（1，1）；
当m＝3时，y＝x2﹣6x+14＝（x﹣3）2+5，
其顶点A的坐标为（3，5）；
综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；
（2）∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1＝（x﹣m）2+2m﹣1，
∴顶点A的坐标为（m，2m﹣1），
∵点A的坐标记为（x，y），
∴x＝m，
∴y＝2x﹣1；
（3）由（2）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x﹣1上运动，且形状不变，
由（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），
把C（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，得m2+2m﹣1＝2，
解，得m＝1或﹣3，
所以当m＝1或﹣3时，抛物线经过点C（0，2），
如图所示，当m＝﹣3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB的端点），
当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，
所以m的取值范围是﹣3≤m≤3且m≠1．
10．解：（1）根据表格信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；
故答案为：上，直线x＝1；
（2）把（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝﹣2时，m＝4+4﹣3＝5；
当x＝1时，n＝1﹣2﹣3＝﹣4；
（3）画出抛物线图象，描出P'的轨迹，是一条抛物线，如图1所示，
（4）根据题意及（3）中备用图所示图象可得：A3A4﹣A1A2＝1．
故答案为：A3A4﹣A1A2＝1．
11．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a﹣3．
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴2a2﹣a﹣3＝0，
解得a＝或a＝﹣1，
∴抛物线为y＝x2﹣3x+或y＝﹣x2+2x﹣1；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），
∴当a＞0，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．
12．解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，
∴，解得，
∴此二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝，
∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x＝时函数有最小值：y＝﹣﹣2＝﹣，
∴y的最大值与最小值的差为：4﹣（﹣）＝；
（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，
∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，
∵a＜3＜b，
∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，
故解得m＜1，即m的取值范围是m＜1．
13．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴交于点B，
∴点B（0，c），
∵OA＝OB＝c，
∴点A（c，0），
∴0＝﹣c2+2c+c，
∴c＝3或0（舍去），
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点G的坐标为（1，4）；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x＝1，
∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，
∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标为（6，﹣21），
∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，
∴﹣21≤yQ≤﹣5或﹣21≤yQ≤4．
14．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），则
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+1；
（2）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴C（0，3），
则OC＝3，BC＝2，BC∥x轴，
∴S△ABC＝×BC×OC＝＝3．
15．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0，）三点
∴ 解得：a＝，b＝，c＝；
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x+．
（2）抛物线的对称轴为x＝1，抛物线上与Q（4，y2）相对称的点Q′（﹣2，y2）
P（x1，y1）在该抛物线上，y1≥y2，根据抛物线的增减性得：
∴﹣2≤x1≤4
答：P点横坐标x1的取值范围：﹣2≤x1≤4．
（3）∵C（0，），B，（3，0），D（1，0）
∴OC＝，OB＝3，OD，＝1
∵F是BC的中点，
∴F（，）
当点F关于直线CE的对称点为F′，关于直线CD的对称点为F″，直线F′F″与CD、CE交点为M、N，此时△FMN的周长最小，周长为F′F″的长，由对称可得到：F′（，），F″（0，0）即点O，
F′F″＝F′O＝＝3，
即：△FMN的周长最小值为3，
16．解：（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0）
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）
即：y＝a（x﹣1）（x+3）
把B（0，3）代入得：3＝﹣3a
∴a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴，
∴直线AB为y＝x+3，
作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），则M（x，x+3），
∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣（x+）2+．
当x＝﹣时，S最大＝，y＝﹣（﹣）2﹣2×（﹣）+3＝，
∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）
17．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）
∴
解得
∴所求函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3
y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴顶点D（1，4）
（2）∵B（3，0），D（1，4）
∴中点H的坐标为（2，2）其关于y轴的对称点H′坐标为（﹣2，2）
连接H′D与y轴交于点P，则PD+PH最小
且最小值为：＝
∴答案：
18．解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）
∴由上两式解得
∴抛物线的解析式为：；
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝
把x＝代入，得y＝4
则点C坐标为（，4）
设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，
解得
∴AB解析式为：
∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）
抛物线的对称轴l于直线AB交于点D
∴设点D的坐标为D
将点D代入，解得m＝2
∴点D坐标为，
∴CD＝CE﹣DE＝2
过点B作BF⊥l于点F∴BF＝OE＝
∵BF+AE＝OE+AE＝OA＝
∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD＝CD•BF+CD•AE
∴S△ABC＝CD（BF+AE）＝×2×＝
19．解：（1）由题意得：x＝﹣＝﹣＝﹣2，c＝2，
解得：b＝4，c＝2，
则此抛物线的解析式为y＝x2+4x+2；
（2）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣2，BC＝6，
∴B横坐标为﹣5，C横坐标为1，
把x＝1代入抛物线解析式得：y＝7，
∴B（﹣5，7），C（1，7），
设直线AB解析式为y＝kx+2，
把B坐标代入得：k＝﹣1，即y＝﹣x+2，
作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，
可得△AQH∽△ABM，
∴＝，
∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，
∴AQ：QB＝2：3或AQ：QB＝3：2，即AQ：AB＝2：5或AQ：AB＝3：5，
∵BM＝5，
∴QH＝2或QH＝3，
当QH＝2时，把x＝﹣2代入直线AB解析式得：y＝4，
此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y＝x+6，令y＝0，得到x＝﹣6，即P（﹣6，0）；
当QH＝3时，把x＝﹣3代入直线AB解析式得：y＝5，
此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y＝x+，令y＝0，得到x＝﹣13，此时P（﹣13，0），
综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．
20．解：（1）∵P1（4，0），4﹣0＝4＞0，
∴绘制线段P1P2，P1P2＝4；
（2）∵P1（0，0），0﹣0＝0，
∴绘制抛物线，
设y＝ax（x﹣4），
把（6，6）代入得：6＝12a，
解得：a＝，
∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣2x．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
0
﹣3
n
﹣3
…
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