湖南省永州市2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题试题（Word版附答案）

这是一份湖南省永州市2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题试题（Word版附答案），共12页。试卷主要包含了考试结束后，只交答题卡，抛物线C，双曲线C等内容，欢迎下载使用。

命题人：刘魁（永州四中）刘广奇（祁阳一中）石宇（江华一中）邓谨（道县一中）
审题人：胡元紧（永州市教科院）
注意事项：
1．本试卷共150分，考试时量120分钟．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
3．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．正项等比数列，，则
A．8B．4C．2D．1
2．直线l的方程为，则l的倾斜角是
A．30°B．45°C．60°D．90°
3．椭圆的焦点在x轴上，长轴长等于4，离心率，则椭圆的标准方程是
A．B．C．D．
4．在空间直角坐标系Oxyz中，点，点C是点关于z轴的对称点，则
A．B．C．D．
5．抛物线C：（）上的点与焦点F的距离是2，则
A．1B．C．D．2
6．如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线BF与CE所成角的正切值为
（第6题图）
A．B．C．D．2
7．双曲线C：（，）的左焦点为，点，直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，且，则C的渐近线方程为
A．B．C．D．
8．各项均不为零的数列的前n项和为，，，，且，则的最小值等于
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知平面与平面平行，若平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是
A．B．C．D．
10．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则
（图1）（图2）
A．B．C．D．
11．在长方体中，，，点E是正方形内部或边界上异于C的一点，则下列说法正确的是
A．若平面，则
B．不存在点E，使得
C．若，则存在的值为
D．若直线与平面所成角的正切值为2，则点E的轨迹长度为
12．已知双曲线E：（，），过其右焦点的直线l与它的右支交于P、Q两点，与y轴相交于点A，的内切圆与边相切于点B﹐设，则下列说法正确的是
A．的最小值为定值
B．若，则
C．若，过点且斜率为k的直线l与E有2个交点，则
D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，则 ．
14．已知等差数列的前n项和为，且，，则 ．
15．已知点，，若在直线l：上至少存在3个不同的点P，使得△PAB为直角三角形，则实数a的取值范围为 ．
16．表示以点为中心的椭圆，如图所示，为椭圆C：的左焦点，Q为直线上的一点，P为椭圆C上的一点，以FP为边作正方形FPAB（F，P，A，B按逆时针排列），当P在椭圆上运动时，的最小值为 ．
（第16题图）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
△ABC的顶点是，，．
（1）求边AB上的高所在直线的方程；
（2）求过点A，B，C的圆方程．
18．（本题满分12分）
如图，在多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD⊥DC，AF∥DE，AB∥DC，，，，H为CE的中点．
（第18题图）
（1）求证：BH∥平行ADEF；
（2）求点B到平面CEF的距离．
19．（本题满分12分）
已知数列是递增的等差数列，，是与的等比中项，
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
20．（本题满分12分）
如图，矩形是圆柱的一个轴截面，、O分别为上下底面的圆心，E为的中点，，．
（第20题图）
（1）当点A为弧BC的中点时，求证：AO⊥平面；
（2）若点A为弧BC的靠近C点的三等分点，求直线AE与平面所成角的正弦值．
21．（本题满分12分）
已知正项数列前n项和为，满足，数列满足，记数列的前n项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足不等式的正整数n的最大值．
22．（本题满分12分）
已知点A，B关于坐标原点O对称，，圆M过点A，B且与直线相切，记圆心M的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过曲线上的动点P作圆G：的切线，，交曲线于C，D两点，对任意的动点P，都有直线CD与圆G相切，求t的值．
永州市2023年下期高二期末质量监测试卷
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题
二、多项选择题
三、填空题
13．14．315．16．
小题部分解析：
8．由题知：
①
②
②－①得
∵
∴
∵
∴
①中当时，，
∵
∴，
16．将椭圆C逆时针旋转得到：为动点B的轨迹方程
设与已知直线的平行直线为：
得
相切时满足：，
两条平行直线最短距离为所求
四、解答题
17．（本题满分10分）
解：
（1）由题可知，，
设边AB上的高所在直线的斜率k
所以边AB上的高所在直线的为：
即为，
（2）设圆的方程为
将点，，代入圆方程
解得
圆方程为：
18．（本题满分12分）
解：
（1）作DE的中点，记为点G，连接AG，HG
∵HG∥DC，且
又∵AB∥DC，且
∴AB∥HG，且，则四边形ABHG为平行四边形
即BH∥AG
又∵平面ADEF，平面ADEF
∴BH∥平面ADEF
（2）以D为原点，DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，，，，
，
设平面CEF的法向量为，由，得：
，令，得，，即
又∵
∴设点B到平面CEF的距离为d
则
19．（本题满分12分）
解：
（1）设等差数列的公差为d，由题知
得
化简得
又因为，得
所以
（2）由题
则
所以
20．（本题满分12分）
解：
（1）∵A是圆弧BC上的中点
∴AO⊥BC
又∵平面是圆柱的轴截面
∴
又∵，且平面，平面
∴AO⊥平面
（2）连接，以O为原点，OA、OB、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，
，
设平面的法向量为，由OA⊥n，得：
，令，得，，即
又∵
∴设直线AE与平面所成的角为
则
21．（本题满分12分）
解：
（1）由题，得，即
又，得
当，得且
得即
得或
所以是以2为首项，1为公差的等差数列
所以
（2）由题
又
由得即
即记
得
所以，单调递减，又，
所以的正整数n的最大值为6．
22．（本题满分12分）
解：
（1）设圆M半径为r，圆心
∵圆M过A，B两点，连接圆心
∴
∵圆M与直线相切
∴，
∴
即曲线的方程
（2）当时，设，
切线：，切线：
由对称性可知CD：
由：，解得
下面证明在任意情况下结论成立。
设，，
由对称性将切线，统一为
则G到直线的距离为1
由得，
，
另一方面，联立，得
a，是方程的两个根
，
同理a，是方程的两个根
，
直线CD方程：
化简为
，
将上式代入直线CD方程中，得到
圆心到直线距离为：
综上，时，对任意的动点P，都有直线CD与圆G相切
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
C
D
D
B
D
题号
9
10
11
12
答案
AC
ACD
AD
BCD