湖南省涟源市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省涟源市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了本卷命题范围，已知空间向量，，若，则，若数列满足，且，，，则，已知F为抛物线C，下列关于函数的判断正确的是，函数的导函数的图象如图所示，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．本卷命题范围：选择性必修第一册，选择性必修第二册。
一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知直线l：的倾斜角为60°，则实数
A．B．C．D．
2．在等差数列中，，则的值是
A．72B．48C．36D．24
3．方程表示一个圆，则m的取值范围是
A．B．C．D．
4．已知空间向量，，若，则
A．B．C．D．
5．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是
A．B．
C．或D．或
6．若数列满足，且，，，则
A．B．C．D．
7．已知F为抛物线C：（）的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点，若，则
A．1B．2C．3D．4
8．下列关于函数的判断正确的是
①的解集是；②是极小值，是极大值；③没有最小
值，也没有最大值；④有最大值，没有最小值．
A．①③B．①②③C．②④D．①②④
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小随给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．函数的导函数的图象如图所示，则
A．为函数的零点B．为函数的极小值点
C．函数在上单调递减D．是函数的最小值
10．已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，则下列选项中正确的是
A．B．（）
C．D．
11．设，为双曲线C：（，）的左，右焦点，过左焦点且斜率为的直线l与C在第一象限相交于一点P，则下列说法正确的是
A．直线l倾斜角的余弦值为B．若，则C的离心率
C．若，则C的离心率D．不可能是等边三角形
12．已知函数（），则
A．当时，函数存在极值点
B．若函数在点处的切线方程为直线，则
C．点是曲线的对称中心
D．当时，函数有三个零点
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．曲线在处的切线方程为 ．
14．若圆C：被直线平分，则圆C的半径为 ．
15．若过点可以作三条直线与函数相切，则实数a的取值范围是 ．
16．已知数列是正项数列，是数列的前n项和，且满足．若，是数列的前n项和，则 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）
已知函数（a，）的图象过点，且．
（1）求a，b的值﹔
（2）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积．
18．（12分）
已知圆C的圆心在x轴上，并且过，两点．
（1）求圆C的方程；
（2若P为圆C上任意一点，定点，点Q满足，求点Q的轨迹方程．
19．（12分）
已知等差数列的首项为1，其前n项和为，且是2与的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若是数列的前n项和，求证：．
20．（12分）
已知M，N分别为双曲线：和双曲线：上不与顶点重合的点，且MN的中点在双曲线的渐近线上，设OM，ON的斜率分别为，．
（1）求证为定值；
（2）判断△MON的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．
21．（12分）
如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，，，，三角形PAB是等腰三角形．
（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的大小．
22．（12分）
已知函数（）．
（1）当，求函数的极值；
（2）若，是方程的两个不同实根，证明：．
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参考答案、提示及评分细则
1．B
已知直线l：的倾斜角为60°，则直线l：的斜率为，则．
2．C
由题设，，则，所以．
3．C
由，得，解得．
4．A
因为，所以，故．
5．D
由题知表示焦点在y轴上的椭圆，则有：，解得或．
6．A
令，，令，则，所以，所以数列是首项和公比都为的等比数列，所以．
7．B
抛物线C的方程为C：（），则其焦点，设直线AB的方程为，由可得，，，，根据抛物线定义，，，因为，所以，所以，即，解得．
8．D
对于①，，若，则，解得，∴的解集是，①正确；对于②，∵，令，则，解得，∴在，上单调递减，在上单调递增，则是极小值，是极大值，②正确；对于③④，当时，则；当时，在上单调递增，在上单调递减，则；综上所述：对，，即为的最大值，无最小值；故③错误，④正确．故选D．
9．BC
由的图象可知，在和上单调递增，在和上单调递减，所以为的极小值点，所以B，C均正确；是的零点，但不一定是的零点，所以A错误；是函数的极小值，但不一定是最小值，所以D错误．故选BC．
10．ABC
设等差数列的公差为d，由于，，成等比数列，所以，即，所以，解得或（舍去），所以，．所以，A项正确；，，由于，所以（），B选项正确：，，所以C选项正确，D选项错误．故选ABC．
11．AD
设直线倾斜角为，则，所以，故A正确；P在第一象限内，若，则，；由余弦定理很，整理得，解得或（舍），故B错误；若，则，，由余弦定理得，整理得，解得或（舍），故C错误；由，知不可能为等边三角形，故D正确．故选AD．
12．BC
由（），可得．对于A，当时，，在R上单调递增，故函数不存在极值点，故A错误；对于B，由切线方程知，解得，故B正确；对于C，因为，所以函数关于成中心对称，故C正确；对于D，当时，，当或时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为，故函数一定不会有3个零点，至多1个零点，故D错误．故选BC．
13．
根据题意可得，则当l时，，，所以曲线在处的切线方程为，整理得．
14．
若圆C被直线平分，则直线过圆心，圆C：的圆心为，即，解得，则圆C：，则圆C的半径为．
15．
设切点，由可得，切线的斜率为，所以切线的方程为．又因为点在切线上，所以，即有三个不同的实数解，不是方程的解，所以有三个不同的实数解．令，，当，时，，单调递增，当时，，单调递减，，当t趋于0时，趋于正无穷，所以．
16．
∵，∴（），∴，∴，∴，∴，∴（），当时，符合，∴，（），当时，符合，∴，，．
17．解：
（1）由，得，
由题意可得，，解得．
（2）由（1）得，，，∴，，
曲线在点处的切线方程为，即．
取，得，取，得，
∴曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积．
18．解：
（1）由题意可知，AB的中点为，，所以AB的中垂线方程为，
它与c轴的交点为圆心．
又半径，所以圆C的方程为．
（2）设，，由，得，
所以，
又点P在圆C上，故，所以，
化简得Q的轨迹方程为．
19．
（1）解：设等差数列的公差为d，由题意，
即，解得，
∴，
即数列的通项公式为（）．
（2）证明：
∵，
∴
．
20．
（1）证明：设，，则，．
由MN的中点在双曲线的渐近线上，则，
即，
∴，
∴为定值．
（2）解：△MON的面积为定值．
OM：，①
：，②
联立①②得：，同理，，
设N到直线OM的距离为d，又，则，
∴
由（1）知：，
∴
，
即△MON的面积为定值1．
21．
（1）证明：在△ABC中由余弦定理得，
解得，所以，即AB⊥AC．
又因为AB∥CD，所以CD⊥AC，
因为PA⊥平面ABCDE，平面ABCDE，所以PA⊥CD，
因为，AC，平面PAC，所以CD⊥平面PAC，
又因为平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC．
（2）解：因为PA⊥平面ABCDE，AB，平面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AC，由（1）得AB⊥AC，所以PA，AB，AC两两垂直，以A为坐标原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则，，，
过E作EF⊥AC交AC于F，所以EF∥CD∥AB，
因为，，所以，
又因为ED∥AC，所以，，
所以，，．
设平面PCD的法向量，
所以，即，
取，则．
设直线PB与平面PCD所成角为，
所以．
所以直线PB与平面PCD所成角为．
22．
（1）解：∵（），
∴．
当时，，
由，得，
由，得，
即在上单调递增，在上单调递减．
∴在处取得极大值，且极大值为，无极小值．
（2）证明：
∵，是方程的两个不同实根，
∴，
∴，，即，．
设，则，
∴当时，，当时，，故在上单调递，在上单调递增．
由题意设，欲证，只需证，
又，，在上单调递增，
故只需证．
∵
∴只需证对任意的恒成立即可，
即，
整理得，
即．
设，，
则．
∵，
∴，
∴，
∴在上单调递减，则，
∴成立．