2022-2023学年山西省运城市九年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年山西省运城市九年级（上）期末数学试卷(含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知∠A是锐角，tanA= 3，那么∠A的度数是( )
A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
2.抛物线y=2x2−3的顶点坐标是( )
A. (2,−3)B. (−3,0)C. (0,−3)D. (2,0)
3.抛物线y=ax2+bx+c与直线y=abx+c同一坐标系的大致可能是( )
A. B.
C. D.
4.已知m≠0，点A(3−m,y1)，B(3,y2)，C(3+m,y3)都在二次函数y=2(x−3)2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3B. y1=y3>y2C. y1=y35.抛物线C1：y=2(x−3)2+1与抛物线C2：y=a(x−h)2+k关于x轴对称，则抛物线C2的表达式是( )
A. y=−2(x−3)2−1B. y=2(x+3)2+1
C. y=−2(x+3)2−1D. y=−2(x−3)2+1
6.如图，在△ABC，∠A=30°，AC=6，AB=8，则△ABC的面积为( )
A. 24
B. 12 3
C. 24 3
D. 12
7.关于二次函数y=x2−2x+3的图象，下面说法：①二次函数y=x2−2x+3的图象与直线y=3有两个交点；②二次函数y=x2−2x+3的图象与直线y=2有一个交点；③二次函数y=x2−2x+3的图象与直线y=−1没有交点；其中正确的有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
8.如图，在△ABC中，BC=9，AD⊥BC交BC的延长线于点D，已知∠ACD=2∠B，sin∠ACD=23，则AD的长为( )
A. 3 5B. 5C. 6D. 无法计算
9.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的自变量x与因变量y的部分对应值如表格，关于这个二次函数的图象下面说法：①抛物线的对称轴为y轴；②抛物线的开口向下；③抛物线与y轴的交点坐标为(0,1)；④当x=−3时，y=13，其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，将△ACD沿直线CD折叠，点A在AB边上的点E处，已知AC=5，DE=3，则sin∠BCE的值为( )
A. 725
B. 35
C. 45
D. 2425
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanB=12，则sinB的值为______．
12.抛物线y=−2x2+4x+n经过(−1,m)和(a,m)两点，则a值为______．
13.如图，在5×6的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinB= ______．
14.点P(a,b)是抛物线C1：y=a(x−3)2+2上一点，将抛物线C1平移，得到抛物线C2：y=a(x+1)2−1，点P平移后的对应点为点P′，则点P′坐标为______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点D作DE⊥CD交BC于点E，若tanA=43，BE=7，则DE的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：2sin60°−3tan30°−|2cs45°−1|．
17.(本小题5分)
探究二次函数y=2(x−3)2−1及其图象的性质，请填空：
①图象的开口方向是______；
②图象的对称轴为直线______；
③图象与y轴的交点坐标为______；
④当x= ______时，函数y有最小值，最小值为______．
18.(本小题8分)
画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线，小明想在下面的平面直角坐标系中画函数y=kx+b与函数y=x2−x−c的图象，他已经画出函数y=kx+b的图象，它的图象经过A(−1,0)，B(2,−3)两点.在画二次函数y=x2−x−c的图象时，他根据x，y的对应关系列出了下面表格．
根据以上信息完成下面任务：
(1)请你根据表格提供的对应值，在平面直角坐标系中画出函数y=x2−x−c的图象；
(2)函数y=x2−x−c中c的值为______；
(3)请你根据图像直接写出不等式kx+b>x2−x−c的解集；
(4)若二次函数y=x2−x−c的图象的顶点为C，则△ABC的面积为______．
19.(本小题7分)
某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么每月可售出40件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少2件.销售单价为多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，BC=2，tanB=12，点D是BC延长线上一点，tan∠ACD=34．
(1)求点A到BD的距离；
(2)求sinA的值．
21.(本小题9分)
如图，从点C观测楼房的顶端A的仰角为∠BCA，斜坡CD的坡角为∠DCE，在斜坡CD的点D处观测楼房的顶端A的仰角为∠FDA，已知DF⊥AB于点F，tan∠ACB=32，tan∠ADF=12，sin∠DCE=35，CD=10米，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，求楼房AB的高度．
22.(本小题7分)
阅读理解题
初中数学中关于直角三角形有许多正确的命题，有时我们并没有把它作为定理，但有些真命题对我们做题很有帮助，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则有如下三个结论：①AC2=AD⋅AB；②BC2=BD⋅AB；③CD2=AD⋅BD.在我们学习相似时就证明过，但学习了三角函数以后，小明利用三角函数给出了结论①证明过程(部分)：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
csA=ACAB，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，
……
完成下面的任务：
任务一：请你按照小明证明思路，写出该证明的剩余部分；
任务二：在图1中，若AC=5，tanB=12，则BD的长为______．
任务三：如图2，抛物线y=a(x−4)(x+1)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，∠ACB=90°，则a的值为______．
23.(本小题12分)
综合与实践
问题情境
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AC上一点，将△BCD沿直线BD折叠，点C落在AB上的点E，连接DE．
独立思考
(1)如图1，求tan∠DBC的值；
问题拓展
如图2，点F是图1中AB上一动点，连接CF，交BD于点G．
(2)当点F是AB的中点时，求证：DGBG=49；
(3)当点G是BD的中点时，请你直接写出AFBF的值．
24.(本小题12分)
综合与探究
如图，二次函数y=12x2+x−4的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点P是第三象限内二次函数图象上一动点，设点P的横坐标为m，过点p作直线PE/​/BC分别交x轴，y轴于点D，E．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的表达式；
(2)当DP=DE时，求m的值；
(3)连接PC，试探究：在点P的运动过程中，是否存在点P，使得△PCE是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵∠A是锐角，tanA= 3，
∴∠A=60°．
故选：D．
直接根据特殊角的三角函数值解答即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵抛物线y=2x2−3，
∴抛物线顶点坐标为(0,−3)，
故选：C．
直接由抛物线解析式即可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k中，顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h．
3.【答案】D
【解析】解：选项A中，由二次函数的图象可知a>0，b>0，c<0，则直线y=abx+c过第一、三、四象限，故选项A不符合题意；
选项B中，由二次函数的图象可知a<0，b<0，c>0，则直线y=abx+c过第一、二、三象限，故选项B不符合题意；
选项C中，由二次函数的图象可知a>0，b<0，c<0，则直线y=abx+c过第二、三、四象限，故选项C不符合题意；
选项D中，由二次函数的图象可知a<0，b>0，c>0，直线y=abx+c过第一、二、四象限，故选项D符合题意；
故选：D．
根据各个选项中的二次函数的图象可得a，b，c的符号，即可得直线y=abx+c过的象限，即可得出答案．
本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．
4.【答案】B
【解析】解：∵y=2(x−3)2+k，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，开口向上，
∵m≠0，点A(3−m,y1)，B(3,y2)，C(3+m,y3)都在二次函数y=2(x−3)2+k的图象上，
∴B(3,y2)在对称轴上，A(3−m,y1)和C(3+m,y3)关于对称轴对称，
∴y1=y3>y2，
故选：B．
先确定抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质求解即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：抛物线y=2(x−3)2+1的顶点坐标为(3,1)，而(3,1)关于x轴对称的点的坐标为(3,−1)，所以所求抛物线的解析式为y=−2(x−3)2−1．
故选：A．
先确定抛物线y=2(x−3)2+1的顶点坐标为(3,1)，再利用关于x轴对称的点的坐标特征得到新抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出新抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6.【答案】D
【解析】解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，
∴在Rt△ACD中，AC=6，AC=2CD，
∴CD=12AC=12×6=3，
∴△ABC的面积为S△ABC=12AB⋅CD=12×8×3=12，
故选：D．
如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，根据含30°角的直角三角形的性质可求出CD的长，再根据三角形面积的计算方法即可求解．
本题主要考查几何图形的面积计算方法，含30°角的直角三角形的性质的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：y=x2−2x+3=(x−1)2+2，
∴顶点坐标为(1,2)，
∵a=1>0，
∴抛物线向上，
∵3>2，
∴抛物线y=x2−2x+3顶点在直线y=3的下方，
∴二次函数y=x2−2x+3的图象与直线y=3有两个交点，故①正确；
又抛物线y=x2−2x+3顶点在直线y=2的上，
∴二次函数y=x2−2x+3的图象与直线y=2有一个交点，故②正确；
∵2>−1，
∴抛物线y=x2−2x+3顶点在直线y=−1的上方，
∴二次函数y=x2−2x+3的图象与直线y=−1没有交点，故③正确；
因此正确的结论是①②③，共3个，
故选：D．
求出y=x2−2x+3顶点坐标纵坐标进行判断即可．
本题考查了二次函数图象与性质，正确求出抛物线顶点坐标是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵∠ACD=2∠B=∠B+∠BAC，
∴∠B=∠BAC，
∴CB=CA=9，
∵AD⊥BC，sin∠ACD=23，
∴sin∠ACD=ADAC=23，
∴AD=23×9=6，
故选：C．
根据三角形的外角的性质以及已知条件，可得∠B=∠BAC，进而可得CB=CA=9，根据正弦的定义，即可求解．
本题考查了三角形的外角的性质，等角对等边，正弦的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：把x=−1，y=3；x=0，y=1；x=2，y=3代入y=ax2+bx+c，
得a−b+c=3c=14a+2b+c=3，解得a=1c=1b=−1，
∴抛物线的解析式为y=x2−x+1=(x−12)2+34，
∴①抛物线的对称轴为x=12，原说法不正确；
②∵a=1>0，
∴抛物线的开口向上，原说法不正确；
③抛物线与y轴的交点坐标为(0,1)，原说法正确；
④当x=−3时，y=13，原说法正确；
正确的有③④，共2个，
故选：B．
利用待定系数法求得抛物线的解析式，根据二次函数的性质即可判断．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据二次函数的性质作答是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，作EF⊥BC于点F，
在Rt△ABC中，
∵AC⊥BC，
∴AC/​/EF，
∴∠A=∠BEF，
∵CD⊥AB，∠A+∠ACD=∠BEF+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵折叠，
∴AC=CE=5，DE=AD=3，∠ACD=∠DCE，
∴∠DCE=∠B,CD= 52−32=4，
∴cs∠DCE=cs∠B，
∴CDCE=BFBE=45，
设BF=4x，BE=5x，
∴EF=3x，
∴sin∠B=ACAB=EFBE，
∴56+5x=3x5x，
∴x=715，
∴EF=3x=75，
sin∠BCE=EFCE=755=725，
故选：A．
作EF⊥BC于点F，先这么∠ACD=∠B，再根据折叠的性质、勾股定理得到∠DCE=∠B，CD=4，由余弦定义得到CDCE=BFBE=45，由正弦定义得到sin∠B=ACAB=EFBE，据此设BF=4x，BE=5x，EF=3x，解出x=715，从而得到EF=75，最后根据正弦定义解答即可．
本题考查正弦、余弦、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
11.【答案】 55
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,tanB=12，
∴tanB=ACBC=12，
设 AC=x则BC=2x，
故AB= 5x，
则 sinB=ACAB=x 5x= 55，
故答案为： 55．
直接利用勾股定理求出 AB 的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角之间的关系是解题关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵抛物线y=−2x2+4x+n经过(−1,m)和(a,m)两点，
∴对称轴为：直线x=−42×(−2)=−1+a2，
解得：a=3，
故答案为：3．
由抛物线的对称轴公式建立方程求解即可．
本题考查的是利用抛物线的对称轴公式求解，熟练的求解抛物线的对称轴是解本题的关键．
13.【答案】35
【解析】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，
∵顶点A，B，C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，
∴BD=4，AD=3，
∴AB= AD2+BD2=5，
∴sinB=ADAB=35，
故答案为：35．
如图所示，过点A作AD⊥BC于D，根据题意和网格的特点得到BD=4，AD=3，利用勾股定理求出AB的长，再根据正弦的定义进行求解即可．
本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14.【答案】(a−4,b−3)
【解析】解：将抛物线C1：y=a(x−3)2+2平移，得到抛物线C2：y=a(x+1)2−1，
平移规律为向左平移4个单位，向下平移3个单位，
则点P(a,b)平移后的对应点P′的坐标为(a−4,b−3)，
故答案为：(a−4,b−3)．
根据顶点式得到平移规律，即可求解．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据二次函数图象的平移确定平移是解答此题的关键．
15.【答案】15
【解析】解：∵∠ACB=90°，tanA=43，
∴设AC=3x，BC=4x，
∴AB= AC2+BC2=5x，
∵D是AB的中点，
∴CD=BD=AD=12AB=52x，
∴∠DCB=∠DBC，
又DE⊥CD，
∴∠A=∠DEC，
∴tanA=tan∠DEC=CDDE=52xDE=43，
∴DE=158x，
∴CE= CD2+DE2=258x，
∵BE=7，
∴4x−258x=7，
解得x=8，
∴DE=158×8=15．
故答案为：15．
由∠ACB=90°，tanA=43，可设AC=3x，BC=4x，由勾股定理得到AB=5x，由直角角三角形斜边上中线的性质得到CD=BD=AD=12AB=52x，再证∠A=∠DEC，求得DE=158x，据此求解即可得到答案．
本题主要考查了勾股定理、三角函数、直角三角形斜边上中线的性质，掌握三角函数，直角三角形中线的性质是解题的关键．
16.【答案】解：2sin60°−3tan30°−|2cs45°−1|
=2× 32−3× 33−|2× 22−1|
= 3− 3−| 2−1|
= 3− 3−( 2−1)
= 3− 3− 2+1
=1− 2．
【解析】先代入特殊角的函数值，再化简绝对值，最后加减．
本题考查了实数的运算，掌握特殊角的函数值及绝对值的意义是解决本题的关键．
17.【答案】向上 x=3 (0,17) 3 −1
【解析】解：∵y=2(x−3)2−1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=3，顶点坐标为(3,1)，
∴当x=3时，y有最小值1，
令x=0，则y=17，
∴图象与y轴的交点坐标为(0,17)，
故答案为：①向上；②x=3；③(0,17)；④3，−1．
利用抛物线的顶点式和二次函数的性质填空即可．
本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18.【答案】c=−3 3
【解析】解：(1)画图象如下：
(2)根据表格可知，y=x2−x−c的图象经过点(−1,0)，
将(−1,0)代入y=x2−x−c可得：c=−3，
故答案为：−3；
(3)根据表格和图象可知，y=x2−x−c的图象和y=kx+b的两个交点分别是：(−1,0)和 (2,−3)，
∴不等式 kx+b>x2−x−c 的解为−1(4)根据题意，得顶点C 坐标为 (1,−4)，过C作CH垂直于x轴交 AB于H，
则H(1,−2)，
∵A(−1,0)，B(2,−3)．
∴S△ABC=S△ACH+S△BCH=12×2×2+12×2×1=3．
故△ABC 的面积为3．
(1)根据表格中的坐标在坐标系中描点连线即可；
(2)选择一个表格中的点代入即可求解；
(3)根据图像找出两个函数的交点坐标即可求解；
(4)求出顶点C 坐标，过C作CH垂直于x轴交 AB于H，根据S△ABC=S△ACH+S△BCH即可求解；
该题考查了二次函数画图方法，二次函数图象的性质、二次函数与一次函数交点确定以及与不等式相结合与三角形面积相结合的相关知识点和解题方法，解答该题的关键是熟悉这些知识点并能够熟练运用．
19.【答案】解：设销售单价为x元，销售利润为y元，
∴y=(x−20)[40−2(x−30)]
=−2(x−20)(x−50)
=−2(x−35)2+450，
∵−2<0，
∴当x=35时，y最大=450，
∴销售单价为35元时，每月获得的销售利润最大，最大利润为450元．
【解析】根据题目中的数量，设销售单价为x元，销售利润为y元，表示出y关于x的函数表达式，再根据二次函数图象的性质即可求解．
本题主要考查二次函数与销售问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握二次函数解决实际问题的方法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)作AE⊥BD于点E，

设AE=3x，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∵tanB=AEBE=12，
∴BE=2AE=6x，
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
∵tan∠ACE=AECE=34，
∴CE=43AE=4x．
∵BC=BE−CE，
∴2=6x−4x，
∴x=1，
∴AE=3；
即点A到BD的距离为3；
(2)作CF⊥AB于点F，

由(1)可得BE=2AE=6x=6，CE=4x=4，
在Rt△ABE中，AB= AE2+BE2= 32+62=3 5，
在Rt△ACE中，AC= AE2+CE2= 32+42=5，
∵S△ABC=12BC⋅AE=12AB⋅CF，
∴12×2×3=12×3 5CF，
∴CF=25 5，
在Rt△ACF中，∠AFC=90°，
则sin∠BAC=CFAC=25 55=225 5．
【解析】(1)作AE⊥BD于点E，设AE=3x，由tanB=12可得BE=2AE=6x，由tan∠ACE=AECE=34可得CE=43AE=4x.由BC=BE−CE得到2=6x−4x，解得x=1，得到AE=3，即可得到点A到BD的距离；
(2)作CF⊥AB于点F，由(1)可得BE=6，CE=4，由勾股定理得到AB=3 5，AC=5，由S△ABC=12BC⋅AE=12AB⋅CF得到CF=25 5，即可得到sinA的值．
此题考查了解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．
21.【答案】解：作DM⊥BE于点M，则四边形BMDF是矩形，

∴DM=BF，DF=BM，
在Rt△CDM中，∠CMD=90°，
∵sin∠DCE=DMCD=DM10=35，
∴DM=6，
∴BF=DM=6，
CM= CD2−DM2= 102−62=8，
设AF=x米，则AB=AF+BF=x+6，
在Rt△ADF中，∠AFD=90°，
∵tan∠ADF=AFDF=xDF=12，
∴DF=2x．
∴BM=DF=2x．
∴BC=BM−CM=2x−8，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵tan∠ACB=ABBC=x+62x−8=32，
∴x=9，
∴AB=x+6=9+6=15(米)
答：楼房AB的高度为15米．
【解析】作DM⊥BE于点M，利用Rt△CDM和矩形BMDF可以得到DM、CM和BF的值，设AF=x米，再利用Rt△ADF可以把DF即BM用x表示出来，最后利用Rt△ABC可以得到关于x的方程，解方程得到x的值即可得到AB的值．
本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的意义和定义式、勾股定理的应用、一元一次方程的应用是解题关键．
22.【答案】4 5 12
【解析】解：任务一：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴csA=ACAB，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，
∴csA=ADAC，
∴ACAB=ADAC，
∴AC2=AD⋅AB．
任务二：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴tanB=ACBC，
∵AC=5，tanB=12，
∴5BC=12，
∴BC=10，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°．
在Rt△BDC中，∠BDC=90°，
∴tanB=CDBD=12，
∴CD=12BD，
∵CD2+BD2=BC2，
∴(12BD)2+BD2=102，
∴BD=4 5，
故答案为：4 5；
任务三：令y=a(x−4)(x+1)中，y=0，则0=a(x−4)(x+1)，
解得x=4或x=−1，
∴OA=1，OB=4，
∵∠ACB=90°，OC⊥AB，
∴由题材结论可得，OC2=OA⋅OB，即OC2=1×4，
∴OC=2，
∴C(0,−2)，
把C(0,−2)代入y=a(x−4)(x+1)得−2=a(−4)×1，
解得a=12，
故答案为：12．
任务一，在Rt△ABC和Rt△ADC中，由余弦的定义可得csA=ACAB，csA=ADAC，从而有ACAB=ADAC，根据比例的基本性质即可得证；
任务二：在Rt△ABC中，解直角三角形BC=10，在Rt△BDC中，由正切定义得CD=12BD，进而利用勾股定理即可得解；
任务三：令y=a(x−4)(x+1)中，y=0得x=4或x=−1，于是有 OA=1，OB=4，由题材结论可得OC2=1×4，从而求得C(0,−2)，把C(0,−2)代入y=a(x−4)(x+1)求解即可．
本题主要考查了二次函数的图象及性质，解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握勾股定理、解直角三角形以及二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】(1)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB= AC2+BC2= 32+42=5，
由折叠可知：DC=DE，
∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，
∴12BC⋅AC=12BC⋅CD+12AB⋅DE，
∴12×3×4=12×4CD+12×5DE，
∴CD=43，
在Rt△BCD中，∠C=90°，tan∠DBC=CDBC=434=13；
方法二：在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB= AC2+BC2= 32+42=5，
由折叠可知：DC=DE，BC=BE，
∠C=∠DEB=90°，
∴AE=AB−BE=5−4=1，
∵∠C=∠DEA=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，
∴AEAC=DEBC，
∴13=DE4，
∴DE=43，
∴CD=DE=43，
在Rt△BCD中，∠C=90°，
∴tan∠DBC=CDBC=434=13；
(2)证明：方法一：延长CF到点M，使FM=FC，连接BM，

∵FA=FB，∠BFM=∠AFC，
∴△BFM≌△AFC(SAS)．
∴AC=BM，∠M=∠ACF，
∴BM//AC，
∴∠MBG=∠CDG，
∴△MBG∽△CDG，
∴DGBG=CDBM，
∴DGBG=433=49，
方法二：过点B作BM/​/AC交CF的延长线于点M，

∴∠MBF=∠A，∠M=∠ACF，∠MBG=∠CDG，
又∵FA=FB，
∴△BFM≌△AFC(AAS)，
∴AC=BM，∠M=∠ACF，
∴△MBG∽△CDG，
∴DGBG=CDBM，
∴DGBG=433=49．
方法三：作GM⊥BC于点M，

∴∠GMB=∠DCB=90°，
∴GM//DC
∴DGBG=CDBM
∵∠ACB=90°，FA=FB．
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠ABC=ACBC=34，
∴tan∠GCM=tan∠ABC=34
设GM=a，
在Rt△GMC中，∠GMC=90°，tan∠GCM=GMCM=34．
∴CM=43a，
在Rt△GMB中，∠GMB=90°，tan∠GBM=GMBM=13．
∴BM=3a．
∴DGBG=43a3a=49
(3)解：如图4，过B作BN/​/AC，交CF延长线于点N，

∴∠BNG=∠DCG，△BNF∽△ACF，
∵G为BD中点，
∴BG=GD，
∵∠BGN=∠DGC，
∴△BGN≌△DGC(AAS)，
∴BN=CD=43，
由△BNF∽△ACF得：AFBF=ACBN=343=94，
∴AFBF=94．
【解析】(1)由折叠性质可知DE=CD，利用等面积求出CD长即可；
(2)添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可证明；
(3)作平行线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可求解．
此题考查了全等三角形和相似三角形，解题的关键是如何添加辅助线，熟练掌握以上知识的性质及其应用．
24.【答案】解：(1)由y=12x2+x−4得，
当x=0时，y=−4
∴点C的坐标为(0,−4)．
当y=0时，12x2+x−4=0，
解得x1=−4，x2=2
∵点A在点B的左侧，
∴点A，B的坐标分别为(−4,0)，(2,0)．
由上可设BC的表达式为y=kx−4，把B点坐标代入可得：k=2，
∴直线BC的表达式为y=2x−4；
(2)作PF⊥x轴于点F，

∴∠PFD=∠EOD=90°，
又∵∠PDF=∠EDO，DP=DE，
∴△PDF≌△EDO．
∴DO=DF，
∴DF=−12m．
∵PE/​/BC，
∴∠PDF=∠CBO．
又∵∠PFD=∠COB=90°，
∴△PDF∽△CBO．
∴PFDF=COBO，
∴−(12m2+m−4)−m2=42，
∴m1=−2 2，m2=2 2(舍去)；
(3)∵PE//BC，
∠PEC=∠OCB<90°，
∵P(m,12m2+m−4),E(0,12m2−m−4),C(0,−4)，
∴PE2=m2+[12m2+m−4−(12m2−m−4)]2=5m2，
PC2=m2+[12m2+m−4−(−4)]2=m2+(12m2+m)2，CE2=(12m2−m)2，
∴①当∠CPE=90°时，PC2+PE2=CE2即m2+(12m2+m)2+5m2=(12m2−m)2，
∴m=−3或m=0(舍去)；
②当∠PCE=90°时，则PC⊥y轴，
∴12m2+m−4=−4，
∴m=−2或m=0(舍去)，
综上所述，
存在点P，使得△PCE是直角三角形，此时m1=−2，m2=−3．
【解析】(1)在抛物线的解析式中令x=0或y=0，即可得到A、B、C的坐标，再利用待定系数法可以得到BC的表达式；
(2)作PF⊥x轴于点F，由题意可得△PDF≌△EDO，从而DF=−12m，再由已知可以得到△PDF∽△CBO，PFDF=COBO，从而得到关于m的方程，解方程即可得到m的值；
(3)由已知，可以用m表示P、C、E的坐标，然后分当∠CPE=90°和∠PCE=90°两种情况讨论．
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握函数的基本知识、全等三角形和相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用及一元二次方程的解法是解题关键．x
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−2
−1
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2
3
4
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y
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7
3
1
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7
13
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5
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