福建省莆田市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份福建省莆田市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．“思明拾光”系列短视频以中国“二十四节气”为主线，在自然与人文之间开启全新的阅读视角．请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、 “立夏”、 “芒种”、 “白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．要使式子有意义，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角的大小为（ ）
A．B．C．D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．小亮为宣传“两会”，设计了形状如图所示的彩旗，图中∠ACB＝90°，∠D＝15°，点A在CD上，AD＝AB，BC＝2dm，则AD的长为( )
A．3dmB．4dmC．5dmD．6dm
7．如图，将沿某直线翻折得到，与交于点，则折痕不一定是（ ）
A．中边上的中线所在的直线B．中边上的高所在的直线
C．的角平分线所在的直线D．线段的垂直平分线
8．如图，在中，于点，为边上中线，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为（ ）
A．30B．15C．D．
9．如图，以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案．若四个正方形的周长之和为，面积之和为，则长方形的面积为（ ）

A．B．C．D．
10．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一道趣题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖得的钱数相同．甲农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖得15个铜板．”乙农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得个铜板．”试问这两名农妇各带了多少个鸡蛋？设甲农妇带了个鸡蛋，列出方程，现有以下结论：①甲农妇所卖鸡蛋的单价是；②乙农妇所卖鸡蛋的单价是；③100个鸡蛋所卖得的钱数是；④所列方程依据的等量关系是甲乙农妇卖得的钱数相同．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是 ．
12．计算：＝ ．
13．图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，已知，则图2中的度数为 ．

14．分解因式：= ．
15．如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为 ．
16．如图，中，，，为射线上一动点，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形．为上一点，，连接．当取最小值时，则的度数为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，在和中，，，，求证：．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，在中，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的度数．
21．如图，在等边中，点，在边上，，点是点关于的对称点，连，．
(1)求证：；
(2)求证：是等边三角形．
22．（1）定义：，，称为，的调和平均数．下列赋予实际意义的例子，其中正确的是_________．
①一辆汽车以的速度由甲地驾往乙地，然后以的速度返回，汽车往返两地的平均速度；
②两杯相同质量的糖水，甲杯含糖率为，乙杯含糖率为，将两杯混合后的含糖率；
③用相等的费用购进甲乙两种不同的糖果，甲糖果的单价为每千克元，乙糖果的单价为每千克元，将甲乙两种糖果混在一起成为什锦糖，这种什锦糖每千克的成本价．
（2）甲乙两港口相距10千米，一艘游轮从甲港口顺水航行到乙港口需要小时，从乙港口逆水航行到甲港口需要小时，问：在静水的条件下，游轮从甲港口航行到乙港口需要多少小时？
23．在学习等腰三角形时，我们知道，等腰三角形的一边的长度和一个角的大小确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了．对等腰三角形继续研究，提出以下两个命题：
(1)命题1：等腰三角形底边及底边上的高的长度确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了．可知该命题为真命题．求作等腰三角形，其中底边的长为，底边上的高的长为，如图1．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)命题2：等腰三角形一腰及腰上的高的长度确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了．请判断该命题是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请作出所有可能的等腰三角形，其中腰的长为，腰上高的长为，如图2．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
24．庆祝元旦期间，张老师出了一道“年份题”：计算的算术平方根．
张老师提示可将上述问题一般化为：计算的算术平方根（为正整数），然后对进行特殊化：
当时，，
当时，，
当时，，
……
(1)根据以上规律，请直接写出的算术平方根；（按规律写出结果即可，不必计算）
(2)根据以上等式规律，请写出第个等式，并验证其正确性；
(3)某同学将上述问题更一般化为：计算的算术平方根，并猜想，其中，为正整数．你认为这个猜想成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请说明以上猜想成立时，，应满足什么关系并证明．
25．（1）如图1，在四边形中，，为上一点，连接，．
①若平分，平分，求的度数；
②若，，为中点，求证：为等腰直角三角形；
（2）某工程队需要在，两棵树的前方建立一座八角亭．按如下方法选址：如图2，甲工人从点直走到树处，然后向右转后再直走一段路等于的长度到点处；乙工人从点直走到树处，然后向左转后再直走一段路等于的长度到点处．工程队队长打算把八角亭建在的中点处．过几天，工程队带着建筑材料来施工，却发现忘记标记起始点，正当大家懊恼时，队长说：别急，只要找到，两棵树连线的中点，由点引的垂线，再往，两棵树前方量出的长度的一半，就能找到之前的点（如图3所示）．你觉得队长的方法对吗？为什么？
参考答案：
1．B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
3．B
【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，即可求得答案．
【详解】解：要使式子有意义，
则
故选B
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是“分母不为0”是解题的关键．
4．B
【分析】根据正多边形的性质和内角和公式即可得．
【详解】正九边形的内角和为，且每个内角都相等，
该正九边形的一个内角的大小为，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形的性质和内角和公式，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
5．C
【分析】本题考查了同底数幂的除法，单项式与单项式的乘法，积的乘方，幂的乘方．根据同底数幂的除法，单项式与单项式的乘法，积的乘方，幂的乘方法则计算即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
6．B
【详解】分析：先求出∠ABD=∠D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAC=30°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长度是4cm，即可得到结论．
详解：∵AD=AB，∴∠D=∠ABD．
∵∠D=15°，∴∠ABD=∠D=15°，∴∠BAC=∠ABD+∠D=30°．
∵∠ACB=90°，BC=2dm，∴AB=4dm，∴AD=4dm．
故选B．
点睛：本题主要考查了含30度角的直角三角形的边的关系，等腰三角形的等边对等角的性质，三角形的外角性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查了折叠的性质和等腰三角形的判定和性质．根据折叠的性质“折叠前后，对应点的连线被折痕垂直平分”即可判断．
【详解】解：∵和关于某直线折叠，
∴A与D，C与B是对应点，
∴直线是中边上的中垂线或线段的垂直平分线，故选项A说法错误，符合题意；选项D说法正确，不符合题意；
∵和关于某直线折叠，
∴，
∴，
∴中，的角平分线与边上的中线、边上的高共线，故选项B、C说法都正确，都不符合题意；
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理．作于点，根据三角形的角平分线的性质定理求得，利用三角形的面积公式得到，再根据三角形的中线性质即可求解．
【详解】解：作于点，
∵，平分，，
∴，
∵，
∴，
∵为边上中线，
∴，
故选：C．
9．C
【分析】设，，由四个正方形的周长之和为，面积之和为，根据完全平方公式得出 ，求解即可．
【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为，面积之和为，
可得，，，
即，，
由得，，
得 ，
∴，即长方形的面积为，
故选：．
【点睛】此题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查了分式方程的应用，①乙农妇所带鸡蛋的个数为（）个，由卖得15个铜板即可判断；②甲农妇带了个鸡蛋，由乙农妇卖得个铜板即可判断；③100个鸡蛋所卖得的钱数是，即可判断；④由等量关系：甲乙农妇卖得的钱数相同，即可判断；
找出等量关系式，理解每个量是解题的关键．
【详解】解：①乙农妇所带鸡蛋的个数为（）个，甲农妇所卖鸡蛋的单价是，
故①正确，符合题意；
②乙农妇所卖鸡蛋的单价是，
故②正确，符合题意；
③100个鸡蛋所卖得的钱数是
，
故③错误，不符合题意；
④等量关系：甲乙农妇卖得的钱数相同，
故④正确，符合题意；
综上所述：①②④正确；
故选：B．
11．
【分析】本题考查了点坐标关于轴对称规律，掌握“关于轴对称点坐标为．”是解题的关键．
【详解】解：点关于轴对称点的坐标是点，
故答案：．
12．
【分析】按照负整数指数幂以及零指数幂性质分别求出各数的值，最后进一步计算即可.
【详解】∵，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂性质与零指数幂性质的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
13．/度
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和可得．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
14．（x+2）2
【分析】先将多项式展开，再利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】解：x（x+4）+4，
=x2+4x+4，
=（x+2）2．
故答案为：（x+2）2．
【点睛】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，先利用单项式乘多项式的法则整理成多项式一般形式是解题的关键．
15．
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案．
【详解】解： 是的垂直平分线．，


的周长

故答案为：
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
16．
【分析】过作交的延长线于，作交的于，作射线，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，由角平分线的判定定理得是的平分线，由可判定，由全等三角形的性质得， 由两点之间连线段最短得当、、三点共线时，最小，此时，即可求解．
【详解】解：如图，过作交的延长线于，作交的于，作射线，连接，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
在和中
()，
，
是的平分线，
在上运动，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
()，
，
，
当、、三点共线时，最小，
如图，此时，
此时，同理可证：，
，
；
故答案：；
【点睛】本题考查了直角三角形的特征，等腰三角形的性质，角平分线的判定定理，全等三角形的判定及性质，两点之间连线段最短；掌握判定方法及性质，构建全等三角形，将问题转化为“将军饮马”典型问题，从而找出线段和取得最小值的条件是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的混合运算．
（1）利用平方差公式计算即可求解；
（2）利用多项式除单项式的法则计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，由判定，即可求证；掌握判定方法及性质是解题的关键．
【详解】证明：在和中
，
（），
．
19．，
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，原式．
20．．
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质．设，则，，推出，，再根据三角形内角和定理列式计算即可求解．
【详解】解：设，则，，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，即，
∴，即．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质：
（1）根据等边三角形的性质得到，进而证明，即可证明；
（2）由轴对称的性质得到，进而推出，再证明，即可证明是等边三角形．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵点是点关于的对称点，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴是等边三角形．
22．（1）①③（2）小时
【分析】本题考查了新定义“调和平均数”，二元一次方程组的应用；
（1）①设甲到乙地的距离为，，化简，即可判断；②设每杯的重量为，，化简，即可判断； ③相等的费用为，，化简，即可判断；
（2）设游轮在静水中的速度为千米／小时，水流的速度为千米／小时，由题意得
游轮顺水的速度为（千米／小时），游轮逆的速度为（千米／小时），列方程组可求得，即可求解；
理解新定义，顺流速度静水速度水流速速，逆流速度静水速度水流速速是解题的关键．
【详解】解：（1）①设甲到乙地的距离为，
，
故①符合题意；
②设每杯的重量为，
，
故②不符合题意；
③相等的费用为，
，
故③符合题意；
故答案：①③；
（2）设游轮在静水中的速度为千米／小时，水流的速度为千米／小时，由题意得
游轮顺水的速度为（千米／小时），
游轮逆的速度为（千米／小时），
，
解得：
（小时）；
答：在静水的条件下，游轮从甲港口航行到乙港口需要小时．
23．(1)见解析
(2)是假命题．作图见解析
【分析】此题主要考查了复杂作图，掌握垂线的画法，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作是解决此类题目的关键．
（1）①画射线，在射线上截取，②作的垂直平分线，垂足为O，再截取，③再连接，即为所求；
（2）作直线，使其距离为，在直线上取点，以点为圆心，长为半径作圆，分别交直线和直线于点和，则符合题意；再以点为圆心，长为半径作圆，交直线于点，则符合题意
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图和符合题意；
．
∴等腰三角形一腰及腰上的高的长度确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了．是假命题．
24．(1)
(2)，理由见详解
(3)不成立；成立时的条件
【分析】本题考查了等式的探究规律，整式运算；
（1）观察等式得，即可求解；
（2）可得猜想：，分别对左边、右边进行运算，即可求解；
（3）由，可判断是否成立，
若成立，可得，即可求解；
找出规律是解题的关键．
【详解】（1）解：
的算术平方根为
；
（2）解：由题意得
，
左边
，
右边
，
左边右边，
故原式成立；
（3）解：不成立；
，
不成立，
若成立，则有
，
，
，
，为正整数，
，
，
．
25．（1）①②见详解；（2）队长说法正确，理由见详解
【分析】（1）①由平行线的性质得，由角平分线的定义得，，即可求解；②延长、交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，结合等腰三角形的判定及性质，即可得证；
（2）连接、，取的中点，过作交于，过作交于，过作交于，过作交于，过作交于，过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，同理可证，即可求解．
【详解】（1）①解：，
，
平分，平分，
，，
，
；
②证明：延长、交于，

，
，
，
为中点，
，
在和中
，
，
，，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形；
（2）队长的说法正确；
理由如下：
连接、，取的中点，过作交于，过作交于，过作交于，过作交于，过作交于，过作交于，
，
，
∴，，
，，，，，
，
在和中
，
，
，
同理可证：，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
是的中点．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征；掌握灵活运用全等三角形的判定方法及有关性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．