辽宁省锦州市2023届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份辽宁省锦州市2023届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 的绝对值是( )
A. B. C. D.
2. 下列交通标志是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 下列事件是必然事件的是( )
A. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数
B. 连续掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都是正面朝上
C. 人中有两个人的生日在同一天
D. 车辆随机到达路口，遇到绿灯
5. 如图，点在直线上，过点作射线；以点为圆心，以任意长为半径作弧交直线于点，交射线于点；在射线上取一点，以点为圆心，以长为半径作弧交射线于点；以点为圆心，以长为半径作弧交前面的弧于点；作直线，连接若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
6. 为创建文明城市，减少施工对环境造成的影响，某施工队在小区里对一段全长为米的地下管线进行修复时，实际每天的工作效率比原计划提高了，结果提前天完成修复任务求实际每天修复管线多少米？设原计划每天修复管线米，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
7. 如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，在中，，，，以为边向外作正方形，将以的速度沿所在的直线向右移动，直到点与点重合时停止移动设运动时间为，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
10. 党的二十大报告中指出，我国已建成世界上规模最大的社会保障体系，基本养老保险覆盖人，请将数据用科学记数法表示为______ ．
11. 某校为推荐一项作品参加市级“科技创新”比赛，将甲、乙、丙三项候选作品进行量化评分，具体项目成绩百分制如下表如果按照创新性占，实用性占的权重计算总成绩，那么根据总成绩择优推荐的作品是______ 填“甲”或“乙”或“丙”
12. 一个不透明的口袋中装有个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，九年二班数学兴趣小组进行了如下试验：从口袋中随机摸出个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中黄球大约有______ 个
13. 如图，在矩形中，，，将绕点逆时针旋转，使点恰好落在延长线上的点处，此时点落在点处，交于点，则 ______ ．
14. 如图，等边的顶点，在反比例函数的图象上，顶点在轴上，且轴，则等边的边长为______ ．
15. 如图，二次函数，且的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线下列结论：
；
若抛物线上两点坐标分别为，，则；
；
，其中正确的结论有______ 填序号即可．
16. 如图，，点在射线上，，过点作交射线于点，延长至点，使，过点作交射线于点，过点作交射线于点，得四边形；延长至点，使，过点作交射线于点，过点作交射线于点，得四边形；延长至点，使，过点作交射线于点，过点作交射线于点，得四边形；，以此类推，得四边形；再连接，，，，，依次交于点，，，，，得，，，，则的面积为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
为纪念毛泽东等老一辈革命家为雷锋同志题词周年，深入贯彻落实习近平总书记关于弘扬雷锋精神的重要指示精神，引导广大青少年深刻把握雷锋精神的时代内涵和实践要求某校团委开展“青春辽宁雷锋精神我传承”主题活动，所有学生都参加了“新时代雷锋式好少年”知识竞赛活动，然后随机抽取部分学生成绩进行抽样分析，并将数据绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

根据以上信息，回答下列问题：
本次抽样的样本容量为______ ，“优秀”成绩等级所在扇形圆心角的度数是______ ；
样本中学生成绩的中位数出现在______ 成绩等级中，请补全条形统计图；
若该校共有名学生，估计在这次知识竞赛中获得良好及以上成绩等级的学生有多少名？
19. 本小题分
今年月日是休息日，我市开展了城乡环境净化清洁活动，某单位决定从、、、四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者到重点区域做卫生清洁工作，抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．
从四张卡片中随机抽取一张，恰好是“志愿者”的概率是______ ；
按照抽签规则，请你用列表法或画树状图法表示出两次抽签所有可能的结果，并求出、两名志愿者同时被抽中的概率．
20. 本小题分
“粮食生产根本在耕地、出路在科技”为提高农田耕种效率，今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备，已知购进台甲种农耕设备和台乙种衣耕设备共需万元；购进台甲种农耕设备和台乙种农耕设备共需万元．
求购进台甲种农耕设备和台乙种农耕设备各需多少万元；
若该合作社购进乙种农耕设备数比甲种农耕设备数的倍少台，且购进甲、乙两种衣耕设备总资金不超过万元，求最多可以购进甲种农耕设备多少台？
21. 本小题分
如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端的仰角为已知，车库长度，求高层大楼的高度点，，在同一水平直线上，参考数据：，，，结果精确到
22. 本小题分
如图，是的直径，与相切于点，与相交于点，为上的一点，分别连接，．
求证：；
若，，，求的半径和的长．
23. 本小题分
近年来国家出台政策要求电动车上牌照，“保安全、戴头盔”出行某头盔专卖店购进一批单价为元的头盔在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量个与售价元个满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．
求与之间的函数关系式；
专卖店的优惠活动：若购买一个这种头盔，就赠送一个成本为元的头盔面罩请问这种头盔的售价定为多少元时，月销售利润最大，最大月销售利润是多少元？
24. 本小题分
【问题情境】如图，在中，，，，是上的两个动点，且，连接，．
【初步尝试】
与之间的数量关系______ ；
【深入探究】
如图，点在边上，且，与相交于点．
求证：；
探究线段与之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
如图，在中，，，点，分别在线段两侧的延长线上，且，连接，点在边的延长线上，且，的延长线与相交于点若，，请直接写出的长度．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴分别交于，，三点，其中点的坐标为，点的坐标为．
求抛物线的表达式；
点的坐标为，是轴下方抛物线上的一个动点，连接，，，若，求点的坐标；
在的条件下，是第四象限内的定点，为轴上一个动点，则是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
解析：解：，
故选：．
根据绝对值的定义进行计算即可．
本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
2.【答案】
解析：解：是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
利用轴对称图形概念进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3.【答案】
解析：解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据幂的乘方，合并同类项，单项式除以单项式的法则，平方差公式进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】
解析：解：、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数，是随机事件，故A不符合题意；
B、连续掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都是正面朝上，是随机事件，故B不符合题意；
C、人中有两个人的生日在同一天，是必然事件，故C符合题意；
D、车辆随机到达路口，遇到绿灯，是随机事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
5.【答案】
解析：解：由题意得，，
，
．
故选：．
根据作法判断，再根据三角形外角的性质解答即可．
本题考查了尺规作图作一个角等于已知角，三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．
6.【答案】
解析：解：根据题意，得，
故选：．
根据实际比原计划提前天完成修复任务，列分式方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
7.【答案】
解析：解：连接，，
为的直径，
，
，
，
即点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形三线合一得出点是的中点，从而得出是的中位线，于是，根据同底等高得到和的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据扇形面积公式计算出扇形的面积即可得出阴影部分的面积．
本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键．
8.【答案】
解析：解：，，
，
设平移后的三角形为，
如图，当时，

由题得，
，
，
；
如图，当，

；
如图，当时，

由题得，，，
，
，
．
故选：．
分情况分析当时、当、当时的函数关系式，并结合题意得出答案．
本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键．
9.【答案】
解析：解：要使代数式有意义，必须，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得出，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记代数式中是解此题的关键．
10.【答案】
解析：解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
11.【答案】乙
解析：解：甲的平均成绩分，
乙的平均成绩分，
丙的平均成绩分，
，
乙的平均成绩最高，
根据总成绩择优推荐的作品是乙．
故选：乙．
首先根据加权平均数的含义和求法，分别求出三项候选作品的平均成绩各是多少；然后比较大小即可解答．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
12.【答案】
解析：解：设红球有个，根据题意得，
：，
解得．
故答案为：．
利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．
13.【答案】
解析：解：矩形中，，，
，
由旋转而成，
，，，，
，
，
，
∽，
，即，
解得．
故答案为：．
连接，先根据勾股定理求出的长，再由旋转的性质得出，，，由相似三角形的判定定理得出∽，由相似三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是旋转的性质及矩形的性质，熟知旋转前、后的图形全等是解题的关键．
14.【答案】
解析：解：如图，作于点，

设等边的边长为，
，，
轴，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
，
即，
，
，
等边的边长为．
故答案为：．
作于点，设等边的边长为，根据等边三角形的性质得点的坐标为，点的坐标为，所以，即可求出答案．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，根据题意表示出，的坐标是解题的关键．
15.【答案】
解析：解：抛物线的开口方向向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，故正确；
二次函数的图象与轴的一个交点为，
，
，
，
，故正确；
二次函数的图象与轴有两个交点
，故正确；
对称轴为直线，，
，离对称轴越近越大，
，
，故错误．
综上，正确的说法有共个．
故答案为：．
根据抛物线的开口方向得，抛物线的对称轴可得，抛物线与轴交点位置得，以此可判断；由抛物线过点得，则，，以此可判断；由抛物线过点得，将代入得，以此可判断；根据二次函数的图象画出的图象，即可判断当，不能判断和的大小关系，以此即可求解．
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象与系数之间的关系是解题关键．
16.【答案】
解析：解：，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，
，
同理：，，，，
，，，，，
，
：：：：，
设点到的距离为，则点到的距离为，
：：，
，
同理：点到的距离，
点到的距离，，
以此类推，点到的距离，
的面积，
的面积．
故答案为：．
首先根据，得出，，再根据，可求出，，然后根据得：：：：，据此可得出点到的距离，最后根据三角形的面积公式求出的面积，据此即可求出的面积．
此题主要考查了图形的变化规律，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等，解答此题的关键是分别找出，及点到的距离
17.【答案】解：


，
当时，原式
解析：先根据分式的减法进行计算，再根据分式的除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案．
本题考查了分式的化简求值和零指数幂，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
18.【答案】 良好
解析：解：本次抽样的样本容量为：，
优秀的人数为：人，
，
故答案为：；；
由题意可知，样本中学生成绩的中位数出现在良好成绩等级中，
补全条形统计图如下：

故答案为：良好；
名，
答：估计在这次知识竞赛中获得良好及以上成绩等级的学生大约有名．
根据良好的人数和所占比例即可求出样本容量，根据优秀的人数求出所占比例即可计算“优秀”所在扇形的圆心角的度数；
根据中位数的定义可得样本中学生成绩的中位数出现在良好成绩等级中，用样本容量减去其他三项的人数可得优秀人数，进而补全条形统计图；
根据样本中良好及以上的学生所占比例估算全校学生的情况即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19.【答案】
解析：解：从四张卡片中随机抽取一张，恰好是“志愿者”有种可能，
恰好是“志愿者”，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中、两名志愿者同时被抽中有种可能的结果，
、两名志愿者同时被抽中．
直接根据等可能事件的概率公式求出即可；
用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出、两名志愿者同时被抽中的结果，再根据等可能事件的概率公式求出即可．
本题考查等可能事件的概率公式，列表法和树状图法求概率，掌握等可能事件的概率公式，列表法和树状图法求概率的方法是解题的关键．
20.【答案】解：设购进台甲种农耕设备需万元，台乙种农耕设备需万元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进台甲种农耕设备需万元，台乙种农耕设备需万元；
设购进甲种农耕设备台，则购进乙种农耕设备台，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：最多可以购进甲种农耕设备台．
解析：设购进台甲种农耕设备需万元，台乙种农耕设备需万元，根据“购进台甲种农耕设备和台乙种衣耕设备共需万元；购进台甲种农耕设备和台乙种农耕设备共需万元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进甲种农耕设备台，则购进乙种农耕设备台，利用总价单价数量，结合总价不超过万元，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】解：过点作于点，则四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，
，
在中，，，
，
．
答：高层大楼的高度约为．
解析：过点作于点，在中，解直角三角形求出，继而求出，在中，根据三角函数的定义求出，即可求出．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
；
解：在中，，，
，
，
的半径为，；
，
，
，
，
过点作于，
则，
，
∽，
，
，
，，
，
．
解析：连接，根据圆周角的性质和切线的性质得到，，进而得到，由即可证得结论；
在中，根据三角函数的定义求出，即可求得的半径；由三角形面积公式求出，过点作于，证得∽，根据相似三角形的性质求出，，根据勾股定理求出，即可得到的长．
本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：设与之间的函数关系为，
根据题意得：，
解得：，
；
故答案为：；
设月销售利润是元，
则，
，
抛物线开口向下，有最大值；
当时，有最大值，
当时，最大值元，
答：这种头盔的售价定为元时，月销售利润最大，最大月销售利润是元．
解析：设与之间的函数关系为，用待定系数法求函数解析式即可；
根据每天的利润单箱的利润销量列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值．
本题考查了一次函数的解析式的运用和二次函数的应用以及销售问题的数量关系在解决实际问题是的运用，解答时根据题意建立函数关系是解答本题的难点和关键．
24.【答案】
解析：解：，
，
又，
≌，
．
故答案为：；
证明：，
，
，
．
，
由知，
，
．
解：．
理由：如图，过点作于点，交于点，过点作于点，则，

在和中，
，
≌，
，
，，
，．
解：过点作于点，交于点，过点作交延长线于点，

由探究可得，
，
，
，，
，，
，，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
．
证明≌，由全等三角形的性质得出．
证出由知，得出，则可得出结论；
过点作于点，交于点，过点作于点，则，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
过点作于点，交于点，过点作交延长线于点，证明∽，由相似三角形的性质得出，求出，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的表达式为；
过作轴交直线于，如图：

在中，令得，
，
，
；
由，得直线函数表达式为，
设，则；
，
，
，
解得或舍去，
；
存在最小值，理由如下：
如图：

，，
，
，
过作于，交轴于，过作轴于，
，
，
由垂线段最短可知此时最小，而，
此时最小；
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
的最小值是．
解析：用待定系数法可得抛物线的表达式为；
过作轴交直线于，求出，；直线函数表达式为，设，则，知，根据，即得，可解得；
由，，得，，过作于，交轴于，过作轴于，可知，由垂线段最短可知此时最小；由，，得，，，即得，从而可得的最小值是．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积公式的应用，最短路径问题，锐角三角函数等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度，灵活应用锐角三角函数解决问题．
作品项目
甲
乙
丙
创新性分
实用性分
售价元个
月销售量个