高二下学期第二次月考测试卷（数列、导数、计数原理、随机变量及其分布列）-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版选择性必修第三册)

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说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（2023秋·广东广州·高二校联考期中）设等差数列的前项和为，若，则＝（ ）
A．60B．62C．63D．81
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式直接求解.
【详解】设等差数列的公差为,
由题可得,即,解得,
所以数列的通项公式,
所以.
故选:C.
2．（2023春·广东广州·高二统考期末）用1，2，3，4组成没有重复数字的两位数，这样的两位数个数为（ ）
A．6B．12C．16D．24
【答案】B
【分析】先排个位，再排十位，利用分步乘法计数原理可得答案.
【详解】先排个位，有4种排法，再排十位，有3种排法，
因此共有种排法，
故选：B.
3．（2023春·广东汕头·高二汕头市澄海中学校考期中）的展开式中，所有的二项式系数之和等于，则第项是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：由所有的二项式系数之和等于，可得可得n值，然后利用二项式定理展开式求解即可.
详解：由题可得故n=9，
故，选B.
点睛：考查二项式系数和，二项式定理展开式，属于基础题.
4．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（ ）
A．288B．144C．72D．36
【答案】C
【分析】方法1：运用捆绑法及分步乘法计算即可.分步排队方法：2位父亲排队2位母亲排队3个小孩“捆绑”内部排队在父亲母亲产生的3个空中选一个空将3个小孩放进去.
方法2：运用捆绑法及分步乘法计算即可.分步排队方法：2位父亲排队3个小孩“捆绑”与2位母亲排队3个小孩“捆绑”内部排队.
【详解】方法1：2位父亲的排队方式种数为，2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体，放进父母的中间共有种排队方式，所以不同的排队方式种数为.
方法2：2位父亲的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体与2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，所以不同的排队方式种数为.
故选：C.
5．（2023·广东·高三专题练习）已知展开式中含项的系数为，则正实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据二项式定理可确定展开式的通项，由此可确定含的项分别对应的的取值，进而确定系数.
【详解】展开式的通项公式为：.
展开式中含的项的系数为：
，解得：或.
为正实数，.
故选：.
【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项.
6．（2023春·广东·高二统考期末）已知随机变量的分布列是
则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性质可求得结果.
【详解】由分布列的性质可得，得，所以，，
因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查．
7．（2023春·广东佛山·高二顺德一中校考期中）已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，求导得，进而可得时，单调递增，由于为偶函数，推出为奇函数，进而可得在上单调递增，由于，则，由于，则，推出，即可得出答案．
【详解】设，，
由题意得时，，单调递增，
因为为偶函数，所以，
所以，
所以为奇函数，所以在上单调递增，
因为，所以，
因为，所以，
所以，所以，
故选：C．
8．（2023春·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）巨星勒布朗-詹姆斯在球场上能够胜任控球后卫、小前锋、大前锋、中锋四个位置，根据以往数据，他担任控球后卫、小前锋、大前锋、中锋出场率分别为0.2，0.4，0.3，0.1，当他担任控球后卫、小前锋、大前锋、中锋时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当他参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率为（ ）
A．0.4B．0.64C．0.36D．0.6
【答案】C
【分析】利用互斥事件的概率加法公式和条件概率即可求解.
【详解】设A1表示他担任控球后卫、A2表示他担任小前锋、A3表示他担任大前锋、A4表示他担任中锋.设B表示球队某场比赛输球.
则
.
故选：C
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2023秋·广东江门·高二江门市第一中学校考阶段练习）数列的前项和为，已知，则（ ）
A．是递增数列B．是等差数列
C．当时，D．当或4时，取得最大值
【答案】CD
【分析】利用求出可判断ABC，对配方后，利用二次函数的性质可判断D.
【详解】当时，，
当时，，
不满足上式，
所以，
对于A，由于，，所以不是递增数列，所以A错误，
对于B，由于，，，所以，
所以不是等差数列，所以B错误，
对于C，由，得，所以当时，，所以C正确，
对于D，，因为，
所以当或4时，取得最大值，所以D正确，
故选：CD.
10．（2023春·广东深圳·高二校考期中）已知则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用赋值法判断A、B、C，对二项式及展开式两边对求导，再令，即可判断D.
【详解】因为，
令，则，故A正确；
令，则，所以，故B错误；
令，则，
所以，，，
所以，故C错误；
对两边对取导得
，再令得，故D正确；
故选：AD
11．（2023春·广东佛山·高二统考期末）已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．函数存在零点
B．函数的图象有可能关于轴对称
C．若是的极小值点，则在区间单调递减
D．若是的极值点，则
【答案】AD
【解析】根据三次函数的性质依次判断各个选项的正误即可.
【详解】A选项：由于三次函数的三次项系数为正值，
当时，；当时，，
又因为三次函数图象是连续不断的，所以函数存在零点，故A正确；
B选项：因为三次函数不可能为偶函数，所以不可能关于轴对称，故B错误；
C选项：由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点，（），则为极小值点，即，则在区间上是先递增后递减，故C错误；
D选项：根据导数与极值的关系，显然正确.
故选：AD.
【点睛】本题考查函数的性质，属于基础题.
12．（2023春·广东汕尾·高二统考期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，若，则
B．已知随机变量的分布列为，则
C．用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，则
D．已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为.则家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为
【答案】ACD
【分析】对于A，利用正态分布的对称性计算并判断；对于B，利用分布列的性质计算并判断；对于C，利用二项分布的期望、方差公式计算关判断；
对于D，由给定条件求出成员A甲病、乙病都患的概率，再利用条件概率公式计算并判断作答.
【详解】对于A，因服从正态分布，且，
由正态分布的性质知，，则，A正确；
对于B，依题意，由分布列的性质知，而，解得，B错误；
对于C，显然，则有，解得，C正确；
对于D，记事件M=“A患甲病”，事件N=“A患乙病”，则，且，而，
于是有，又，从而得，
所以A在患甲病的条件下，患乙病的概率为，D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2023春·广东清远·高二校考阶段练习）函数在区间内的最小值为___________.
【答案】
【分析】求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解在闭区间上的最值．
【详解】解：函数，导数为：，
令，可得，或，
，，函数单调递减，,，，函数单调递增，
函数在区间,内的最小值为：．
故答案为：．
14．（2023·广东广州·高三统考阶段练习）的展开式中项的系数是____________
【答案】420
【解析】利用多项式乘法法则确定项的系数，
【详解】由题意展开式中项的系数是．
故答案为：420.
【点睛】本题考查二项式定理的应用，求多项式展开式中某一项系数，可能利用多项式乘法法则，结合组合的知识求解．
15．（2023春·广东广州·高二华南师大附中校考期中）假设苏州肯帝亚球队在某赛季的任一场比赛中输球的概率都等于，其中，且各场比赛互不影响.令X表示连续9场比赛中出现输球的场数，且令代表9场比赛中恰有k场出现输球的概率.已知，则该球队在这连续9场比赛中出现输球场数的期望为___________.
【答案】/5.4
【分析】，由求得，再由期望公式得期望．
【详解】由题意，由于，
则，解得，
．
故答案为：．
16．（2023春·广东广州·高二中山大学附属中学校考期中）已知函数，若，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】利用参变分离可得，构造函数，利用导数求函数最值即得.
【详解】由，可得，
令，则，
∴，函数单调递增，，函数单调递减，
所以时，函数有最大值，
∴.
故答案为：.
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023春·广东汕头·高二校考期中）已知等比数列的各项均为正数，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据条件列方程组，求出首项和公比，利用通项公式可得答案；
（2）先求出的通项公式，利用分组求和法可求和.
【详解】（1）设正项等比数列的公比为，因为，
所以，解得，所以.
（2）由（1）可得，设数列的前n项和为，
则
.
18．（2023春·湖南张家界·高二慈利县第一中学校考期中）在开展某些问卷调查时，往往会因为涉及个人隐私而导致调查数据不准确，某小组为探究“甲校园中曾经有多少学生上课睡过觉”设计、两个问题，问题“你是否曾经上课睡过觉”，问题“你是否在上半年出生”，小组成员邀请学生逐一在装有、B问题的两个袋子中随机选取一个，若答案是肯定的，则向盒子中放入1个石子，否则直接离开（问题肯定与否定的概率视为相等），由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.
(1)若该小组共邀请了100名学生，盒子内出现了30个石子，甲校园内有1000个学生，试估计甲校园内曾经上课睡过觉的学生人数；
(2)视（1）问中的频率为概率，现从该校园中随机抽取名学生，记其中曾经上课睡过觉的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)100名
(2)分布列见解析，0.4【分析】（1）由条件求出回答曾经上课睡过觉的学生人数，再由样本频率估计概率；
（2）由条件判断，再根据二项分布的分布列和均值公式结论求解.
【详解】（1）回答问题的学生有人，投入的石子有个，
回答问题的学生有人，投入的石子有个，
用样本估计总体，则学生上课睡觉的频率，
则估计甲校园内上课睡觉的学生人数有名；
（2）由已知随机变量的取值有，
由（1）从甲校园随机抽取一名同学，该同学曾经上课睡过觉的概率为，
所以，
则，
，
，
，
．
则随机变量的分布列为:
则的数学期望．
19．（2023秋·广东佛山·高三统考阶段练习）已知数列的首项，
(1)求证数列为等比数列；
(2)记，若，求n的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）根据题意化简得到，结合等比数列的定义，即可求解；
（2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，得到，求得的值，即可求解．
（1）
解：由，可得，
又由，可得
所以数列表示首项为，公比为的等比数列．
（2）
解：由（1）得，所以
当时，可得；
当时，可得，
所以的最大值为．
20．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）《夺冠》这部影片讲述的是中国女排从1981年首夺世界冠军到2023年里约奥运会生死攸关的中巴大战，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的传奇经历.现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分.前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局.在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜.在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方.经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为.
(1)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；
(2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第i个回合拥有发球权的概率为.假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.
【答案】(1)
(2)，甲队开球的概率大于乙队开球的概率【分析】（1）在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况为：胜胜负；胜负胜；负胜胜共3种情况，求三种情况的概率之和即可.
（2）由与的关系式求得的通项公式，进而得，比较与即可.
【详解】（1）在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况为：胜胜负；胜负胜；负胜胜共3种情况，对应的概率分别记为：、、，
；
；
，
所以甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率.
（2）由全概率公式可得，，
即.
易知，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故.
又因为，所以.
而在每一个回合中，甲、乙两队开球的概率之和为1，从而可得在此回合中甲队开球的概率大于乙队开球的概率.
21．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．
(1)求a的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
(2)若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；
②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列､均值．
附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，．
【答案】(1)；
(2)① ；②分布列见解析；期望为【分析】（1）由频率分布直方图的性质求，根据样本频率分布直方图确定获奖人数，再求得从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩基本事件总数，与“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”情况数，利用古典概型计算概率即可；
（2）由样本频率分布直方图得，求解样本平均数的估计值，即可得正态分布的均值，按照正态分布的性质求解参赛学生中成绩超过79分的学生数；由样本估计总体可知随机变量服从二项分布，根据二项分布确定概率分布列与数学期望即可.
【详解】（1）由频率分布直方图性质可得：
所以，，
由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有人，
获二等奖的有人，获三等奖的有人，
共有30人获奖，70人没有获奖，
从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，
设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件，
则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，
即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为
（2）由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值，
则所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，
①因为，，
所以，
故参赛学生中成绩超过79分的学生数约为．
②由，得，
即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为，
所以随机变量服从二项分布，
所以，，
，，
所以随机变量的分布列为：
.
22．（2023秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知函数，且有两个不同的零点，．
(1)求的取值范围；
(2)比较与的大小．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，求出函数的单调区间及最值，然后根据题意列出不等式，从而可得出答案；
（2）易得是函数的一个零点，结合（1）分和两种情况讨论，当时，，转化为关于的不等式，构造新的函数，利用导数证明即可，同理证明时不等式也成立即可．
（1）
，
因为函数在，上单调递增，所以，
当时，，函数在，上递增，
此时函数在，上最多一个零点，与题意矛盾；
当时，令，则
所以函数在上递减，在上递增，
所以
因为函数在，上有两个不同的零点，
所以，即，
令，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以
则当时，，
所以不等式组的解为且，
即的取值范围为，
综上所述的取值范围为；
（2）
（1）得，
因为（1），则为函数的一个零点，
不妨设，
①当时，则，
由为函数的零点，
得，则，
则要证不等式，即证，
即证，即证，
即证，
令，
则，
所以函数在，上递减，
所以，
所以；
②当时，则，
由为函数的零点，
得，则，
则要证不等式，即证，
即证，即证，
即证，
令，
则，
所以函数在上递增，
所以，
所以，
综上所述．
【点睛】本题考查了利用导数求函数函数的单调区间及利用导数解决零点问题，考查了利用导数证明不等式问题，考查了分类讨论思想和逻辑推理能力，属于难题．
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