高二下学期期末考测试卷（必修一~选修三）-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版选择性必修第三册)

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说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（2023春·广东惠州·高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考阶段练习）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东汕头·统考三模）已知复数z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）圆台的上､下底面半径分别是，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·广东揭阳·高二统考期末）下列函数中，周期为1的奇函数是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·广东揭阳·统考三模）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·广东清远·高二校考阶段练习）已知直线双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
7．（2023秋·广东广州·高二广州市第一一三中学校考期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，将角的终边按顺时针方向旋转后经过点，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋·广东江门·高三新会陈经纶中学校考阶段练习）已知，且满足，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2023秋·广东·高二校联考期末）已知向量，则（ ）
A．B．向量的夹角为
C．D．在方向上的投影向量是
10．（2023秋·广东·高二校联考期末）为了庆祝伟大的中国共产党第二十次全国代表大会召开，某校开展了“爱祖国､跟党走”的知识答题竞赛，若参赛学生的成绩都在50分至100分之间，现随机抽取了400名学生的成绩，进行适当分组后，画出如下频率分布直方图，则（ ）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有120人
B．图中的值为
C．估计全校学生成绩的中位数约为
D．估计全校学生成绩的分位数为
11．（2023秋·广东清远·高二校考阶段练习）已知的三个顶点为，则（ ）
A．为直角三角形B．的面积为3
C．边上的中线所在直线方程为D．的外接圆方程为
12．（2023春·广东·高二校联考阶段练习）如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体的侧面上的一个动点（含边界），P是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为
B．若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为
C．三棱锥的体积最大值为
D．若点M在上运动，则到直线PM的距离的最小值为
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2023春·广东揭阳·高二统考期末）函数的零点是___．
14．（2023秋·广东东莞·高二统考期中）已知斜率为2的直线l过抛物线的焦点F，且与y轴相交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为________．
15．（2023秋·广东广州·高二仲元中学校考期中）已知函数，函数，对于，使得成立，则实数a的取值范围是_______．
16．（2023春·广东揭阳·高二统考期末）如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形（顶点A与P重合）沿圆周逆时针滚动.若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了________轮，此时点A走过的路径的长度为___________.
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值及取得最大值时n的值.
18．（2023春·广东佛山·高二佛山市南海区第一中学校考阶段练习）如图所示，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数，的图像，且图像的最高点为，赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定.
(1)求，的值和，两点间的距离；
(2)设，当为何值时，折线段赛道最长？
19．（2023春·广东深圳·高二福田外国语高中校考期中）某超市举办酬宾活动，单次购物超过元的顾客可参与一次抽奖活动，活动规则如下：盒子中装有大小和形状完全相同的个小球，其中个红球、个白球和个黑球，从中不放回地随机抽取个球，每个球被抽到的机会均等.每抽到个红球记分，每抽到个白球记分，每抽到个黑球记分.如果抽取个球总得分分可获得元现金，总得分低于分没有现金，其余得分可获得元现金.
（1）设抽取个球总得分为随机变量，求随机变量的分布列；
（2）设每位顾客一次抽奖获得现金元，求的数学期望.
20．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且，是棱上动点.
(1)证明：平面.
(2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
21．（2023·广东茂名·统考一模）已知椭圆的左焦点F为，过椭圆左顶点和上顶点的直线的斜率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若为平面上一点，C，D分别为椭圆的上、下顶点，直线NC，ND与椭圆的另一个交点分别为P，Q.试判断点F到直线PQ的距离是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由.
22．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知函数在区间内有唯一极值点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：在区间内有唯一零点，且．