2024开封联考高一上学期1月期末考试数学含解析

这是一份2024开封联考高一上学期1月期末考试数学含解析，共19页。试卷主要包含了 已知，且x为第二象限角，则， 若 则， 若且，则 ，，大小关系为， 下列与的值相等的是， 已知集合 ，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷共 4 页，满分150分，考试时间 120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5 分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合的真子集的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
2. 函数定义域为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知是第三象限角，，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，且x为第二象限角，则（ ）
A. B. C. D.
5. 一个扇形弧长与面积的数值都是 1，则这个扇形中心角的弧度数为（ ）
A. B. C. 1D. 2
6. 若 则（ ）
A B. C. D.
7. 下列函数中，以为最小正周期，且在区间 上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若且，则 ，，大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0 分.
9. 下列与的值相等的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知集合 ，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数，若方程的实数解有2个，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且时，单调递增，则下列结论正确的为（ ）
A. 是偶函数
B. 的图象关于点中心对称
C.
D.
三、填空题：本题共4 小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数图象如图所示，则________
14. 已知函数 的值域为，则的定义域可以是______
15. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余__________%的污染物含量.
16. 已知函数，函数与函数互为反函数，若，则的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 化简下列各式（式中字母均是正数）；
（1）；
（2）
18. 如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y.
（1）用x，y 表示 S;
（2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积.
19. 对于集合，定义且.例如:，则有.已知集合，，其中.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转与单位圆O相交于第二象限的点A，过A作x轴的垂线，垂足为B，.
（1）求的值；
（2）求的值.
21. 已知函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并根据定义进行证明；
（3）求不等式的解集.
22. 已知函数 且在区间上有且只有两个零点.
（1）求的值;
（2）若，，使，求的取值范围.2023—2024学年第一学期期末调研试卷
高一数学
注意事项：
1.本试卷共 4 页，满分150分，考试时间 120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5 分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合的真子集的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】计算出该集合后，可得元素个数，从而得到真子集个数.
【详解】，共有两个元素，
故其真子集的个数为.
故选：A.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数真数大于0得到不等式，解出即可.
【详解】由题意得，解得，则函数的定义域为，
故选：C.
3. 已知是第三象限角，，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数以及充分、必要条件等知识确定正确答案.
【详解】若是第三象限角，则；
若，如，则不是第三象限角.
所以是的充分不必要条件.
故选：A
4. 已知，且x第二象限角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同角三角函数关系得到方程组，解出即可.
【详解】因为 x为第二象限角，所以，
由题意得，解得（负舍），
故选：D.
5. 一个扇形的弧长与面积的数值都是 1，则这个扇形中心角的弧度数为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式及圆心角的定义求解即可
【详解】设扇形中心角为，
因为，
则扇形半径，
所以，
故选：B
6. 若 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质即可比较大小.
【详解】因为，
所以，
又，，
所以.
故选：A
7. 下列函数中，以为最小正周期，且在区间 上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对A举反例即可，对B利用辅助角公式结合正弦型函数的周期求法即可判断，对CD利用三角恒等变换并结合余弦型的性质判断即可.
【详解】对A，当时，，当时，，
则该函数在上并不是单调递减，故A错误；
对B，，其最小正周期为，故B错误；
对C，，当，
则在单调递增；故C错误，
对D，
，
则其最小正周期为，且当，，
根据余弦函数单调性知在上单调递减，故D正确；
故选：D.
8. 若且，则 ，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用不等式性质可得，，取对数后利用换底公式得解.
【详解】因为，
所以，
所以，，即，，
所以，
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0 分.
9. 下列与的值相等的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】AD
【解析】
【分析】借助诱导公式逐个计算即可得.
【详解】，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确；
故选：AD.
10. 已知集合 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】解出集合，再根据交并补混合运算一一分析即可.
【详解】，即，解得，则，
，
则，则，，故A正确，B错误，
，则，C正确；
，则，D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，若方程的实数解有2个，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】画出、的图象，根据图象求得正确答案.
【详解】当时，，且，
当时，，为单调递增函数，
画出的图象如下图所示，
若方程的实数解有2个，即转化为直线与图象有两个交点，
由图可知，，此时直线与图象有两个交点，则BD符合要求，AC错误.
故选：BD.
12. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且时，单调递增，则下列结论正确的为（ ）
A. 是偶函数
B. 图象关于点中心对称
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据奇偶函数的性质可推出函数的周期，利用替换的思想，结合偶函数的定义可判断A，得出根据中心对称的性质判断B，由为奇函数可得，利用周期，再由函数单调性判断C，根据函数性质转化为判断的符号，利用单调性即可判断D.
【详解】因为为奇函数，
所以，所以，即，
因为为偶函数，所以，
所以，故，即周期为，
由，可得，故函数是偶函数，故A正确；
由可得，因为是偶函数，
所以，所以函数关于成中心对称，故B正确；
由周期可得，而由为奇函数知，即，
又时，单调递增，所以，故C错误；
因为，
且时，单调递增，所以，即，
故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共4 小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数的图象如图所示，则________
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的图象，直接求函数值即可.
【详解】由函数图象知，.
故答案为：
14. 已知函数 的值域为，则的定义域可以是______
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】解分式不等式得到范围，写出符合题意的定义域即可.
【详解】令，解得或，
则的定义域可以是，
故答案：（答案不唯一）.
15. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余__________%的污染物含量.
【答案】
【解析】
【分析】根据所给函数模型，代入后整体计算即可得解.
【详解】因为前5h消除了的污染物，
所以，解得，
当经过10h后，，
所以10h后剩余的污染物含量.
故答案为：
16. 已知函数，函数与函数互为反函数，若，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用反函数及对数运算性质得到a,b关系，再利用基本不等式求解.
【详解】函数，函数与函数互为反函数，所以
因为，所以，即,化简得且，又解得或（舍去）当且仅当等号成立
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 化简下列各式（式中字母均是正数）；
（1）；
（2）
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算性质及换底公式求解即可；
（2）根式化为指数幂，利用指数幂的运算法则求解.
【小问1详解】
原式
.
【小问2详解】
原式
18. 如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y.
（1）用x，y 表示 S;
（2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积.
【答案】（1）
（2）纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72.
【解析】
【分析】（1）由题意知，再代入化简即可；
（2）利用基本不等式即可求出最值.
【小问1详解】
由题意，，
.
【小问2详解】
，
当且仅当，即时等号成立，
所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72.
19. 对于集合，定义且.例如:，则有.已知集合，，其中.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据新定义集合求得.
（2）由列不等式来求得的取值范围，进而求得时的取值范围.
【小问1详解】
若，则，
而，所以.
【小问2详解】
由，由于，
所以解得，所以，
若，则，所以，解得，
所以时，的取值范围是.
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转与单位圆O相交于第二象限的点A，过A作x轴的垂线，垂足为B，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数定义即可得到答案；
（2）利用二倍角公式和弦化切即可.
【小问1详解】
由题意，则角的终边与单位圆相交于，且,
所以.
【小问2详解】
.
21. 已知函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并根据定义进行证明；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1）
（2）单调递增，证明详见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性求得.
（2）通过计算得到，从而证得的单调性.
（3）根据函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集.
【小问1详解】
由于是奇函数，所以，
所以
【小问2详解】
由（1）得，所以在上单调递增，证明如下：
任取，，
由于，所以，所以在上单调递增.
【小问3详解】
，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
22. 已知函数 且在区间上有且只有两个零点.
（1）求的值;
（2）若，，使，求的取值范围.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）化简后结合正弦型函数的性质即可得；
（2）原问题可转化为，由可求得，从而可得，结合正弦函数图象可得，，或，，或且，，解出即可得.
【小问1详解】
，
当时，，
故有，解得，
由，故；
【小问2详解】
由，故，
，，使，
即，
由，故，
故，
由，故，
故有，，
或，，
或且，，
对，解得，，
对，解得，，
对且，，
即且，，即，，
综上可得，.