（全国通用）中考数学总复习 专题09 平面直角坐标系与函数（11个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析）

这是一份（全国通用）中考数学总复习 专题09 平面直角坐标系与函数（11个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析），共47页。

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc19471" 【考点1 有序数对】 PAGEREF _Tc19471 \h 1
\l "_Tc3923" 【考点2 点的坐标】 PAGEREF _Tc3923 \h 3
\l "_Tc20384" 【考点3 点所在的象限】 PAGEREF _Tc20384 \h 3
\l "_Tc13918" 【考点4 点在坐标系中的平移】 PAGEREF _Tc13918 \h 4
\l "_Tc31074" 【考点5 坐标与图形】 PAGEREF _Tc31074 \h 5
\l "_Tc16394" 【考点6 点的坐标规律探索】 PAGEREF _Tc16394 \h 6
\l "_Tc7334" 【考点7 常量与变量】 PAGEREF _Tc7334 \h 8
\l "_Tc5639" 【考点8 函数的概念】 PAGEREF _Tc5639 \h 9
\l "_Tc22901" 【考点9 函数的解析式】 PAGEREF _Tc22901 \h 10
\l "_Tc10477" 【考点10 自变量和函数值】 PAGEREF _Tc10477 \h 10
\l "_Tc13294" 【考点11 函数的图象】 PAGEREF _Tc13294 \h 11
【要点1 平面直角坐标系的相关概念】
（1）建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
（2）各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴
一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
【考点1 有序数对】
【例1】（2022·贵州六盘水·中考真题）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”时，表示的动物是（ ）
A．狐狸B．猫C．蜜蜂D．牛
【变式1-1】（2022·山东烟台·中考真题）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 _____．
【变式1-2】（2022·四川眉山·中考真题）将一组数2，2，6，22，…，42，按下列方式进行排列：
2，2，6，22；
10，23，14，4；
…
若2的位置记为(1,2)，14的位置记为(2,3)，则27的位置记为________．
【变式1-3】（2022·上海·位育中学模拟预测）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数共有______个．
【要点2 点的坐标特征】
在平面直角坐标系中，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，坐标原点横纵坐标均为0.
在平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.
在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同.
【考点2 点的坐标】
【例2】（2022··模拟预测）已知点A在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则A点坐标为（ ）
A．(2,4)B．(−2,−4)C．(−4,−2)D．(4,−2)
【变式2-2】（2022·陕西·西安市远东一中一模）已知抛物线C:y=x2−4mx+m−3，其顶点为D，若点D到x轴的距离为3，则m的值为（ ）
A．0或14B．34C．−12D．12或−34
【变式2-3】（2022·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于点M（x，y），可以用以下方式定义M到O的“原点距离”：若|x|≥|y|，则M到O的“原点距离”为|x|；若|x|＜|y|，则M到O的“原点距离”为|y|．例如，（5，7）到O的“原点距离”为7．
（1）点A（4，3）、B（3，﹣2）、C（﹣3，5）、D（﹣3，﹣3）四点中，到O的“原点距离”为3的点有 _____个．
（2）经过点（1，3）的一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象上存在唯一的点P，到O的“原点距离”为2，则k＝_____．
【考点3 点所在的象限】
【例3】（2022·广西河池·中考真题）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( )
A．−12−12C．m<0D．m<−12
【变式3-1】（2022·四川攀枝花·中考真题）若点A(−a,b)在第一象限，则点B(a,b)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式3-2】（2022·内蒙古包头·中考真题）在一次函数y=−5ax+b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增大，且ab>0，则点A(a,b)在（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
【变式3-3】（2022·安徽省马鞍山市第七中学二模）若点P坐标可表示为m+3,−m+1，其中m为任意实数，点P不可能在（ ）．
第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【要点3 点在坐标系中的平移】
向右平移a个单位
平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0
（1）一次平移：P（x，y） P'（x＋a，y）
向下平移b个单位
P（x，y） P'（x，y －b）
P（x，y）
P（x－ a，y＋b）
向左平移a个单位

再向上平移b个单位
（2）二次平移：
【考点4 点在坐标系中的平移】
【例4】（2022·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，将点P (−x，1−x)先向右平移3个单位得点P1，再将P1向下平移3个单位得点P2，若点P2落在第四象限，则x的取值范围是（ ）
A．x>3B．−23
【变式4-1】（2022·贵州毕节·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为2,0，0,1，将线段AB平移至A′B′，那么a+b的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式4-2】（2022·河南商丘·一模）如图，△ABO的边OB在x轴的负半轴上，O是原点，点B的坐标为(-4，0)，把△ABO沿x轴向右平移3个单位长度，得到△DCE，连接AC，DO，若△DOE的面积为6，则图中阴影部分△ACO的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式4-3】（2022·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，4），将线段AB水平向右平移5个单位，则在此平移过程中，线段AB扫过的区域的面积为（ ）
A．2.5B．5C．10D．15
【考点5 坐标与图形】
【例5】（2022·湖北黄石·中考真题）如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．(−2,0)B．(−2,0)C．(0,2)D．(0,2)
【变式5-1】（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC:OC=1:2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式5-2】（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校模拟预测）如图，在平面直角坐标系内，△ABC的顶点坐标分别为A(−4,4)，B(−2,5)，C(−2,1)．
(1)平移△ABC，使点C移到点C1(2,2)，画出平移后的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点(0,0)旋转180°，得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2；
(3)连接A1C2，A2C1，求四边形A1C2A2C1的面积．
【变式5-3】（2022·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO=60°,CD为△AOB的中位线，过点D向x轴作垂线段，垂足为E，可得矩形CDEO．将矩形CDEO沿着x轴向右平移，设斜边AB所在直线与矩形所围直角三角形的面积为S．已知点B的坐标为(6,0)，当S=23时，矩形CDEO顶点D的坐标为__________．
【考点6 点的坐标规律探索】
【例6】（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，A12,0，B10,1，A1B1的中点为C1；A20,3，B2−2,0，A2B2的中点为C2；A3−4,0，B30,−3，A3B3的中点为C3；A40,−5，B44,0，A4B4的中点为C4；…；按此做法进行下去，则点C2022的坐标为_____．
【变式6-1】（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1(1,1)；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2(−1,3)；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3(−4,0)；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4(0,−4)；…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为_________．
【变式6-2】（2022·辽宁辽宁·二模）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为(1,0)．每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边长扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到ΔA1OB1；第二次旋转后得到ΔA2OB2，…，依次类推，则点A2022的坐标为（ ）
A．(−22022,0)B．(22022,−3×22022)
C．(22021,−3×22021)D．(22022,0)
【变式6-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，直线l:y=33x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作BC1⊥l交x轴于点C1，过点C1作B1C1⊥x轴交l于点B1，过点B1作B1C2⊥l交x轴于点C2，过点C2作B2C2⊥x轴交l于点B2…，按照如此规律操作下去，则点B2022的纵坐标是______________．
【考点7 常量与变量】
【例7】（2022·广东·中考真题）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C=2πr．下列判断正确的是（ ）
A．2是变量B．π是变量C．r是变量D．C是常量
【变式7-1】（2022·北京市第一六一中学分校一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值：
对于y与x的函数关系有以下4个描述①可能是正比例函数关系；②可能是一次函数关系；③可能是反比例函数关系；④可能是二次函数关系．所有正确的描述是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【变式7-2】（2022·重庆巴蜀中学一模）荡秋千时，秋千离地面的高度ℎm与摆动时间ts之间的关系如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．变量h不是关于t的函数B．当t=0.7s时，秋千距离地面0.5m
C．h随着t的增大而减小D．秋千静止时离地面的高度是1m
【变式7-3】（2022·广东顺德德胜学校三模）一列行驶中的火车的速度为每小时160千米，用t（时）表示行驶的时间，s（千米）表示行驶的里程．其中常量是___________，变量是___________，s关于t的函数表达式是___________，当t=2.5时，函数s的值是___________．
【要点4 函数的概念】
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．
【考点8 函数的概念】
【例8】（2022·广西南宁·二模）下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】（2022·河北·二模）观察下列4个表格，能表示为y是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】（2022·广东·一模）下列各式中，能表示y是x的函数的是（ ）
A．y=x−2+1−xB．y=x3
C．y=1x−x2D．y=±x
【变式8-3】（2022·广东顺德德胜学校三模）变量x，y有如下关系：①y=3x2；②y2=8x；③y=4x．其中y是x的函数的是________．（填序号）
【要点5 求函数的值】
(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．
【考点9 函数的解析式】
【例9】（2022·贵州贵阳·一模）已知一个等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长为11．
(1)写出y与x的关系式为______；
(2)若y≤3，请求出符合条件的整数x的值．
【变式9-1】（2022·辽宁大连·中考真题）汽车油箱中有汽油30L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x<300时，y与x的函数解析式是（ ）
A．y=0.1xB．y=−0.1x+30C．y=300xD．y=−0.1x2+30x
【变式9-2】（2022·江苏·江阴市周庄中学一模）写出一个y关于x的函数，满足当x>0时，y>0：_________．
【变式9-3】（2022·广东番禺中学三模）将长为20cm的铁丝首尾相连围成扇形，扇形面积为y（cm2），扇形半径为x（cm），且0＜x＜10，则y与x的函数关系式为____________．
【考点10 自变量和函数值】
【例10】（2022·湖北黄石·中考真题）函数y=xx+3+1x−1的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠−3且x≠1B．x>−3且x≠1C．x>−3D．x≥−3且x≠1
【变式10-1】（2022·黑龙江·逊克县教师进修学校一模）在函数y=x−4x中，自变量x的取值范围是____________.
【变式10-2】（2022·上海·中考真题）已知f（x）=3x，则f（1）=_____．
【变式10-3】（2022·广东顺德德胜学校三模）若函数y=12[(x2−100x+196)+|x2−100x+196|]，当自变量x分别取1，2，……，100时，对应的函数值的和是 __．
【要点6 函数的图象】
把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．
【考点11 函数的图象】
【例11】（2022·北京东城·二模）小强用竹篱笆围一个面积为94平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你完善他的思考过程．
(1)建立函数模型：
设矩形小花园的一边长为x米，则矩形小花园的另一边长为__________米（用含x的代数式表示）；若总篱笆长为y米，请写出总篱笆长y（米）关于边长x（米）的函数关系式__________；
(2)列表：
根据函数的表达式，得到了x与y的几组对应值，如下表：
表中a=________，b= ________；
(3)描点、画出函数图象：
如图，在平面直角坐标系xOy中，将表中未描出的点(2,a)，(92,b)补充完整，并根据描出的点画出该函数的图象；
(4)解决问题：
根据以上信息可得，当x=__________时，y有最小值．由此，小强确定篱笆长至少为_________米．
【变式11-1】（2022·四川雅安·中考真题）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式11-2】（2022·青海西宁·中考真题）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【变式11-3】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，25）是图象的最低点，那么a的值为（ ）
A．823B．22C．432D．435 x
…
−3
3
6
…
y
…
−2
2
1
…
x
2
2
2
2
2
2
…
y
-1
0
1
2
3
4
…
x
10
20
30
40
50
60
…
y
-10
-10
-10
-10
-10
-10
…
x
1
2
3
2
1
0
…
y
1
1
2
2
3
3
…
x
10
10
20
20
30
30
…
y
10
20
30
40
50
60
…
x
12
1
32
2
52
3
72
4
92
5
y
10
132
6
a
345
152
587
738
b
10910
专题09 平面直角坐标系与函数（11个高频考点）（举一反三）

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc19471" 【考点1 有序数对】 PAGEREF _Tc19471 \h 1
\l "_Tc3923" 【考点2 点的坐标】 PAGEREF _Tc3923 \h 4
\l "_Tc20384" 【考点3 点所在的象限】 PAGEREF _Tc20384 \h 7
\l "_Tc13918" 【考点4 点在坐标系中的平移】 PAGEREF _Tc13918 \h 9
\l "_Tc31074" 【考点5 坐标与图形】 PAGEREF _Tc31074 \h 12
\l "_Tc16394" 【考点6 点的坐标规律探索】 PAGEREF _Tc16394 \h 17
\l "_Tc7334" 【考点7 常量与变量】 PAGEREF _Tc7334 \h 22
\l "_Tc5639" 【考点8 函数的概念】 PAGEREF _Tc5639 \h 24
\l "_Tc22901" 【考点9 函数的解析式】 PAGEREF _Tc22901 \h 26
\l "_Tc10477" 【考点10 自变量和函数值】 PAGEREF _Tc10477 \h 28
\l "_Tc13294" 【考点11 函数的图象】 PAGEREF _Tc13294 \h 31
【要点1 平面直角坐标系的相关概念】
（1）建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
（2）各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴
一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
【考点1 有序数对】
【例1】（2022·贵州六盘水·中考真题）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”时，表示的动物是（ ）
A．狐狸B．猫C．蜜蜂D．牛
【答案】B
【分析】根据题意“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，表示2,2，1,1，3,1对应的字母为“DOG”，则“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”表示2,1，3,2，1,3，对应表格中的“CAT”，即可求解．
【详解】解：∵“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，表示2,2，1,1，3,1对应的字母为“DOG”，
则“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”表示2,1，3,2，1,3，对应表格中的“CAT”， 表示的动物是“猫”．
故选B．
【点睛】本题考查了有序数对表示位置，理解题意是解题的关键．
【变式1-1】（2022·山东烟台·中考真题）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 _____．
【答案】（4，1）
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
“帅”所在的位置：（4，1），
故答案为：（4，1）．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键．
【变式1-2】（2022·四川眉山·中考真题）将一组数2，2，6，22，…，42，按下列方式进行排列：
2，2，6，22；
10，23，14，4；
…
若2的位置记为(1,2)，14的位置记为(2,3)，则27的位置记为________．
【答案】(4,2)
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得27的位置即可．
【详解】数字可以化成：
2，4，6，8；
10，12，14，16；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵27=28，28是第14个偶数，而14÷4=3⋯2
∴27的位置记为(4,2)
故答案为：(4,2)
【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．
【变式1-3】（2022·上海·位育中学模拟预测）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数共有______个．
【答案】4
【分析】根据“距离坐标”和平面直角坐标系的定义分别写出各点即可.
【详解】距离坐标是（1,2）的点有（1,2），（-1,2），（-1，-2），（1，-2）共四个，所以答案填写4.
【点睛】本题考查了点的坐标，理解题意中距离坐标是解题的关键.
【要点2 点的坐标特征】
在平面直角坐标系中，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，坐标原点横纵坐标均为0.
在平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.
在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同.
【考点2 点的坐标】
【例2】（2022··模拟预测）已知点A在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则A点坐标为（ ）
A．(2,4)B．(−2,−4)C．(−4,−2)D．(4,−2)
【答案】D
【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，根据点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值解答．
【详解】解：∵点A在第四象限，且到x轴的距离是2个单位长度，到y轴的距离是4个单位长度，
∴点A的横坐标是4，纵坐标是−2，
∴点A的坐标是(4,−2)．
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
【变式2-1】（2022·浙江杭州·一模）如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点P的坐标为(−1，2)，点Q的坐标为(−3，−1)，则坐标原点为（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】C
【分析】根据点P和点Q的坐标确定其所在的象限和其与原点的相对位置关系，依此绘制直角坐标系两轴，从而确定坐标原点．
【详解】解：∵P−1，2，
∴点P在第二象限，
∴原点在点P的右方1个单位，下方2个单位处，
∵Q−3，−1，
∴点Q在第三象限，
∴原点在点Q的右方3个单位，上方1个单位，
如图，
∴点C符合．
故选C.
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是根据已知点的坐标得出其与原点的相对位置关系．
【变式2-2】（2022·陕西·西安市远东一中一模）已知抛物线C:y=x2−4mx+m−3，其顶点为D，若点D到x轴的距离为3，则m的值为（ ）
A．0或14B．34C．−12D．12或−34
【答案】A
【分析】先求出抛物线的顶点坐标为2m,−4m2+m−3，根据点D到x轴的距离为3，得到−4m2+m−3=3，由此求解即可．
【详解】抛物线的解析式为C:y=x2−4mx+m−3=x2−4mx+4m2−4m2+m−3=x−2m2−4m2+m−3，
故抛物线C的顶点为2m,−4m2+m−3．
∵点D到x轴的距离为3，
∴−4m2+m−3=3．
当−4m2+m−3=3时，此方程无解；
当−4m2+m−3=−3时，解得m1=0，m2=14．
综上所述，m的值为0或14，
故选A．
【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，求抛物线顶点坐标，解一元二次方程，正确求出抛物线顶点坐标是解题的关键．
【变式2-3】（2022·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于点M（x，y），可以用以下方式定义M到O的“原点距离”：若|x|≥|y|，则M到O的“原点距离”为|x|；若|x|＜|y|，则M到O的“原点距离”为|y|．例如，（5，7）到O的“原点距离”为7．
（1）点A（4，3）、B（3，﹣2）、C（﹣3，5）、D（﹣3，﹣3）四点中，到O的“原点距离”为3的点有 _____个．
（2）经过点（1，3）的一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象上存在唯一的点P，到O的“原点距离”为2，则k＝_____．
【答案】 2 −5或−1或13或53
【分析】（1）根据新定义直接可得答案；
（2）先求解一次函数的解析式为y=kx+3−k,再设点P(x,y), 根据一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象上存在唯一的点P，到O的“原点距离”为2，可得|x|=|y|=2, 再列绝对值方程，解方程即可．
【详解】解：（1）根据新定义可得：
点A（4，3）、B（3，﹣2）、C（﹣3，5）、D（﹣3，﹣3）四点，到O的“原点距离”分别为：|4|=4,|3|=3,|5|=5,|−3|=3,
所以到O的“原点距离”为3的点有B（3，﹣2）、D（﹣3，﹣3），共2个．
故答案为：2
（2）∵一次函数y＝kx+b经过点（1，3），
∴k+b=3, 即b=3−k,
所以一次函数的解析式为：y=kx+3−k,
设点P(x,y), 而一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象上存在唯一的点P，到O的“原点距离”为2，
∴|x|=|y|=2,
∴|x|=|kx+3−k|=2,
解得：x=±2,
当x=2时，则|k+3|=2,
解得：k=−5或k=−1,
当x=−2时，|−3k+3|=2,
解得：k=13或k=53.
综上：k=−5或−1或13或53.
故答案为：−5或−1或13或53
【点睛】本题考查的是点的坐标的含义，利用待定系数法求解一次函数的解析式，新定义的理解，清晰的分类讨论是解本题的关键．
【考点3 点所在的象限】
【例3】（2022·广西河池·中考真题）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( )
A．−12−12C．m<0D．m<−12
【答案】D
【分析】根据第三象限点的特征，横纵坐标都为负，列出一元一次不等式组，进而即可求解．
【详解】解：∵点P（m，1+2m）在第三象限内，
∴m<0①1+2m<0②，
解不等式①得：m<0，
解不等式②得：m<−12，
∴不等式组的解集为：m<−12，
故选D．
【点睛】本题考查了第三象限的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键．
【变式3-1】（2022·四川攀枝花·中考真题）若点A(−a,b)在第一象限，则点B(a,b)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据点A(−a,b)在第一象限，得到−a>0，b>0，即可得到点B所在的象限．
【详解】解：∵点A(−a,b)在第一象限内，
∴−a>0，b>0，
∴a<0，
∴点B(a,b)所在的象限是：第二象限．
故选：B．
【点睛】此题考查了已知点所在是象限求参数，根据点坐标判断点所在的象限，正确理解点的坐标与点所在象限的关系是解题的关键．
【变式3-2】（2022·内蒙古包头·中考真题）在一次函数y=−5ax+b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增大，且ab>0，则点A(a,b)在（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质求出a的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断A点所处的象限即可．
【详解】∵在一次函数y=−5ax+b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增大，
∴−5a＞0，即a＜0，
又∵ab>0，
∴b＜0，
∴点A(a,b)在第三象限，
故选：B
【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
【变式3-3】（2022·安徽省马鞍山市第七中学二模）若点P坐标可表示为m+3,−m+1，其中m为任意实数，点P不可能在（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+)；第二象限(-，+)；第三象限(-，-)；第四象限(+，-)，由此进行解答即可．
【详解】若点P在第一象限，
则m+3>0且－m+1>0，
解得－3若点P在第二象限，
则m+3<0且－m+1>0，
解得m<-3，可能存在，不符合题意；
若点P在第三象限，
则m+3<0且－m+1<0，
解得m<-3且m>1，不可能存在，符合题意；
若点P在第四象限，
则m+3>0且－m+1<0，
解得m>1，可能存在，不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查点的坐标的取值范围和各象限内点的坐标的符号特征．
【要点3 点在坐标系中的平移】
向右平移a个单位
平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0
（1）一次平移：P（x，y） P'（x＋a，y）
向下平移b个单位
P（x，y） P'（x，y －b）
P（x，y）
P（x－ a，y＋b）
向左平移a个单位

再向上平移b个单位
（2）二次平移：
【考点4 点在坐标系中的平移】
【例4】（2022·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，将点P (−x，1−x)先向右平移3个单位得点P1，再将P1向下平移3个单位得点P2，若点P2落在第四象限，则x的取值范围是（ ）
A．x>3B．−23
【答案】B
【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【详解】解：P (-x，1-x)向右平移3个单位，得点P1 (-x+3，1-x)，
再将P1(-x+3，1-x)向下平移3个单位得到P2 (-x+3，1-x-3)，
∵P2位于第四象限，
∴−x+3>01−x−3<0，
∴x<3x>−2，即−2故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式4-1】（2022·贵州毕节·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为2,0，0,1，将线段AB平移至A′B′，那么a+b的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据点的坐标的变化分析出AB的平移方法，再利用平移中点的变化规律算出a、b的值．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【详解】解：根据题意：A、B两点的坐标分别为A（2，0），B（0，1），
A′（3，b），B′（a，2），
即线段AB向上平移1个单位，向右平移1个单位得到线段A′B′；
则：a=0+1=1，b=0+1=1，
∴a+b=2．
故选A．
【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式4-2】（2022·河南商丘·一模）如图，△ABO的边OB在x轴的负半轴上，O是原点，点B的坐标为(-4，0)，把△ABO沿x轴向右平移3个单位长度，得到△DCE，连接AC，DO，若△DOE的面积为6，则图中阴影部分△ACO的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】设A(m，n)，则yD=n．利用三角形面积公式求出n的值，再求出CO，可得结论．
【详解】解：设A(m，n)，
∵B(-4，0)，
∴OB＝4，
由平移的性质可知，BC＝OE＝3，yD=yA=n，
∴OC＝OB-BC＝1，
∵S△DOE=12OE⋅yD=6，即12×3n=6
∴n＝4，
∴S△AOC=12OC⋅yA=12×1×4=2．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，三角形的面积等知识点，解题的关键是求出点A的纵坐标．
【变式4-3】（2022·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，4），将线段AB水平向右平移5个单位，则在此平移过程中，线段AB扫过的区域的面积为（ ）
A．2.5B．5C．10D．15
【答案】C
【分析】如图所示，线段AB扫过的区域的面积即为平行四边形ABDC的面积，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，由平移的性质可得AC=5，线段AB扫过的区域的面积即为平行四边形ABDC的面积，
∴S四边形ABDC=AC⋅yB−yA=10，
故选C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化、平移、图形扫过的面积，熟知平移的性质是解题的关键．
【考点5 坐标与图形】
【例5】（2022·湖北黄石·中考真题）如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．(−2,0)B．(−2,0)C．(0,2)D．(0,2)
【答案】D
【分析】连接OB，由正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，推出∠A1OB1=45°，得到△A1OB1为等腰直角三角形，点B1在y轴上，利用勾股定理求出OB1即可．
【详解】解：连接OB，
∵正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，
∴∠AOA1=45°，∠AOB=45°，
∴∠A1OB1=45°，
∴△A1OB1为等腰直角三角形，点B1在y轴上，
∵∠B1A1O=90°,A1B1=OA1=2，
∴OB1=A1B12+OA12=2+2=2，
∴B1（0，2），
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形的性质．关键是根据旋转角证明点B1在y轴上．
【变式5-1】（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC:OC=1:2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】根据CD∥OB得出ACAO=CDOB，根据AC:OC=1:2，得出ACAO=13，根据C、D两点纵坐标分别为1、3，得出OB=6，即可得出答案．
【详解】解：∵CD∥OB，
∴ACAO=CDOB，
∵AC:OC=1:2，
∴ACAO=13，
∵C、D两点纵坐标分别为1、3，
∴CD=3−1=2，
∴2OB=13，
解得：OB=6，
∴B点的纵坐标为6，故C正确．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出ACAO=CDOB=13，是解题的关键．
【变式5-2】（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校模拟预测）如图，在平面直角坐标系内，△ABC的顶点坐标分别为A(−4,4)，B(−2,5)，C(−2,1)．
(1)平移△ABC，使点C移到点C1(2,2)，画出平移后的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点(0,0)旋转180°，得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2；
(3)连接A1C2，A2C1，求四边形A1C2A2C1的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)6
【分析】（1）首先确定C点的平移规律，依此规律平移A、B两点，从而得到△A1B1C1；
（2）利用中心对称的性质作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
（3）先求△A1C1C2的面积，四边形A1C2A2C1的面积为△A1C1C2面积的2倍．
（1）
解：如图所示，△A1B1C1为所求作；
（2）
解：如图所示，△A2B2C2为所求作；
（3）
解：如图，C1C2=3，A1到C1C2距离为2；
则△A1C1C2的面积为：12×3×2=3．
∴由图可得四边形A1C2A2C1的面积为S=2×3=6．
【点睛】本题考查了坐标的平移，中心对称图形的画法，网格中图形面积的求法，解题的关键是根据题意画出图象．
【变式5-3】（2022·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO=60°,CD为△AOB的中位线，过点D向x轴作垂线段，垂足为E，可得矩形CDEO．将矩形CDEO沿着x轴向右平移，设斜边AB所在直线与矩形所围直角三角形的面积为S．已知点B的坐标为(6,0)，当S=23时，矩形CDEO顶点D的坐标为__________．
【答案】(5,33)；(7,33)
【分析】根据B（6，0）求得OB=6，又tan∠ABO=OAOB，求OA=63，再根据三角形中位线性质得出CD∥OB，CD=12OB=3，OC=12OA=33，然后设D的坐标为(m,33)，分两种情况：当AB与CD相交时，如图1，当AB与O′C、O′E相交时，如图2，分别求出点D的坐标即可；
【详解】解：∵B（6，0），
∴OB=6，
∵tan∠ABO=OAOB，
∴OA=OB⋅tan∠ABO=6×tan60°=63，
∵CD是△AOB的中位线，
∴CD∥OB，CD=12OB=3，OC=12OA=33，
设D(m,33)，
当AB与CD相交时，如图1，
∴DG=m-3，
∵CD∥OB，
∴∠DGF=∠ABO=60°，
∵tan∠DGF=DFDG，
∴3=DFm−3，
∴DF=3（m-3），
∵S△DGF=12DG⋅DF=12(m−3)⋅3(m−3)=23
解得：m1=5，m2=1，
∵DG=m-3>0，
∴m=5,
∴点D的坐标为(5,33)；
当AB与O′C、O′E相交时，如图2，
∴O′B=3-(m-6)=9-m，
∵tan∠ABO=O′FO′B，即3=O′F9−m
∴O′F=3（9-m）
∵S△DGF=12O′B⋅O′F=12(9−m)⋅3(9−m)=23
解得：m1=7，m2=11，
∵O′B=9-m>0，
∴m=7，
∴D的坐标为(7,33)．
综上，D的坐标为(5,33)或(7,33)．
故答案为：(5,33)或(7,33)．
【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、解直角三角形、三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质和解直角三角形是解题的关键．
【考点6 点的坐标规律探索】
【例6】（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，A12,0，B10,1，A1B1的中点为C1；A20,3，B2−2,0，A2B2的中点为C2；A3−4,0，B30,−3，A3B3的中点为C3；A40,−5，B44,0，A4B4的中点为C4；…；按此做法进行下去，则点C2022的坐标为_____．
【答案】−1011,20232
【分析】根据图形找出规律即可解答．由图可知，线段A1B1位于第一象限，A2B2位于第二象限，A3B3位于第三象限，A4B4位于第四象限…，每四个循环一次，则可知道A2022B2022在第几象限，写出A2022，B2022的坐标，即可解答．
【详解】2022÷4=505⋯2
∴线段A2022B2022在第二象限；
∴A2022（0，2023），B2022（-2022，0）
∵点C2022为线段A2022B2022中点，
∴点C2022的坐标为0−20222,0+20232，即−1011,20232
故答案为：−1011,20232
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，仔细读题找出变化规律是解题的关键．
【变式6-1】（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1(1,1)；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2(−1,3)；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3(−4,0)；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4(0,−4)；…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为_________．
【答案】(−1,11)
【分析】先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，从而求出点A8的坐标为（0，-8），由此求解即可．
【详解】解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1(1,1)；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2(−1,3)；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3(−4,0)；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4(0,−4)，
∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，
∵O到A1是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，A1到A2是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，A2到A3是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，A3到A4是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，A4到A5是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，
∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，
∴点A8的坐标为（0，-8），
∴点A8到A9的平移方式与O到A1的方式相同（只指平移方向）即A8到A9向右平移9个单位，向上平移9个单位，
∴A9的坐标为（9，1），
同理A9到A10的平移方式与A1到A2的平移方式相同（只指平移方向），即A9到A10向左平移10个单位，向上平移10个单位，
∴A10的坐标为（-1，11），
故答案为：（-1，11）．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．
【变式6-2】（2022·辽宁辽宁·二模）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为(1,0)．每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边长扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到ΔA1OB1；第二次旋转后得到ΔA2OB2，…，依次类推，则点A2022的坐标为（ ）
A．(−22022,0)B．(22022,−3×22022)
C．(22021,−3×22021)D．(22022,0)
【答案】D
【分析】分别求出每次旋转后点A的对应点的位置及到原点O的距离，发现点A的坐标变化规律：每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，每次旋转后点A的对应点到原点O的距离呈2的幂增加，由此得到答案．
【详解】解：由已知可得：
第一次旋转后，点A1在第一象限，OA1=2，
第二次旋转后，点A2在第二象限，OA2=22，
第三次旋转后，点A3在x轴负半轴，OA3=23，
第四次旋转后，点A4在第三象限，OA4=24，
第五次旋转后，点A5在第四象限，OA5=25，
第六次旋转后，点A6在x轴正半轴，OA6=26，
如此循环，每旋转6次是一个循环组，A的对应点又回到x轴正半轴，
∵2022=6×337，
∴点A2022在x轴正半轴，且OA2022=22022，
∴点A2022的坐标为(22022,0)．
故选：D．
【点睛】此题考查了图形旋转的坐标的规律计算，熟练掌握正三角形边角性质，正确探究发现点坐标的变化规律并运用规律解决问题是解题的关键．
【变式6-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，直线l:y=33x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作BC1⊥l交x轴于点C1，过点C1作B1C1⊥x轴交l于点B1，过点B1作B1C2⊥l交x轴于点C2，过点C2作B2C2⊥x轴交l于点B2…，按照如此规律操作下去，则点B2022的纵坐标是______________．
【答案】4320223
【分析】先根据30°的特殊直角三角形，如△AOB，△BAC1，△BOC1，△BC1B1求出B点，B1点的纵坐标，发现规律，即可
【详解】∵l:y=33x+3
当y=0时，x=−3
当x=0时，y=3
故A(−3,0)，B(0,3)
∴△AOB为30°的直角三角形
∴∠BAO=30°
∵BC1⊥l
∴△BAC1为30°的直角三角形
∴∠OC1B=60°
∴△BOC1为30°的直角三角形
BC1=23OB
∵B1C1⊥x轴
∴B1C1∥BO
∴∠B1C1B=∠C1BO
△BC1B1为30°的直角三角形
B1C1=23BC1=232OB=43OB
同理：
B2C2=23B1C2=232B1C1=432OB
B3C3=433OB
…
BnCn=43nOB
故：B2022C2022=432022OB=4320223
故答案为：4320223
【点睛】本题考查30°的特殊直角三角形；注意只用求点B2022的纵坐标，即B2022C2022长度
【考点7 常量与变量】
【例7】（2022·广东·中考真题）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C=2πr．下列判断正确的是（ ）
A．2是变量B．π是变量C．r是变量D．C是常量
【答案】C
【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可．
【详解】解：2与π为常量，C与r为变量，
故选：C．
【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键．
【变式7-1】（2022·北京市第一六一中学分校一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值：
对于y与x的函数关系有以下4个描述①可能是正比例函数关系；②可能是一次函数关系；③可能是反比例函数关系；④可能是二次函数关系．所有正确的描述是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】C
【分析】根据表格中x和y值得变化规律判断即可．
【详解】解：根据表格数据判断xy=6，故有可能为反比例函数；x从-3到3，y的值在增加，然后x从3到6，y值在减小，所以也有可能是二次函数．
故选：C
【点睛】本题主要考查函数的基本关系，能够从自变量何因变量的数值变化判断函数类型是解题的关键．
【变式7-2】（2022·重庆巴蜀中学一模）荡秋千时，秋千离地面的高度ℎm与摆动时间ts之间的关系如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．变量h不是关于t的函数B．当t=0.7s时，秋千距离地面0.5m
C．h随着t的增大而减小D．秋千静止时离地面的高度是1m
【答案】B
【分析】根据函数图象逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 变量h是关于t的函数，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当t=0.7s时，秋千距离地面0.5m，故该选项正确，符合题意；
C. 根据图像，最高点随着t的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；
D. 秋千静止时离地面的高度是0.5m，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象，从图象获取信息是解题的关键．
【变式7-3】（2022·广东顺德德胜学校三模）一列行驶中的火车的速度为每小时160千米，用t（时）表示行驶的时间，s（千米）表示行驶的里程．其中常量是___________，变量是___________，s关于t的函数表达式是___________，当t=2.5时，函数s的值是___________．
【答案】 160 s，t s=160t 400
【分析】根据速度、时间与路程的关系，可得函数关系式，根据事物的变化过程中发生变化的量是变量，数值不变的量是常量，可得答案．
【详解】解：一列行驶中的火车的速度为每小时160千米，用t（时）表示行驶的时间，s（千米）表示行驶的里程，其中常量是160，变量是s，t，s关于t的函数表达式是s=160t，当t=2.5时，函数s的值是400，
故答案为：160；s，t；s=160t；400．
【点睛】本题考查了函数关系式，利用了速度、时间与路程的关系，变量与常量的定义．
【要点4 函数的概念】
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．
【考点8 函数的概念】
【例8】（2022·广西南宁·二模）下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，即可判断．
【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故B符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的概念：在某一变化过程中，有两个变量x、y，一个量x变化，另一个量y随之变化，当x每取一个值，另一个量y就有唯一值与之相对应，这时，我们把x叫做自变量，y是x的函数，理解自变量与函数值的对应关系是正确判断的前提．
【变式8-1】（2022·河北·二模）观察下列4个表格，能表示为y是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，根据函数的概念即可求出答案．
【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，
选项A、C、D都不符合“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”，
故A、C、D都不符合题意；
选项B符合“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了函数的概念．熟练掌握函数的定义是解题的关键．注意：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应．
【变式8-2】（2022·广东·一模）下列各式中，能表示y是x的函数的是（ ）
A．y=x−2+1−xB．y=x3
C．y=1x−x2D．y=±x
【答案】B
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应．
【详解】解：AC选项无论x取何值时，表达式无意义，D选项y值不唯一．
根据函数的定义可知：只有函数y=x3，当x取值时，y有唯一的值与之对应；
故选：B．
【点睛】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
【变式8-3】（2022·广东顺德德胜学校三模）变量x，y有如下关系：①y=3x2；②y2=8x；③y=4x．其中y是x的函数的是________．（填序号）
【答案】①③
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的定义判断即可．
【详解】解：①y=3x2，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意；
②y2=8x，任意给一个正数x，y都有两个值与x对应，不符合函数的定义，不符合题意；
③y=4x，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了函数的概念，关键是对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即一一对应．
【要点5 求函数的值】
(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．
【考点9 函数的解析式】
【例9】（2022·贵州贵阳·一模）已知一个等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长为11．
(1)写出y与x的关系式为______；
(2)若y≤3，请求出符合条件的整数x的值．
【答案】(1)y=11-2x（114(2)3，4
【分析】（1）根据等腰三角形的周长为11，设腰长为x，底边长为y即可得出x、y的关系式，用含x的代数式表示出y即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式组求解即可；
(1)
∵等腰三角形的周长为11，设腰长为x，底边长为y，
∴2x+y=11，
∴y=11-2x
∵2x>y，2x<11
2x>11−2x
∴114∴y=11-2x（114故答案为：y=11-2x（114(2)
∵y≤3，114∴114解得114∴x为3,4
【点睛】本题考查了列函数解析式，三角形三边关系，等腰三角形的定义，解一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．
【变式9-1】（2022·辽宁大连·中考真题）汽车油箱中有汽油30L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x<300时，y与x的函数解析式是（ ）
A．y=0.1xB．y=−0.1x+30C．y=300xD．y=−0.1x2+30x
【答案】B
【分析】由剩余的油量等于原来的油量减去耗油量，从而可得函数解析式．
【详解】解：由题意可得：y=30−0.1x(0≤x<300),
即y=−0.1x+30(0≤x<300),
故选B
【点睛】本题考查的是列函数关系式，掌握“剩余油量=原来油量-耗油量”是解本题的关键．
【变式9-2】（2022·江苏·江阴市周庄中学一模）写出一个y关于x的函数，满足当x>0时，y>0：_________．
【答案】y=x（答案不唯一）
【分析】根据函数的概念，列出满足条件的一次函数即可．
【详解】解：根据题意，函数y=x，当x＞0时，y＞0满足题意；
故答案为：y=x．
【点睛】此题考查函数的概念；函数概念的理解主要抓住以下三点：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应．掌握一次函数图象的特征是解题关键．
【变式9-3】（2022·广东番禺中学三模）将长为20cm的铁丝首尾相连围成扇形，扇形面积为y（cm2），扇形半径为x（cm），且0＜x＜10，则y与x的函数关系式为____________．
【答案】y=−x2+10x
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：由题意扇形的面积y＝12x20−2x=−x2+10x，
故答案为：y=−x2+10x．
【点睛】此题考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是列出函数关系式是解题的关键．
【考点10 自变量和函数值】
【例10】（2022·湖北黄石·中考真题）函数y=xx+3+1x−1的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠−3且x≠1B．x>−3且x≠1C．x>−3D．x≥−3且x≠1
【答案】B
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：依题意，x+3>0x−1≠0
∴x>−3且x≠1
故选B
【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．
【变式10-1】（2022·黑龙江·逊克县教师进修学校一模）在函数y=x−4x中，自变量x的取值范围是____________.
【答案】x≥4
【分析】要使函数由意义需满足，分母不为零，根号内为非负数，根据以上要求，求出自变量的取值范围即可．
【详解】解：要使函数由意义需满足，分母不为零，根号内为非负数，综上所述，
x≠0，且x−4≥0，解得x≥4，
综上所述：自变量的取值范围为x≥4，
故答案为：x≥4．
【点睛】本题考查分式、二次根式有意义的条件，函数的取值范围，能够熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
【变式10-2】（2022·上海·中考真题）已知f（x）=3x，则f（1）=_____．
【答案】3
【分析】直接代入求值即可．
【详解】解：∵f（x）=3x，
∴f（1）=3×1=3，
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了求函数值，直接把自变量的值代入即可．
【变式10-3】（2022·广东顺德德胜学校三模）若函数y=12[(x2−100x+196)+|x2−100x+196|]，当自变量x分别取1，2，……，100时，对应的函数值的和是 __．
【答案】390
【分析】将x2-100x+196分解为：（x-2）（x-98），然后可得当2≤x≤98时函数值为0，再分别求出x=1，99，100时的函数值即可．
【详解】二次函数y′=x2−100x+196与x轴交点为(2,0)，(98,0)，
∴当x=2，时，
|y′|=|x2−100x+196|=−(x2−100x+196)，
∴当x=2，时，
y=12[(x2−100x+196)+|x2−100x+196|]
=12[(x2−100x+196)−(x2−100x+196)]
=12×0
=0，
当x=1，x=99，x=100时，函数y′=x2−100x+196的函数值为正数，
∴y=12[(x2−100x+196)+|x2−100x+196|]
y=12[(x−2)(x−98)+(x−2)(x−98)]
y=(x−2)(x−98)
∴x=1时，
y=(x−2)(x−98)
=(−1)(−97)
=97，
当x=99时，
y=(x−2)(x−98)
=97×1
=97，
当x=100时，
y=(x−2)(x−98)
=98×2
=196，
∴自变量x分别取1，2，……，100时，对应的函数值的和是：
0+97+97+196=390．
故答案为：390．
【点睛】本题考查函数值的知识及十字相乘法分解因式，有一定难度，关键是将x2-100x+196分解为：（x-2）（x-98）进行解答．
【要点6 函数的图象】
把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．
【考点11 函数的图象】
【例11】（2022·北京东城·二模）小强用竹篱笆围一个面积为94平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你完善他的思考过程．
(1)建立函数模型：
设矩形小花园的一边长为x米，则矩形小花园的另一边长为__________米（用含x的代数式表示）；若总篱笆长为y米，请写出总篱笆长y（米）关于边长x（米）的函数关系式__________；
(2)列表：
根据函数的表达式，得到了x与y的几组对应值，如下表：
表中a=________，b= ________；
(3)描点、画出函数图象：
如图，在平面直角坐标系xOy中，将表中未描出的点(2,a)，(92,b)补充完整，并根据描出的点画出该函数的图象；
(4)解决问题：
根据以上信息可得，当x=__________时，y有最小值．由此，小强确定篱笆长至少为_________米．
【答案】(1)94x，y=2x+92x
(2)6.25，10
(3)见解析
(4)1.5，6
【分析】（1）根据矩形的面积公式，求得另一边的长，根据矩形的周长列出函数关系式；
（2）将x=2与x=92代入（1）中函数关系式即可求解；
（3）表中未描出的点(2,6.25)，(92,10)补充完整，并根据描出的点画出该函数的图象；
（4）结合函数图像即可求解．
（1）
解：∵面积为94平方米的矩形小花园，设矩形小花园的一边长为x米，
则矩形小花园的另一边长为94x=94x
若总篱笆长为y米，则y=2x+94x=2x+92x x>0
故答案为：94x，y=2x+92x
（2）
当x=2时，a=2×2+94=6.25，
当x=92时，b=2×92+92×92=10
故答案为：6.25，10
（3）
在坐标系描出点(2,6.25)，(92,10)，并用平滑的曲线连接点，如图，
（4）
根据以上信息可得，当x=1.5时，y有最小值为6．由此，小强确定篱笆长至少为6米．
故答案为：1.5，6
【点睛】本题考查了描点法画函数图象，根据函数图象获取信息，求函数值，理解题意，掌握描点法画函数图象是解题的关键．
【变式11-1】（2022·四川雅安·中考真题）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．
【详解】解： 公共汽车经历：加速，匀速，减速到站，加速，匀速，
加速：速度增加， 匀速：速度保持不变，
减速：速度下降， 到站：速度为0．
观察四个选项的图象：只有选项B符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【变式11-2】（2022·青海西宁·中考真题）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，
根据相似比可知：EFBC=3−x3，
即EF6=3−x3，
解得：EF=2（3-x），
则△DEF的面积y=12×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-32)2+94，
故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为(32，94)的抛物线．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键．
【变式11-3】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，25）是图象的最低点，那么a的值为（ ）
A．823B．22C．432D．435
【答案】A
【分析】由A、C关于BD对称，推出NA=NC，推出AN+MN=NC+MN，推出当M、N、C共线时，y的值最小，连接MC，由图象可知MC=25，就可以求出正方形的边长，再求a的值即可．
【详解】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′．
∵四边形ABCD是正方形，
∴O是BD的中点，
∵点M是AB的中点，
∴N′是△ABC的重心，
∴N′O=13BO，
∴N′D=23BD，
∵A、C关于BD对称，
∴NA=NC，
∴AN+MN=NC+MN，
∵当M、N、C共线时，y的值最小，
∴y的值最小就是MC的长，
∴MC=25，
设正方形的边长为m，则BM=12m，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2=BC2+MB2，
∴20=m2+（12m）2，
∴m=4(负值已舍)，
∴BD=42，
∴a=N′D=23BD=23×42＝823，
故选：A．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，重心的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键． x
…
−3
3
6
…
y
…
−2
2
1
…
x
2
2
2
2
2
2
…
y
-1
0
1
2
3
4
…
x
10
20
30
40
50
60
…
y
-10
-10
-10
-10
-10
-10
…
x
1
2
3
2
1
0
…
y
1
1
2
2
3
3
…
x
10
10
20
20
30
30
…
y
10
20
30
40
50
60
…
x
12
1
32
2
52
3
72
4
92
5
y
10
132
6
a
345
152
587
738
b
10910