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（全国通用）中考数学总复习 专题01 实数（10个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析）
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这是一份（全国通用）中考数学总复习 专题01 实数（10个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析），共28页。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27494" 【考点1 正负数的意义】 PAGEREF _Tc27494 \h 1
\l "_Tc7300" 【考点2 无理数的识别与估算】 PAGEREF _Tc7300 \h 2
\l "_Tc17979" 【考点3 实数的分类】 PAGEREF _Tc17979 \h 3
\l "_Tc6289" 【考点4 实数的相关概念】 PAGEREF _Tc6289 \h 3
\l "_Tc24336" 【考点5 实数的大小比较】 PAGEREF _Tc24336 \h 4
\l "_Tc3902" 【考点6 实数的运算】 PAGEREF _Tc3902 \h 5
\l "_Tc32544" 【考点7 非负数的运用】 PAGEREF _Tc32544 \h 6
\l "_Tc19431" 【考点8 新定义运算】 PAGEREF _Tc19431 \h 6
\l "_Tc30522" 【考点9 科学记数法】 PAGEREF _Tc30522 \h 7
\l "_Tc19318" 【考点10 近似数与有效数字】 PAGEREF _Tc19318 \h 7
【考点1 正负数的意义】
【例1】（2022•桂林）在东西向的马路上，把出发点记为0，向东与向西意义相反．若把向东走记做“”，那么向西走应记做
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022•济宁）若盈余2万元记作万元，则万元表示
A．盈余2万元B．亏损2万元
C．亏损万元D．不盈余也不亏损
【变式1-2】（2022•大连）某水井水位最低时低于水平面5米，记为﹣5米，最高时低于水平面1米，则水井水位h米中h的取值范围是 ．
【变式1-3】（2022•南京）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间
A．B．C．D．
【要点1 实数的分类及有关概念】
一．实数的分类：
注意：在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：
(1)开方开不尽的数，如，等；
(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等；
(4)某些三角函数，如sin60°等
二．数轴：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
三．绝对值：
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
四．相反数：
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零).从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
五．倒数：
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
【考点2 无理数的识别与估算】
【例2】（2022·重庆·中考真题）估计3×(23+5)的值应在（ ）
A．10和11之间B．9和10之间C．8和9之间D．7和8之间
【变式2-1】（2022·江苏泰州·中考真题）下列 4 个数： 9，227，π，(3)0其中无理数是（ ）
A．9B．227C．πD．(3)0
【变式2-2】（2022·四川绵阳·中考真题）已知x是整数，当x−30取最小值时，x的值是( )
A．5B．6C．7D．8
【变式2-3】（2022·广东·中考真题）设6−10的整数部分为a，小数部分为b，则2a+10b的值是（ ）
A．6B．210C．12D．910
【考点3 实数的分类】
【例3】（2022·浙江温州·中考真题）给出四个实数5，2，0，-1，其中负数是（ ）
A．5B．2C．0D．-1
【变式3-1】（2022·山东·中考真题）在实数38，π3，12，43中有理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-2】（2022·山东日照·中考真题）在实数2，x0（x≠0），cs30°，38中，有理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-3】（2022·浙江金华·中考真题）实数−12，−5，2，−3中，为负整数的是（ ）
A．−12B．−5C．2D．−3
【考点4 实数的相关概念】
【例4】（2022·河北·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．1的相反数是﹣1B．1的倒数是﹣1
C．1的立方根是±1D．﹣1是无理数
【变式4-1】（2022·湖南衡阳·中考真题）下列各式中正确的是( )
A．9=±3B．−32=−3
C．39=3D．12−3=3
【变式4-2】（2022·江苏南京·中考真题）设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 3A．①④B．②③C．①②④D．①③④
【变式4-3】（2022·江苏南京·中考真题）如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（ ）
A．4的算术平方根B．4的立方根C．8的算术平方根D．8的立方根
【要点2 实数的大小比较】
有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
，
，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
【考点5 实数的大小比较】
【例5】（2022·湖南株洲·中考真题）下列不等式错误的是（ ）
A．−2<−1B．π<17C．52>10D．13>0.3
【变式5-1】（2022·山东菏泽·中考真题）下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
A．−5B．12C．−1D．2
【变式5-2】（2022·甘肃张掖·中考真题）估计5−12与0.5的大小关系是：5−12______0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）
【变式5-3】（2022·贵州铜仁·中考真题）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞bB．﹣a＜bC．a＞﹣bD．﹣a＞b
【要点3 开方及实数的运算】
一．平方根：
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
二．立方根：
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
三．实数的运算：
在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立
1、加法交换律
2、加法结合律
3、乘法交换律
4、乘法结合律
5、乘法对加法的分配律
6、实数的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
【考点6 实数的运算】
【例6】（2022·四川内江·中考真题）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为2，则最后输出的结果是（ ）
A．14B．16C．8+52D．14+2
【变式6-1】（2022·四川达州·中考真题）计算：−12+(π−2021)0+2sin60°−|1−3|．
【变式6-2】（2022·四川内江·中考真题）计算：6sin45°−|1−2|−8×(π−2021)0−(12)−2．
【变式6-3】（2022·四川·中考真题）计算：（﹣2）-2﹣|3﹣2|+（﹣32）0﹣38﹣2cs30°．
【考点7 非负数的运用】
【例7】（2022·广东韶关·中考真题）已知a−b+|b−1|=0，则a+1=__．
【变式7-1】（2022·甘肃武威·中考真题）已知α、β均为锐角，且满足sinα−12+(tanβ−1)2=0，则α+β= ___________．
【变式7-2】（2022·四川内江·中考真题）若|1001−a|+a−1002=a，则a−10012=_____．
【变式7-3】（2022·四川巴中·中考真题）已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式c2−a2−b2+a−b=0，则△ABC的形状为_______ ．
【考点8 新定义运算】
【例8】（2022·湖北鄂州·中考真题）已知a1为实数﹐规定运算：a2=1−1a1，a3=1−1a2，a4=1−1a3，a5=1−1a4，……，an=1−1an−1．按上述方法计算：当a1=3时，a2021的值等于（ ）
A．−23B．13C．−12D．23
【变式8-1】（2022·青海·中考真题）对于任意两个不相等的数a,b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b=a+ba−b如：3⊕2=3+23−2，那么12⊕4=________．
【变式8-2】（2022·重庆·中考真题）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“纯数”．定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
【变式8-3】（2022·重庆·中考真题）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：m=3507，因为3+7=2×(5+0)，所以3507是“共生数”：m=4135，因为4+5≠2×(1+3)，所以4135不是“共生数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F(n)=n3．求满足F(n)各数位上的数字之和是偶数的所有n．
【要点4 科学记数法】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
【考点9 科学记数法】
【例9】（2022·山东·济南市钢城区实验学校期末）中国“神威太湖之光”计算机系统首次亮相，一举夺冠，成为世界上最快的计算机，一分钟的计算能力相当于全球72亿人同时用计算器不间断计算32年．72亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.72×109B．7.2×109C．72×108D．7.2×108
【变式9-1】（2022·四川·眉山市东坡区尚义镇象耳初级中学八年级期中）已知某种植物孢子的半径为150000nm，1nm＝10-9m，用科学记数法表示该孢子的半径是（ ）
A．15×10−5mB．1.5×104mC．1.5×10−4mD．1.5×10−5m
【变式9-2】（2022·江西省上高县第五中学七年级阶段练习）13 940 万这个数字用科学记数法可表示为（ ）
A．1.394×108B．13.94×108C．1.394×109D．13.94×107
【变式9-3】（2022·甘肃天水·八年级期末）新型冠状病毒肺炎（Crna Virus Disease 2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，2020年2月11日，世界卫生组织总干事谭德塞在瑞士日内瓦宣布，将新型冠状病毒感染的肺炎命名为“COVID-19”． 某实验室测得某种冠状病毒分子直径约87纳米，已知1纳米=1109米，则该冠状病毒分子直径可用科学记数法表示为_________米．
【要点5 有效数字】
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
【考点10 近似数与有效数字】
【例10】（2022·浙江金华·中考真题）由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）．
A．精确到十分位，有2个有效数字B．精确到个位，有2个有效数字
C．精确到百位，有2个有效数字D．精确到千位，有4个有效数字
【变式10-1】（2022·山东济南·中考真题）2010年4月20日晚，“支援青海玉树抗震救灾义演晚会”在莱芜市政府广场成功举行，热心企业和现场观众踊跃捐款31083．58元．将31083．58元保留两位有效数字可记为（ ）
【变式10-2】（2022·江西·中考真题）长度单位1纳米=10−9米，目前发现一种新型病毒直径为23150纳米，用科学记数法表示该病毒直径是_____米（保留两个有效数字）
【变式10-3】（2022·贵州毕节·中考真题）某省将为义务教育阶段的贫困学生免费发放教科书，预计发放总量为1500万册，发放总量用科学记数法记为________万册（保留3个有效数字）． A．3．1×106元
B．3．11×104元
C．3．1×104元
D．3．10×105元
专题01 实数（10个高频考点）（举一反三）
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27494" 【考点1 正负数的意义】 PAGEREF _Tc27494 \h 1
\l "_Tc7300" 【考点2 无理数的识别与估算】 PAGEREF _Tc7300 \h 3
\l "_Tc17979" 【考点3 实数的分类】 PAGEREF _Tc17979 \h 5
\l "_Tc6289" 【考点4 实数的相关概念】 PAGEREF _Tc6289 \h 6
\l "_Tc24336" 【考点5 实数的大小比较】 PAGEREF _Tc24336 \h 8
\l "_Tc3902" 【考点6 实数的运算】 PAGEREF _Tc3902 \h 10
\l "_Tc32544" 【考点7 非负数的运用】 PAGEREF _Tc32544 \h 12
\l "_Tc19431" 【考点8 新定义运算】 PAGEREF _Tc19431 \h 13
\l "_Tc30522" 【考点9 科学记数法】 PAGEREF _Tc30522 \h 17
\l "_Tc19318" 【考点10 近似数与有效数字】 PAGEREF _Tc19318 \h 18
【考点1 正负数的意义】
【例1】（2022•桂林）在东西向的马路上，把出发点记为0，向东与向西意义相反．若把向东走记做“”，那么向西走应记做
A．B．C．D．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：若把向东走记做“”，那么向西走应记做．
故选：．
【变式1-1】（2022•济宁）若盈余2万元记作万元，则万元表示
A．盈余2万元B．亏损2万元
C．亏损万元D．不盈余也不亏损
【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量解答．
【详解】解：万元表示亏损2万元，
故选：．
【变式1-2】（2022•大连）某水井水位最低时低于水平面5米，记为﹣5米，最高时低于水平面1米，则水井水位h米中h的取值范围是 ﹣5≤h≤﹣1 ．
【分析】理解“正”和“负”的相对性，根据题意，水平面高度为0米，低于水平面的高度均为负数，可得h的取值范围．
【详解】解：某水井水位最低时低于水平面5米，记为﹣5米；
最高时低于水平面1米，记作﹣1米；
应最低时应低于水平面5米，最高时低于等于水平面1米，
则水井水位h米中h的取值范围是﹣5≤h≤﹣1．
【变式1-3】（2022•南京）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间
A．B．C．D．
【分析】根据北京时间比莫斯科时间早5小时解答即可．
【详解】解：由题意得，北京时间应该比莫斯科时间早5小时，
当莫斯科时间为，则北京时间为；当北京时间为，则莫斯科时间为；
所以这个时刻可以是到之间，
所以这个时刻可以是北京时间．
故选：．
【要点1 实数的分类及有关概念】
一．实数的分类：
注意：在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：
(1)开方开不尽的数，如，等；
(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等；
(4)某些三角函数，如sin60°等
二．数轴：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
三．绝对值：
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
四．相反数：
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零).从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
五．倒数：
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
【考点2 无理数的识别与估算】
【例2】（2022·重庆·中考真题）估计3×(23+5)的值应在（ ）
A．10和11之间B．9和10之间C．8和9之间D．7和8之间
【答案】B
【分析】先化简3×(23+5)=6+15，利用9＜15＜16，从而判定即可．
【详解】 3×(23+5)=6+15，
∵9＜15＜16，
∴3＜15＜4，
∴9＜6+15＜10，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键．
【变式2-1】（2022·江苏泰州·中考真题）下列 4 个数： 9，227，π，(3)0其中无理数是（ ）
A．9B．227C．πD．(3)0
【答案】C
【详解】试题分析：根据无理数的概念即可判断出结果.
试题解析：A、9=3，是有理数；
B、227是循环小数，是有理数；
C、π是无限不循环小数，是无理数；
D、(3)0=1，是有理数.
故选C.
考点：无理数.
【变式2-2】（2022·四川绵阳·中考真题）已知x是整数，当x−30取最小值时，x的值是( )
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义，找到与30最接近的整数，可得结论．
【详解】解：∵25<30<36，∴5<30<6，
且与30最接近的整数是5，∴当x−30取最小值时，x的值是5，
故选A．
【点睛】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．
【变式2-3】（2022·广东·中考真题）设6−10的整数部分为a，小数部分为b，则2a+10b的值是（ ）
A．6B．210C．12D．910
【答案】A
【分析】首先根据10的整数部分可确定a的值，进而确定b的值，然后将a与b的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】∵3<10<4，
∴2<6−10<3，
∴6−10的整数部分a=2，
∴小数部分b=6−10−2=4−10，
∴2a+10b=2×2+104−10=4+104−10=16−10=6．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6−10的整数部分a与小数部分b的值是解题关键.
【考点3 实数的分类】
【例3】（2022·浙江温州·中考真题）给出四个实数5，2，0，-1，其中负数是（ ）
A．5B．2C．0D．-1
【答案】D
【分析】根据负数的定义，负数小于0 即可得出答案.
【详解】根据题意 ：负数是-1，
故答案为：D.
【点睛】此题主要考查了实数，正确把握负数的定义是解题关键.
【变式3-1】（2022·山东·中考真题）在实数38，π3，12，43中有理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】整数和分数统称为有理数，依此定义求解即可．
【详解】解：在实数38，π3，12，43中38＝2，有理数有38，43共2个．
故选B．
【点睛】此题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知无理数与有理数的区别.
【变式3-2】（2022·山东日照·中考真题）在实数2，x0（x≠0），cs30°，38中，有理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．
【详解】解：在实数2，x0（x≠0）=1，cs30°=32，38=2中，有理数是38=2，x0=1，
所以，有理数的个数是2，
故选：B．
【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键.
【变式3-3】（2022·浙江金华·中考真题）实数−12，−5，2，−3中，为负整数的是（ ）
A．−12B．−5C．2D．−3
【答案】D
【分析】按照负整数的概念即可选取答案．
【详解】解：−12是负数不是整数；−5是负数不是整数；2是正数；−3是负数且是整数
故选D．
【点睛】本题考查了实数的分类，比较简单．
【考点4 实数的相关概念】
【例4】（2022·河北·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．1的相反数是﹣1B．1的倒数是﹣1
C．1的立方根是±1D．﹣1是无理数
【答案】A
【详解】解：A、1的相反数为-1，故A正确；
B、1的倒数是1，故B错误；
C、1的立方根是1，故C错误；
D、-1是有理数，是整数，故D错误．
故选A
考点：相反数的定义
【变式4-1】（2022·湖南衡阳·中考真题）下列各式中正确的是( )
A．9=±3B．−32=−3
C．39=3D．12−3=3
【答案】D
【分析】原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值．
【详解】解：A.原式=3，不符合题意；
B.原式=|-3|=3，不符合题意；
C.原式不能化简，不符合题意；
D.原式=23-3=3，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解题的关键．
【变式4-2】（2022·江苏南京·中考真题）设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 3A．①④B．②③C．①②④D．①③④
【答案】C
【详解】解：根据勾股定理，边长为3的正方形的对角线长为a=32，是无理数，故说法①正确．
根据实数与数轴上的一点一一对应的关系，a可以用数轴上的一个点来表示，故说法②正确．
∵16∴4∵a2=18，
∴根据算术平方根的定义，a是18的算术平方根，故说法④正确．
综上所述，正确说法的序号是①②④．
故选C．
【变式4-3】（2022·江苏南京·中考真题）如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（ ）
A．4的算术平方根B．4的立方根C．8的算术平方根D．8的立方根
【答案】C
【详解】解：由题意可知4的算术平方根是2，4的立方根是34 34<2, 8的算术平方根是22， 2<22<3，8的立方根是2，
故根据数轴可知,
故选C
【要点2 实数的大小比较】
有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
，
，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
【考点5 实数的大小比较】
【例5】（2022·湖南株洲·中考真题）下列不等式错误的是（ ）
A．−2<−1B．π<17C．52>10D．13>0.3
【答案】C
【分析】选项A，根据两个负数绝对值大的反而小即可得−2<−1；选项B，由3<π<4，4<17<5即可得π<17；选项C，由522=6.25，6.25<10，可得52<10；选项D，由13=0.3·可得13>0.3．由此可得只有选项C错误．
【详解】选项A，根据两个负数绝对值大的反而小可得−2<−1，选项A正确；
选项B，由3<π<4，4<17<5可得π<17，选项B正确；
选项C，由522=6.25，6.25<10，可得52<10，选项C错误；
选项D，由13=0.3·可得13>0.3，选项D正确．
故选C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较及无理数的估算，熟练运用实数大小的比较方法及无理数的估算方法是解决问题的关键．
【变式5-1】（2022·山东菏泽·中考真题）下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
A．−5B．12C．−1D．2
【答案】B
【分析】根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
【详解】解：−5=5，12=12，−1=1，2=2，
∵5>2>1>12，
∴绝对值最小的数是12；
故选：B．
【点睛】本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．
【变式5-2】（2022·甘肃张掖·中考真题）估计5−12与0.5的大小关系是：5−12______0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）
【答案】＞
【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．
【详解】解：∵ 5−12−0.5=5−12−12=5−22，
∵ 5−2>0，
∴ 5−22>0，
∴ 5−12>0.5．
故答案为：>．
【点睛】此题主要考查了两个实数的大小，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
【变式5-3】（2022·贵州铜仁·中考真题）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞bB．﹣a＜bC．a＞﹣bD．﹣a＞b
【答案】D
【分析】根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．
【详解】根据数轴可得：a<0，b>0，且|a|>|b|，
则a﹣a>b，选项B错误；
a<﹣b，选项C错误；
﹣a>b，选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．
【要点3 开方及实数的运算】
一．平方根：
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
二．立方根：
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
三．实数的运算：
在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立
1、加法交换律
2、加法结合律
3、乘法交换律
4、乘法结合律
5、乘法对加法的分配律
6、实数的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
【考点6 实数的运算】
【例6】（2022·四川内江·中考真题）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为2，则最后输出的结果是（ ）
A．14B．16C．8+52D．14+2
【答案】C
【详解】试题分析：当n=2时，n（n+1）=2（2+1）=2+2＜15；
当n=2+2时，n（n+1）=（2+2）（3+2）=6+52+2=8+52＞15，
则输出结果为8+52．
故选C．
考点：实数的运算．
【变式6-1】（2022·四川达州·中考真题）计算：−12+(π−2021)0+2sin60°−|1−3|．
【答案】1
【分析】直接通过整数的平方、零次幂的运算、去绝对值符号、特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：原式=−1+1+2×32−(3−1)
=1
故答案是：1．
【点睛】本题考查了整数的平方、零次幂的运算、去绝对值符号、特殊角的三角函数值，解题的关键是：掌握相关的运算法则，直接进行求解．
【变式6-2】（2022·四川内江·中考真题）计算：6sin45°−|1−2|−8×(π−2021)0−(12)−2．
【答案】-3
【分析】根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．
【详解】解：原式=6×22−(2−1)−22×1−4
=32−2+1−22−4
=−3．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等知识点，熟知相关运算法则是解题的关键．
【变式6-3】（2022·四川·中考真题）计算：（﹣2）-2﹣|3﹣2|+（﹣32）0﹣38﹣2cs30°．
【答案】−234
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：（﹣2）﹣2﹣|3﹣2|+（﹣32）0﹣38﹣2cs30°
＝14﹣2+3+1﹣2﹣2×32
＝﹣234．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算及特殊三角函数值，熟练掌握运算法则及三角函数值是解题的关键．
【考点7 非负数的运用】
【例7】（2022·广东韶关·中考真题）已知a−b+|b−1|=0，则a+1=__．
【答案】2．
【分析】利用非负数的性质结合绝对值与二次根式的性质即可求出a，b的值，进而即可得出答案．
【详解】∵a−b+|b﹣1|=0，
又∵a−b≥0，|b−1|≥0，
∴a﹣b=0且b﹣1=0，
解得：a=b=1，
∴a+1=2.
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质以及绝对值与二次根式的性质，根据几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0得到关于a、b的方程是解题的关键．
【变式7-1】（2022·甘肃武威·中考真题）已知α、β均为锐角，且满足sinα−12+(tanβ−1)2=0，则α+β= ___________．
【答案】75°##75度
【分析】根据非负数的性质得到sinα=12，tanβ=1，利用特殊角的三角函数值分别求出α、β，计算即可．
【详解】由已知得sinα－12=0，tanβ－1=0，
∴α=30°，β=45°，
∴α+β=75°．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键．
【变式7-2】（2022·四川内江·中考真题）若|1001−a|+a−1002=a，则a−10012=_____．
【答案】1002．
【分析】根据绝对值的性质和二次根式的性质，即可解答
【详解】∵a−1002≥0，
∴a≥1002．
由|1001−a|+a−1002=a，得−1001+a+a−1002=a，
∴a−1002=1001，
∴a−1002=10012．
∴a−10012=1002．
故答案是：1002．
【点睛】此题考查绝对值的非负性，二次根式的性质，解题关键在于掌握运算法则
【变式7-3】（2022·四川巴中·中考真题）已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式c2−a2−b2+a−b=0，则△ABC的形状为_______ ．
【答案】等腰直角三角形
【详解】∵c2−a2−b2+|a−b|=0，
∴c2－a2－b2=0，且a－b=0．
由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2，
∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形．
又由a－b=0得a=b，
∴△ABC为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
【考点8 新定义运算】
【例8】（2022·湖北鄂州·中考真题）已知a1为实数﹐规定运算：a2=1−1a1，a3=1−1a2，a4=1−1a3，a5=1−1a4，……，an=1−1an−1．按上述方法计算：当a1=3时，a2021的值等于（ ）
A．−23B．13C．−12D．23
【答案】D
【分析】当a1=3时，计算出a2=23,a3=−12,a4=3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到a2021的值．
【详解】解：当a1=3时，计算出a2=23,a3=−12,a4=3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
会发现是以：3,23,−12，循环出现的规律，
∵2021=3×673+2，
∴a2021=a2=23，
故选：D．
【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．
【变式8-1】（2022·青海·中考真题）对于任意两个不相等的数a,b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b=a+ba−b如：3⊕2=3+23−2，那么12⊕4=________．
【答案】2
【分析】根据定义的新运算的方式，把相应的数字代入运算即可．
【详解】解：由题意得：
12⊕4
=12+412−4
=168
=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查实数的运算，二次根式的化简，解答的关键是理解清楚题意，对实数的运算的相应的法则的掌握．
【变式8-2】（2022·重庆·中考真题）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“纯数”．定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
【答案】（1）2019不是“纯数”，2020时“纯数”，见解析；（2）13个.
【分析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”；（2）根据题意可以推出不大于100的“纯数”的个数，本题得以解决.
【详解】解：（1）当n=2019时，n+1=2020，n+2=2022
∵计算时，个位为9+0+1=10，需要进位，
∴2019不是“纯数”；
当n=2020时，n+1=2021，n+2=2022
∴个位为0+1+2=3，不需要进位：十位为2+2+6，不需要进位：百位为0+0+0=0，不需要进位：千位为2+2+2=6，不需要进位：
∴2020是“纯数”；
综上所述，2019不是“纯数”，2020时“纯数”.
（2）由题意，连续的三个自然数个位不同，其他位都相同；
并且，连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位；
①当这个数为一位的自然数的时候，只能是0、1、2，共3个；
②当这个数为二位的自然数的时候，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，共9个；
③当这个数为100时，100是“纯数”；
∴不大于100的“纯数”有3+9+1=13个.
【点睛】本题考查整式的加减、有理数的加法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答.
【变式8-3】（2022·重庆·中考真题）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：m=3507，因为3+7=2×(5+0)，所以3507是“共生数”：m=4135，因为4+5≠2×(1+3)，所以4135不是“共生数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F(n)=n3．求满足F(n)各数位上的数字之和是偶数的所有n．
【答案】（1）5313是“共生数”， 6437不是“共生数”． （2）n=2148或n=3069.
【分析】（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案；
（2）设“共生数”n的千位上的数字为a, 则十位上的数字为2a, 设百位上的数字为b, 个位上的数字为c, 可得：1≤a＜5, 0≤b≤9,0≤c≤9, 且a,b,c为整数，再由“共生数”的定义可得：c=3a+2b,而由题意可得：b+c=9或b+c=18, 再结合方程的正整数解分类讨论可得答案．
【详解】解：（1）∵5+3=2×(1+3)=8,
∴5313是“共生数”，
∵6+7=13≠2×(4+3)=14,
∴6437不是“共生数”．
（2）设“共生数”n的千位上的数字为a, 则十位上的数字为2a, 设百位上的数字为b, 个位上的数字为c,
∴1≤a＜5, 0≤b≤9,0≤c≤9, 且a,b,c为整数，
所以：n=1000a+100b+20a+c=1020a+100b+c,
由“共生数”的定义可得：a+c=2(2a+b),
∴c=3a+2b,
∴n=1023a+102b,
∴F(n)=n3=341a+34b,
∵ 百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，
∴b+c=0或b+c=9或b+c=18,
当b+c=0, 则b=c=0, 则a=0, 不合题意，舍去，
当b+c=9时，则3a+3b=9,
∴a+b=3,
当a=1时，b=2,c=7,
此时：n=1227, F(n)=12273=409，而4+0+9=13不为偶数，舍去，
当a=2时，b=1,c=8,
此时：n=2148, F(n)=21483=716,，而7+1+6=14为偶数，
当a=3时，b=0,c=9,
此时：n=3069, F(n)=30693=1023,，而1+0+2+3=6为偶数，
当b+c=18时，则b=c=9,
而3a+3b=18,则a=−3不合题意，舍去，
综上：满足F(n)各数位上的数字之和是偶数的n=2148或n=3069,
【点睛】本题考查的是新定义情境下的实数的运算，二元一次方程的正整数解，分类讨论的数学思想的运用，准确理解题意列出准确的代数式与方程是解题的关键．
【要点4 科学记数法】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
【考点9 科学记数法】
【例9】（2022·山东·济南市钢城区实验学校期末）中国“神威太湖之光”计算机系统首次亮相，一举夺冠，成为世界上最快的计算机，一分钟的计算能力相当于全球72亿人同时用计算器不间断计算32年．72亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.72×109B．7.2×109C．72×108D．7.2×108
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：72亿＝7200000000，
用科学记数法可表示为7.2×109 ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式9-1】（2022·四川·眉山市东坡区尚义镇象耳初级中学八年级期中）已知某种植物孢子的半径为150000nm，1nm＝10-9m，用科学记数法表示该孢子的半径是（ ）
A．15×10−5mB．1.5×104mC．1.5×10−4mD．1.5×10−5m
【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：150000nm＝150000×10−9m＝1.5×10−4m；
故选：C．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【变式9-2】（2022·江西省上高县第五中学七年级阶段练习）13 940 万这个数字用科学记数法可表示为（ ）
A．1.394×108B．13.94×108C．1.394×109D．13.94×107
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×108的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：13940万=139400000=1.394×108，
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×108的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式9-3】（2022·甘肃天水·八年级期末）新型冠状病毒肺炎（Crna Virus Disease 2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，2020年2月11日，世界卫生组织总干事谭德塞在瑞士日内瓦宣布，将新型冠状病毒感染的肺炎命名为“COVID-19”． 某实验室测得某种冠状病毒分子直径约87纳米，已知1纳米=1109米，则该冠状病毒分子直径可用科学记数法表示为_________米．
【答案】8.7×10−8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10−n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：87纳米=89×1109= 87×10−9 米= 8.7×10−8米．
故答案为： 8.7×10−8．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10−n ，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【要点5 有效数字】
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
【考点10 近似数与有效数字】
【例10】（2022·浙江金华·中考真题）由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）．
A．精确到十分位，有2个有效数字B．精确到个位，有2个有效数字
C．精确到百位，有2个有效数字D．精确到千位，有4个有效数字
【答案】C
【分析】103代表1千，那是乘号前面个位的单位，那么小数点后一位是百．有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字，用科学记数法表示的数a×10n的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【详解】解：8.8×103精确到百位，
乘号前面的数从左面第一个不是0的数字有2个数字，那么有效数字就是2个．故选C．
【变式10-1】（2022·山东济南·中考真题）2010年4月20日晚，“支援青海玉树抗震救灾义演晚会”在莱芜市政府广场成功举行，热心企业和现场观众踊跃捐款31083．58元．将31083．58元保留两位有效数字可记为（ ）
【答案】C
【分析】由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】31083．58=3.108358×104≈3．1×104．
故选C
【变式10-2】（2022·江西·中考真题）长度单位1纳米=10−9米，目前发现一种新型病毒直径为23150纳米，用科学记数法表示该病毒直径是_____米（保留两个有效数字）
【答案】2.3×10−5
【详解】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，23150科学记数法可表示为2.3×104，然后把纳米转化成米2.3×104×10-9化简得结果．
解答：解：23150科学记数法可表示为2.315×104，
然后把纳米转化成米，即2.315×104×10-9=2.3×10-5．
故答案为2.3×10-5．
【变式10-3】（2022·贵州毕节·中考真题）某省将为义务教育阶段的贫困学生免费发放教科书，预计发放总量为1500万册，发放总量用科学记数法记为________万册（保留3个有效数字）．
【答案】1.50×103
【详解】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1500有4位，所以可以确定n=4-1=3．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．解：1500=1.50×103．
故答案为1.50×103．
此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法，题目比较典型，是中考中重点题型． A．3．1×106元
B．3．11×104元
C．3．1×104元
D．3．10×105元
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27494" 【考点1 正负数的意义】 PAGEREF _Tc27494 \h 1
\l "_Tc7300" 【考点2 无理数的识别与估算】 PAGEREF _Tc7300 \h 2
\l "_Tc17979" 【考点3 实数的分类】 PAGEREF _Tc17979 \h 3
\l "_Tc6289" 【考点4 实数的相关概念】 PAGEREF _Tc6289 \h 3
\l "_Tc24336" 【考点5 实数的大小比较】 PAGEREF _Tc24336 \h 4
\l "_Tc3902" 【考点6 实数的运算】 PAGEREF _Tc3902 \h 5
\l "_Tc32544" 【考点7 非负数的运用】 PAGEREF _Tc32544 \h 6
\l "_Tc19431" 【考点8 新定义运算】 PAGEREF _Tc19431 \h 6
\l "_Tc30522" 【考点9 科学记数法】 PAGEREF _Tc30522 \h 7
\l "_Tc19318" 【考点10 近似数与有效数字】 PAGEREF _Tc19318 \h 7
【考点1 正负数的意义】
【例1】（2022•桂林）在东西向的马路上，把出发点记为0，向东与向西意义相反．若把向东走记做“”，那么向西走应记做
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022•济宁）若盈余2万元记作万元，则万元表示
A．盈余2万元B．亏损2万元
C．亏损万元D．不盈余也不亏损
【变式1-2】（2022•大连）某水井水位最低时低于水平面5米，记为﹣5米，最高时低于水平面1米，则水井水位h米中h的取值范围是 ．
【变式1-3】（2022•南京）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间
A．B．C．D．
【要点1 实数的分类及有关概念】
一．实数的分类：
注意：在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：
(1)开方开不尽的数，如，等；
(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等；
(4)某些三角函数，如sin60°等
二．数轴：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
三．绝对值：
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
四．相反数：
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零).从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
五．倒数：
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
【考点2 无理数的识别与估算】
【例2】（2022·重庆·中考真题）估计3×(23+5)的值应在（ ）
A．10和11之间B．9和10之间C．8和9之间D．7和8之间
【变式2-1】（2022·江苏泰州·中考真题）下列 4 个数： 9，227，π，(3)0其中无理数是（ ）
A．9B．227C．πD．(3)0
【变式2-2】（2022·四川绵阳·中考真题）已知x是整数，当x−30取最小值时，x的值是( )
A．5B．6C．7D．8
【变式2-3】（2022·广东·中考真题）设6−10的整数部分为a，小数部分为b，则2a+10b的值是（ ）
A．6B．210C．12D．910
【考点3 实数的分类】
【例3】（2022·浙江温州·中考真题）给出四个实数5，2，0，-1，其中负数是（ ）
A．5B．2C．0D．-1
【变式3-1】（2022·山东·中考真题）在实数38，π3，12，43中有理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-2】（2022·山东日照·中考真题）在实数2，x0（x≠0），cs30°，38中，有理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-3】（2022·浙江金华·中考真题）实数−12，−5，2，−3中，为负整数的是（ ）
A．−12B．−5C．2D．−3
【考点4 实数的相关概念】
【例4】（2022·河北·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．1的相反数是﹣1B．1的倒数是﹣1
C．1的立方根是±1D．﹣1是无理数
【变式4-1】（2022·湖南衡阳·中考真题）下列各式中正确的是( )
A．9=±3B．−32=−3
C．39=3D．12−3=3
【变式4-2】（2022·江苏南京·中考真题）设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 3
【变式4-3】（2022·江苏南京·中考真题）如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（ ）
A．4的算术平方根B．4的立方根C．8的算术平方根D．8的立方根
【要点2 实数的大小比较】
有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
，
，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
【考点5 实数的大小比较】
【例5】（2022·湖南株洲·中考真题）下列不等式错误的是（ ）
A．−2<−1B．π<17C．52>10D．13>0.3
【变式5-1】（2022·山东菏泽·中考真题）下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
A．−5B．12C．−1D．2
【变式5-2】（2022·甘肃张掖·中考真题）估计5−12与0.5的大小关系是：5−12______0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）
【变式5-3】（2022·贵州铜仁·中考真题）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞bB．﹣a＜bC．a＞﹣bD．﹣a＞b
【要点3 开方及实数的运算】
一．平方根：
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
二．立方根：
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
三．实数的运算：
在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立
1、加法交换律
2、加法结合律
3、乘法交换律
4、乘法结合律
5、乘法对加法的分配律
6、实数的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
【考点6 实数的运算】
【例6】（2022·四川内江·中考真题）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为2，则最后输出的结果是（ ）
A．14B．16C．8+52D．14+2
【变式6-1】（2022·四川达州·中考真题）计算：−12+(π−2021)0+2sin60°−|1−3|．
【变式6-2】（2022·四川内江·中考真题）计算：6sin45°−|1−2|−8×(π−2021)0−(12)−2．
【变式6-3】（2022·四川·中考真题）计算：（﹣2）-2﹣|3﹣2|+（﹣32）0﹣38﹣2cs30°．
【考点7 非负数的运用】
【例7】（2022·广东韶关·中考真题）已知a−b+|b−1|=0，则a+1=__．
【变式7-1】（2022·甘肃武威·中考真题）已知α、β均为锐角，且满足sinα−12+(tanβ−1)2=0，则α+β= ___________．
【变式7-2】（2022·四川内江·中考真题）若|1001−a|+a−1002=a，则a−10012=_____．
【变式7-3】（2022·四川巴中·中考真题）已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式c2−a2−b2+a−b=0，则△ABC的形状为_______ ．
【考点8 新定义运算】
【例8】（2022·湖北鄂州·中考真题）已知a1为实数﹐规定运算：a2=1−1a1，a3=1−1a2，a4=1−1a3，a5=1−1a4，……，an=1−1an−1．按上述方法计算：当a1=3时，a2021的值等于（ ）
A．−23B．13C．−12D．23
【变式8-1】（2022·青海·中考真题）对于任意两个不相等的数a,b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b=a+ba−b如：3⊕2=3+23−2，那么12⊕4=________．
【变式8-2】（2022·重庆·中考真题）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“纯数”．定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
【变式8-3】（2022·重庆·中考真题）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：m=3507，因为3+7=2×(5+0)，所以3507是“共生数”：m=4135，因为4+5≠2×(1+3)，所以4135不是“共生数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F(n)=n3．求满足F(n)各数位上的数字之和是偶数的所有n．
【要点4 科学记数法】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
【考点9 科学记数法】
【例9】（2022·山东·济南市钢城区实验学校期末）中国“神威太湖之光”计算机系统首次亮相，一举夺冠，成为世界上最快的计算机，一分钟的计算能力相当于全球72亿人同时用计算器不间断计算32年．72亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.72×109B．7.2×109C．72×108D．7.2×108
【变式9-1】（2022·四川·眉山市东坡区尚义镇象耳初级中学八年级期中）已知某种植物孢子的半径为150000nm，1nm＝10-9m，用科学记数法表示该孢子的半径是（ ）
A．15×10−5mB．1.5×104mC．1.5×10−4mD．1.5×10−5m
【变式9-2】（2022·江西省上高县第五中学七年级阶段练习）13 940 万这个数字用科学记数法可表示为（ ）
A．1.394×108B．13.94×108C．1.394×109D．13.94×107
【变式9-3】（2022·甘肃天水·八年级期末）新型冠状病毒肺炎（Crna Virus Disease 2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，2020年2月11日，世界卫生组织总干事谭德塞在瑞士日内瓦宣布，将新型冠状病毒感染的肺炎命名为“COVID-19”． 某实验室测得某种冠状病毒分子直径约87纳米，已知1纳米=1109米，则该冠状病毒分子直径可用科学记数法表示为_________米．
【要点5 有效数字】
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
【考点10 近似数与有效数字】
【例10】（2022·浙江金华·中考真题）由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）．
A．精确到十分位，有2个有效数字B．精确到个位，有2个有效数字
C．精确到百位，有2个有效数字D．精确到千位，有4个有效数字
【变式10-1】（2022·山东济南·中考真题）2010年4月20日晚，“支援青海玉树抗震救灾义演晚会”在莱芜市政府广场成功举行，热心企业和现场观众踊跃捐款31083．58元．将31083．58元保留两位有效数字可记为（ ）
【变式10-2】（2022·江西·中考真题）长度单位1纳米=10−9米，目前发现一种新型病毒直径为23150纳米，用科学记数法表示该病毒直径是_____米（保留两个有效数字）
【变式10-3】（2022·贵州毕节·中考真题）某省将为义务教育阶段的贫困学生免费发放教科书，预计发放总量为1500万册，发放总量用科学记数法记为________万册（保留3个有效数字）． A．3．1×106元
B．3．11×104元
C．3．1×104元
D．3．10×105元
专题01 实数（10个高频考点）（举一反三）
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27494" 【考点1 正负数的意义】 PAGEREF _Tc27494 \h 1
\l "_Tc7300" 【考点2 无理数的识别与估算】 PAGEREF _Tc7300 \h 3
\l "_Tc17979" 【考点3 实数的分类】 PAGEREF _Tc17979 \h 5
\l "_Tc6289" 【考点4 实数的相关概念】 PAGEREF _Tc6289 \h 6
\l "_Tc24336" 【考点5 实数的大小比较】 PAGEREF _Tc24336 \h 8
\l "_Tc3902" 【考点6 实数的运算】 PAGEREF _Tc3902 \h 10
\l "_Tc32544" 【考点7 非负数的运用】 PAGEREF _Tc32544 \h 12
\l "_Tc19431" 【考点8 新定义运算】 PAGEREF _Tc19431 \h 13
\l "_Tc30522" 【考点9 科学记数法】 PAGEREF _Tc30522 \h 17
\l "_Tc19318" 【考点10 近似数与有效数字】 PAGEREF _Tc19318 \h 18
【考点1 正负数的意义】
【例1】（2022•桂林）在东西向的马路上，把出发点记为0，向东与向西意义相反．若把向东走记做“”，那么向西走应记做
A．B．C．D．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：若把向东走记做“”，那么向西走应记做．
故选：．
【变式1-1】（2022•济宁）若盈余2万元记作万元，则万元表示
A．盈余2万元B．亏损2万元
C．亏损万元D．不盈余也不亏损
【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量解答．
【详解】解：万元表示亏损2万元，
故选：．
【变式1-2】（2022•大连）某水井水位最低时低于水平面5米，记为﹣5米，最高时低于水平面1米，则水井水位h米中h的取值范围是 ﹣5≤h≤﹣1 ．
【分析】理解“正”和“负”的相对性，根据题意，水平面高度为0米，低于水平面的高度均为负数，可得h的取值范围．
【详解】解：某水井水位最低时低于水平面5米，记为﹣5米；
最高时低于水平面1米，记作﹣1米；
应最低时应低于水平面5米，最高时低于等于水平面1米，
则水井水位h米中h的取值范围是﹣5≤h≤﹣1．
【变式1-3】（2022•南京）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间
A．B．C．D．
【分析】根据北京时间比莫斯科时间早5小时解答即可．
【详解】解：由题意得，北京时间应该比莫斯科时间早5小时，
当莫斯科时间为，则北京时间为；当北京时间为，则莫斯科时间为；
所以这个时刻可以是到之间，
所以这个时刻可以是北京时间．
故选：．
【要点1 实数的分类及有关概念】
一．实数的分类：
注意：在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：
(1)开方开不尽的数，如，等；
(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等；
(4)某些三角函数，如sin60°等
二．数轴：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
三．绝对值：
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
四．相反数：
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零).从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
五．倒数：
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
【考点2 无理数的识别与估算】
【例2】（2022·重庆·中考真题）估计3×(23+5)的值应在（ ）
A．10和11之间B．9和10之间C．8和9之间D．7和8之间
【答案】B
【分析】先化简3×(23+5)=6+15，利用9＜15＜16，从而判定即可．
【详解】 3×(23+5)=6+15，
∵9＜15＜16，
∴3＜15＜4，
∴9＜6+15＜10，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键．
【变式2-1】（2022·江苏泰州·中考真题）下列 4 个数： 9，227，π，(3)0其中无理数是（ ）
A．9B．227C．πD．(3)0
【答案】C
【详解】试题分析：根据无理数的概念即可判断出结果.
试题解析：A、9=3，是有理数；
B、227是循环小数，是有理数；
C、π是无限不循环小数，是无理数；
D、(3)0=1，是有理数.
故选C.
考点：无理数.
【变式2-2】（2022·四川绵阳·中考真题）已知x是整数，当x−30取最小值时，x的值是( )
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义，找到与30最接近的整数，可得结论．
【详解】解：∵25<30<36，∴5<30<6，
且与30最接近的整数是5，∴当x−30取最小值时，x的值是5，
故选A．
【点睛】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．
【变式2-3】（2022·广东·中考真题）设6−10的整数部分为a，小数部分为b，则2a+10b的值是（ ）
A．6B．210C．12D．910
【答案】A
【分析】首先根据10的整数部分可确定a的值，进而确定b的值，然后将a与b的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】∵3<10<4，
∴2<6−10<3，
∴6−10的整数部分a=2，
∴小数部分b=6−10−2=4−10，
∴2a+10b=2×2+104−10=4+104−10=16−10=6．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6−10的整数部分a与小数部分b的值是解题关键.
【考点3 实数的分类】
【例3】（2022·浙江温州·中考真题）给出四个实数5，2，0，-1，其中负数是（ ）
A．5B．2C．0D．-1
【答案】D
【分析】根据负数的定义，负数小于0 即可得出答案.
【详解】根据题意 ：负数是-1，
故答案为：D.
【点睛】此题主要考查了实数，正确把握负数的定义是解题关键.
【变式3-1】（2022·山东·中考真题）在实数38，π3，12，43中有理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】整数和分数统称为有理数，依此定义求解即可．
【详解】解：在实数38，π3，12，43中38＝2，有理数有38，43共2个．
故选B．
【点睛】此题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知无理数与有理数的区别.
【变式3-2】（2022·山东日照·中考真题）在实数2，x0（x≠0），cs30°，38中，有理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．
【详解】解：在实数2，x0（x≠0）=1，cs30°=32，38=2中，有理数是38=2，x0=1，
所以，有理数的个数是2，
故选：B．
【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键.
【变式3-3】（2022·浙江金华·中考真题）实数−12，−5，2，−3中，为负整数的是（ ）
A．−12B．−5C．2D．−3
【答案】D
【分析】按照负整数的概念即可选取答案．
【详解】解：−12是负数不是整数；−5是负数不是整数；2是正数；−3是负数且是整数
故选D．
【点睛】本题考查了实数的分类，比较简单．
【考点4 实数的相关概念】
【例4】（2022·河北·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．1的相反数是﹣1B．1的倒数是﹣1
C．1的立方根是±1D．﹣1是无理数
【答案】A
【详解】解：A、1的相反数为-1，故A正确；
B、1的倒数是1，故B错误；
C、1的立方根是1，故C错误；
D、-1是有理数，是整数，故D错误．
故选A
考点：相反数的定义
【变式4-1】（2022·湖南衡阳·中考真题）下列各式中正确的是( )
A．9=±3B．−32=−3
C．39=3D．12−3=3
【答案】D
【分析】原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值．
【详解】解：A.原式=3，不符合题意；
B.原式=|-3|=3，不符合题意；
C.原式不能化简，不符合题意；
D.原式=23-3=3，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解题的关键．
【变式4-2】（2022·江苏南京·中考真题）设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 3
【答案】C
【详解】解：根据勾股定理，边长为3的正方形的对角线长为a=32，是无理数，故说法①正确．
根据实数与数轴上的一点一一对应的关系，a可以用数轴上的一个点来表示，故说法②正确．
∵16
∴根据算术平方根的定义，a是18的算术平方根，故说法④正确．
综上所述，正确说法的序号是①②④．
故选C．
【变式4-3】（2022·江苏南京·中考真题）如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（ ）
A．4的算术平方根B．4的立方根C．8的算术平方根D．8的立方根
【答案】C
【详解】解：由题意可知4的算术平方根是2，4的立方根是34 34<2, 8的算术平方根是22， 2<22<3，8的立方根是2，
故根据数轴可知,
故选C
【要点2 实数的大小比较】
有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
，
，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
【考点5 实数的大小比较】
【例5】（2022·湖南株洲·中考真题）下列不等式错误的是（ ）
A．−2<−1B．π<17C．52>10D．13>0.3
【答案】C
【分析】选项A，根据两个负数绝对值大的反而小即可得−2<−1；选项B，由3<π<4，4<17<5即可得π<17；选项C，由522=6.25，6.25<10，可得52<10；选项D，由13=0.3·可得13>0.3．由此可得只有选项C错误．
【详解】选项A，根据两个负数绝对值大的反而小可得−2<−1，选项A正确；
选项B，由3<π<4，4<17<5可得π<17，选项B正确；
选项C，由522=6.25，6.25<10，可得52<10，选项C错误；
选项D，由13=0.3·可得13>0.3，选项D正确．
故选C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较及无理数的估算，熟练运用实数大小的比较方法及无理数的估算方法是解决问题的关键．
【变式5-1】（2022·山东菏泽·中考真题）下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
A．−5B．12C．−1D．2
【答案】B
【分析】根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
【详解】解：−5=5，12=12，−1=1，2=2，
∵5>2>1>12，
∴绝对值最小的数是12；
故选：B．
【点睛】本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．
【变式5-2】（2022·甘肃张掖·中考真题）估计5−12与0.5的大小关系是：5−12______0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）
【答案】＞
【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．
【详解】解：∵ 5−12−0.5=5−12−12=5−22，
∵ 5−2>0，
∴ 5−22>0，
∴ 5−12>0.5．
故答案为：>．
【点睛】此题主要考查了两个实数的大小，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
【变式5-3】（2022·贵州铜仁·中考真题）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞bB．﹣a＜bC．a＞﹣bD．﹣a＞b
【答案】D
【分析】根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．
【详解】根据数轴可得：a<0，b>0，且|a|>|b|，
则a
a<﹣b，选项C错误；
﹣a>b，选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．
【要点3 开方及实数的运算】
一．平方根：
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
二．立方根：
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
三．实数的运算：
在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立
1、加法交换律
2、加法结合律
3、乘法交换律
4、乘法结合律
5、乘法对加法的分配律
6、实数的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
【考点6 实数的运算】
【例6】（2022·四川内江·中考真题）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为2，则最后输出的结果是（ ）
A．14B．16C．8+52D．14+2
【答案】C
【详解】试题分析：当n=2时，n（n+1）=2（2+1）=2+2＜15；
当n=2+2时，n（n+1）=（2+2）（3+2）=6+52+2=8+52＞15，
则输出结果为8+52．
故选C．
考点：实数的运算．
【变式6-1】（2022·四川达州·中考真题）计算：−12+(π−2021)0+2sin60°−|1−3|．
【答案】1
【分析】直接通过整数的平方、零次幂的运算、去绝对值符号、特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：原式=−1+1+2×32−(3−1)
=1
故答案是：1．
【点睛】本题考查了整数的平方、零次幂的运算、去绝对值符号、特殊角的三角函数值，解题的关键是：掌握相关的运算法则，直接进行求解．
【变式6-2】（2022·四川内江·中考真题）计算：6sin45°−|1−2|−8×(π−2021)0−(12)−2．
【答案】-3
【分析】根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．
【详解】解：原式=6×22−(2−1)−22×1−4
=32−2+1−22−4
=−3．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等知识点，熟知相关运算法则是解题的关键．
【变式6-3】（2022·四川·中考真题）计算：（﹣2）-2﹣|3﹣2|+（﹣32）0﹣38﹣2cs30°．
【答案】−234
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：（﹣2）﹣2﹣|3﹣2|+（﹣32）0﹣38﹣2cs30°
＝14﹣2+3+1﹣2﹣2×32
＝﹣234．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算及特殊三角函数值，熟练掌握运算法则及三角函数值是解题的关键．
【考点7 非负数的运用】
【例7】（2022·广东韶关·中考真题）已知a−b+|b−1|=0，则a+1=__．
【答案】2．
【分析】利用非负数的性质结合绝对值与二次根式的性质即可求出a，b的值，进而即可得出答案．
【详解】∵a−b+|b﹣1|=0，
又∵a−b≥0，|b−1|≥0，
∴a﹣b=0且b﹣1=0，
解得：a=b=1，
∴a+1=2.
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质以及绝对值与二次根式的性质，根据几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0得到关于a、b的方程是解题的关键．
【变式7-1】（2022·甘肃武威·中考真题）已知α、β均为锐角，且满足sinα−12+(tanβ−1)2=0，则α+β= ___________．
【答案】75°##75度
【分析】根据非负数的性质得到sinα=12，tanβ=1，利用特殊角的三角函数值分别求出α、β，计算即可．
【详解】由已知得sinα－12=0，tanβ－1=0，
∴α=30°，β=45°，
∴α+β=75°．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键．
【变式7-2】（2022·四川内江·中考真题）若|1001−a|+a−1002=a，则a−10012=_____．
【答案】1002．
【分析】根据绝对值的性质和二次根式的性质，即可解答
【详解】∵a−1002≥0，
∴a≥1002．
由|1001−a|+a−1002=a，得−1001+a+a−1002=a，
∴a−1002=1001，
∴a−1002=10012．
∴a−10012=1002．
故答案是：1002．
【点睛】此题考查绝对值的非负性，二次根式的性质，解题关键在于掌握运算法则
【变式7-3】（2022·四川巴中·中考真题）已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式c2−a2−b2+a−b=0，则△ABC的形状为_______ ．
【答案】等腰直角三角形
【详解】∵c2−a2−b2+|a−b|=0，
∴c2－a2－b2=0，且a－b=0．
由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2，
∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形．
又由a－b=0得a=b，
∴△ABC为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
【考点8 新定义运算】
【例8】（2022·湖北鄂州·中考真题）已知a1为实数﹐规定运算：a2=1−1a1，a3=1−1a2，a4=1−1a3，a5=1−1a4，……，an=1−1an−1．按上述方法计算：当a1=3时，a2021的值等于（ ）
A．−23B．13C．−12D．23
【答案】D
【分析】当a1=3时，计算出a2=23,a3=−12,a4=3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到a2021的值．
【详解】解：当a1=3时，计算出a2=23,a3=−12,a4=3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
会发现是以：3,23,−12，循环出现的规律，
∵2021=3×673+2，
∴a2021=a2=23，
故选：D．
【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．
【变式8-1】（2022·青海·中考真题）对于任意两个不相等的数a,b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b=a+ba−b如：3⊕2=3+23−2，那么12⊕4=________．
【答案】2
【分析】根据定义的新运算的方式，把相应的数字代入运算即可．
【详解】解：由题意得：
12⊕4
=12+412−4
=168
=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查实数的运算，二次根式的化简，解答的关键是理解清楚题意，对实数的运算的相应的法则的掌握．
【变式8-2】（2022·重庆·中考真题）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“纯数”．定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
【答案】（1）2019不是“纯数”，2020时“纯数”，见解析；（2）13个.
【分析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”；（2）根据题意可以推出不大于100的“纯数”的个数，本题得以解决.
【详解】解：（1）当n=2019时，n+1=2020，n+2=2022
∵计算时，个位为9+0+1=10，需要进位，
∴2019不是“纯数”；
当n=2020时，n+1=2021，n+2=2022
∴个位为0+1+2=3，不需要进位：十位为2+2+6，不需要进位：百位为0+0+0=0，不需要进位：千位为2+2+2=6，不需要进位：
∴2020是“纯数”；
综上所述，2019不是“纯数”，2020时“纯数”.
（2）由题意，连续的三个自然数个位不同，其他位都相同；
并且，连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位；
①当这个数为一位的自然数的时候，只能是0、1、2，共3个；
②当这个数为二位的自然数的时候，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，共9个；
③当这个数为100时，100是“纯数”；
∴不大于100的“纯数”有3+9+1=13个.
【点睛】本题考查整式的加减、有理数的加法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答.
【变式8-3】（2022·重庆·中考真题）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：m=3507，因为3+7=2×(5+0)，所以3507是“共生数”：m=4135，因为4+5≠2×(1+3)，所以4135不是“共生数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F(n)=n3．求满足F(n)各数位上的数字之和是偶数的所有n．
【答案】（1）5313是“共生数”， 6437不是“共生数”． （2）n=2148或n=3069.
【分析】（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案；
（2）设“共生数”n的千位上的数字为a, 则十位上的数字为2a, 设百位上的数字为b, 个位上的数字为c, 可得：1≤a＜5, 0≤b≤9,0≤c≤9, 且a,b,c为整数，再由“共生数”的定义可得：c=3a+2b,而由题意可得：b+c=9或b+c=18, 再结合方程的正整数解分类讨论可得答案．
【详解】解：（1）∵5+3=2×(1+3)=8,
∴5313是“共生数”，
∵6+7=13≠2×(4+3)=14,
∴6437不是“共生数”．
（2）设“共生数”n的千位上的数字为a, 则十位上的数字为2a, 设百位上的数字为b, 个位上的数字为c,
∴1≤a＜5, 0≤b≤9,0≤c≤9, 且a,b,c为整数，
所以：n=1000a+100b+20a+c=1020a+100b+c,
由“共生数”的定义可得：a+c=2(2a+b),
∴c=3a+2b,
∴n=1023a+102b,
∴F(n)=n3=341a+34b,
∵ 百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，
∴b+c=0或b+c=9或b+c=18,
当b+c=0, 则b=c=0, 则a=0, 不合题意，舍去，
当b+c=9时，则3a+3b=9,
∴a+b=3,
当a=1时，b=2,c=7,
此时：n=1227, F(n)=12273=409，而4+0+9=13不为偶数，舍去，
当a=2时，b=1,c=8,
此时：n=2148, F(n)=21483=716,，而7+1+6=14为偶数，
当a=3时，b=0,c=9,
此时：n=3069, F(n)=30693=1023,，而1+0+2+3=6为偶数，
当b+c=18时，则b=c=9,
而3a+3b=18,则a=−3不合题意，舍去，
综上：满足F(n)各数位上的数字之和是偶数的n=2148或n=3069,
【点睛】本题考查的是新定义情境下的实数的运算，二元一次方程的正整数解，分类讨论的数学思想的运用，准确理解题意列出准确的代数式与方程是解题的关键．
【要点4 科学记数法】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
【考点9 科学记数法】
【例9】（2022·山东·济南市钢城区实验学校期末）中国“神威太湖之光”计算机系统首次亮相，一举夺冠，成为世界上最快的计算机，一分钟的计算能力相当于全球72亿人同时用计算器不间断计算32年．72亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.72×109B．7.2×109C．72×108D．7.2×108
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：72亿＝7200000000，
用科学记数法可表示为7.2×109 ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式9-1】（2022·四川·眉山市东坡区尚义镇象耳初级中学八年级期中）已知某种植物孢子的半径为150000nm，1nm＝10-9m，用科学记数法表示该孢子的半径是（ ）
A．15×10−5mB．1.5×104mC．1.5×10−4mD．1.5×10−5m
【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：150000nm＝150000×10−9m＝1.5×10−4m；
故选：C．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【变式9-2】（2022·江西省上高县第五中学七年级阶段练习）13 940 万这个数字用科学记数法可表示为（ ）
A．1.394×108B．13.94×108C．1.394×109D．13.94×107
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×108的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：13940万=139400000=1.394×108，
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×108的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式9-3】（2022·甘肃天水·八年级期末）新型冠状病毒肺炎（Crna Virus Disease 2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，2020年2月11日，世界卫生组织总干事谭德塞在瑞士日内瓦宣布，将新型冠状病毒感染的肺炎命名为“COVID-19”． 某实验室测得某种冠状病毒分子直径约87纳米，已知1纳米=1109米，则该冠状病毒分子直径可用科学记数法表示为_________米．
【答案】8.7×10−8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10−n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：87纳米=89×1109= 87×10−9 米= 8.7×10−8米．
故答案为： 8.7×10−8．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10−n ，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【要点5 有效数字】
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
【考点10 近似数与有效数字】
【例10】（2022·浙江金华·中考真题）由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）．
A．精确到十分位，有2个有效数字B．精确到个位，有2个有效数字
C．精确到百位，有2个有效数字D．精确到千位，有4个有效数字
【答案】C
【分析】103代表1千，那是乘号前面个位的单位，那么小数点后一位是百．有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字，用科学记数法表示的数a×10n的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【详解】解：8.8×103精确到百位，
乘号前面的数从左面第一个不是0的数字有2个数字，那么有效数字就是2个．故选C．
【变式10-1】（2022·山东济南·中考真题）2010年4月20日晚，“支援青海玉树抗震救灾义演晚会”在莱芜市政府广场成功举行，热心企业和现场观众踊跃捐款31083．58元．将31083．58元保留两位有效数字可记为（ ）
【答案】C
【分析】由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】31083．58=3.108358×104≈3．1×104．
故选C
【变式10-2】（2022·江西·中考真题）长度单位1纳米=10−9米，目前发现一种新型病毒直径为23150纳米，用科学记数法表示该病毒直径是_____米（保留两个有效数字）
【答案】2.3×10−5
【详解】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，23150科学记数法可表示为2.3×104，然后把纳米转化成米2.3×104×10-9化简得结果．
解答：解：23150科学记数法可表示为2.315×104，
然后把纳米转化成米，即2.315×104×10-9=2.3×10-5．
故答案为2.3×10-5．
【变式10-3】（2022·贵州毕节·中考真题）某省将为义务教育阶段的贫困学生免费发放教科书，预计发放总量为1500万册，发放总量用科学记数法记为________万册（保留3个有效数字）．
【答案】1.50×103
【详解】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1500有4位，所以可以确定n=4-1=3．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．解：1500=1.50×103．
故答案为1.50×103．
此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法，题目比较典型，是中考中重点题型． A．3．1×106元
B．3．11×104元
C．3．1×104元
D．3．10×105元
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