（全国通用）中考数学总复习 专题04 二次根式（12个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析）

这是一份（全国通用）中考数学总复习 专题04 二次根式（12个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析），共34页。

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc24228" 【考点1 二次根式的定义】 PAGEREF _Tc24228 \h 1
\l "_Tc1281" 【考点2 二次根式有意义的条件】 PAGEREF _Tc1281 \h 2
\l "_Tc21803" 【考点3 二次根式的性质与化简】 PAGEREF _Tc21803 \h 2
\l "_Tc9566" 【考点4 最简二次根式】 PAGEREF _Tc9566 \h 2
\l "_Tc4963" 【考点5 二次根式的乘除】 PAGEREF _Tc4963 \h 3
\l "_Tc2920" 【考点6 分母有理化】 PAGEREF _Tc2920 \h 3
\l "_Tc846" 【考点7 同类二次根式】 PAGEREF _Tc846 \h 4
\l "_Tc18734" 【考点8 二次根式的加减法】 PAGEREF _Tc18734 \h 5
\l "_Tc18055" 【考点9 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc18055 \h 5
\l "_Tc6783" 【考点10 二次根式的化简求值】 PAGEREF _Tc6783 \h 6
\l "_Tc20413" 【考点11 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc20413 \h 6
\l "_Tc7428" 【考点12 二次根式的应用】 PAGEREF _Tc7428 \h 6
【要点1 二次根式的定义】
一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式。
【考点1 二次根式的定义】
【例1】（2022·河南·灵宝市实验中学三模）下列式子：①13；②1−2；③x2+1；④327；⑤−42，是二次根式的有（ ）
A．①③⑤B．①③C．①②③D．①②③⑤
【变式1-1】（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1B．1和2C．2和2D．1和1
【变式1-2】（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）下列各式中是二次根式的为（ ）
A．a+bB．stC．−x3D．aa≥0
【变式1-3】（2022·河南省淮滨县第一中学三模）已知x=6−25为一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，且a，b为有理数，则a=______，b=______．
【考点2 二次根式有意义的条件】
【例2】（2022·四川·绵阳市桑枣中学一模）若等式(x−1)(x+2)=x−1⋅x+2成立，则字母x应满足条件（ ）
A．x≥0B．x≥−2C．−2≤x≤1D．x≥1
【变式2-1】（2022·四川师范大学附属中学模拟预测）已知x，y均为实数，y=x−2+4−2x+3，则xy的值为________．
【变式2-2】（2022·辽宁丹东·中考真题）在函数y＝x+3x中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥3B．x≥﹣3C．x≥3且x≠0D．x≥﹣3且x≠0
【变式2-3】（2022·湖北黄石·中考真题）函数y=xx+3+1x−1的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠−3且x≠1B．x>−3且x≠1C．x>−3D．x≥−3且x≠1
【要点2 二次根式的基本性质】
① (a)2=a (a≥0)； ② a2=a (a≥0)； ③ a2=−a(a＜0)
【考点3 二次根式的性质与化简】
【例3】（2022·四川宜宾·二模）下列计算正确的是（ ）
A．721=3B．3−8=−2C．a2=aD．25=±5
【变式3-1】（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a−1|的化简结果是（ ）
A．1B．2C．2aD．1﹣2a
【变式3-2】（2022·福建·莆田第十五中学八年级阶段练习）若12a是整数，则正整数a的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式3-3】（2022·四川南充·中考真题）若8−x为整数，x为正整数，则x的值是_______________．
【要点3 最简二次根式】
最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
【考点4 最简二次根式】
【例4】（2022·江苏·射阳县第四中学一模）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．30B．12C．8D．12
【变式4-1】（2022·湖北襄阳·二模）若最简二次根式a+1与8是可以合并的二次根式，则a＝______．
【变式4-2】（2022·重庆文德中学校二模）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．8B．13C．ab2D．3
【变式4-3】（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1B．1和2C．2和2D．1和1
【要点4 二次根式的乘除】
二次根式的乘法：
； (a≥0， b≥0)
二次根式的除法：
； (a≥0， b＞0)
【考点5 二次根式的乘除】
【例5】（2022·湖北恩施·中考真题）从2，−3，−2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【变式5-1】（2022·广东番禺中学三模）计算：ab÷ab⋅1ab等于（ ）
A．1|a|b2abB．1ababC．1babD．bab
【变式5-2】（2022·广东佛山·一模）下列整数中，与(424-30)÷6的值最接近的是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式5-3】（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）能与3÷6相乘得1的是（ ）
A．1÷2B．2÷6C．6÷3D．3÷6
【考点6 分母有理化】
【例6】（2022·福建·漳州三中八年级阶段练习）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
12+1=2−1 13+2=3−2 14+3=4−3 15+4=5−4
(1)求110+9=__________；
(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：______________；
(3)利用这一规律计算：12+1+13+2+14+3+⋯+12020+2019⋅2020+1
【变式6-1】（2022·安徽·二模）-23的倒数是 （ ）
A．-232B．-23C．−32D．−322
【变式6-2】（2022·河北保定·一模）已知x=12+3，y=2+3．则
（1）x2+y2=________；
（2）(x−y)2−xy=________．
【变式6-3】（2022·重庆·西南大学附中三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，(5−2)(5+2)=1，a⋅a=a，(23−2)(23+2)=10．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：13−5=3+54；
乙：设有理数a，b满足：a2+1+b2−1=−62+4，则a+b=6；
丙：12022−2021>12020−2019；
丁：已知43−x−11−x=4，则43−x+11−x=6；
戊：13+3+153+35+175+57+⋯+19997+9799=33−1166.
以上结论正确的有（ ）
A．甲丙丁B．甲丙戊C．甲乙戊D．乙丙丁
【考点7 同类二次根式】
【例7】（2022·上海普陀·二模）下列二次根式中，与3x是同类二次根式的是（ ）
A．x3B．3xC．3xD．3x2
【变式7-1】（2022·上海崇明·二模）如果最简二次根式3x−5与x+3是同类二次根式，那么x的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式7-2】（2022·上海·模拟预测）二次根式5x+8与7是同类二次根式，则x的最小正整数为（ ）
A．4B．5C．6D．−15
【变式7-3】（2022·湖北·孝感市孝南区教学研究室模拟预测）如果二次根式x+5与2可以合并，那么x的值可以是_________（只需写出一个）
【考点8 二次根式的加减法】
【例8】（2022·河北·模拟预测）如果a+1与12的和等于33，那么a的值是___________．
【变式8-1】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算3+313的结果是___________．
【变式8-2】（2022·河北省保定市第二中学分校一模）18−3+12−8＝__________________．
【变式8-3】（2022·河北唐山·二模）已知：−50+12=a2+b2=c2，则ab＋c＝________．
【考点9 二次根式的混合运算】
【例9】（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）计算23÷3+13的结果是____．
【变式9-1】（2022·山东泰安·中考真题）计算：8⋅6−343=__________．
【变式9-2】（2022·江苏泰州·中考真题）计算:
(1)计算：18−3×23；
(2)按要求填空：
小王计算2xx2−4−1x+2的过程如下：
解：2xx2−4−1x+2
=2xx+2x−2−1x+2−−−−−−−第一步=2xx+2x−2−x−2x+2x−2−−第二步
=2x−x−2x+2x−2−−−−−−−−−−−第三步=x−2x+2x−2−−−−−−−−−−−第四步=x−2x+2−−−−−−−−−−−−−−−−第五步
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
【变式9-3】（2022·江苏·九年级二模）如图，一次函数y=x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（ ）
A．6+2B．32C．2+3D．3+2
【考点10 二次根式的化简求值】
【例10】（2022·广东番禺中学三模）已知x2＝2x+15，则代数式(x+2)2−(x−2)2=__________．
【变式10-1】（2022·四川·隆昌市蓝天育才学校一模）已知a+b=3，ab=2，则ab+ba的值为_________．
【变式10-2】（2022·浙江·舟山市定海区第七中学一模）已知x−1x=2，那么x2+1x2−2−xx2+2x+1的值等于________．
【变式10-3】（2022·湖北·荆门市海慧中学八年级阶段练习）已知xy=3，则yxy+xyx=________．
【考点11 比较二次根式的大小】
【例11】（2022·四川泸州·中考真题）与2+15最接近的整数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式11-1】（2022·陕西延安·二模）比较大小：23_____32（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【变式11-2】（2022·湖南怀化·中考真题）比较大小：22 __________12（填写“＞”或“＜”或“＝”）．
【变式11-3】（2022·贵州安顺·中考真题）估计(25+52)×15的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【考点12 二次根式的应用】
【例12】（2022·四川眉山·中考真题）将一组数2，2，6，22，…，42，按下列方式进行排列：
2，2，6，22；
10，23，14，4；
…
若2的位置记为(1,2)，14的位置记为(2,3)，则27的位置记为________．
【变式12-1】（2022·江苏无锡·一模）按一定规律排列的一列数：3，82，153，244，……其中第5个数为______，第n个数为_______（n为正整数）．
【变式12-2】（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室三模）阅读与应用：同学们，你们已经知道(a−b)2≥0，即a2−2ab+b2≥0．所以a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号)．
阅读1：若a、b为实数，且a>0，b>0，∵(a−b)2≥0，∴a−2ab+b≥0，∴a+b≥2ab(当且仅当a=b时取等号)．
阅读2：若函数y=x+mx(m>0，x>0，m为常数)．由阅读1结论可知：x+mx≥2x⋅mx，即x+mx≥2m∴当x=mx即x2=m，∴x=m(m>0)时，函数y=x+mx的最小值为2m．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为4x，周长为2x+4x，当x=______时，矩形周长的最小值为______．
问题2：若函数y=a+9a−1(a>1)，则a=______时，函数y=a+9a−1(a>1)的最小值为______．
问题3：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，设池长为x米，水池总造价为y元，求当x为多少时，水池总造价y最低？最低是多少？
【变式12-3】（2022·贵州铜仁·三模）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S=pp−ap−bp−c（其中a，b，c是三角形的三边长，p=a+b+c2，S为三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5
∴p=a+b+c2=6
∴S=pp−ap−bp−c=6×3×2×1=6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．

专题04 二次根式（12个高频考点）（举一反三）

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc24228" 【考点1 二次根式的定义】 PAGEREF _Tc24228 \h 1
\l "_Tc1281" 【考点2 二次根式有意义的条件】 PAGEREF _Tc1281 \h 3
\l "_Tc21803" 【考点3 二次根式的性质与化简】 PAGEREF _Tc21803 \h 5
\l "_Tc9566" 【考点4 最简二次根式】 PAGEREF _Tc9566 \h 6
\l "_Tc4963" 【考点5 二次根式的乘除】 PAGEREF _Tc4963 \h 8
\l "_Tc2920" 【考点6 分母有理化】 PAGEREF _Tc2920 \h 10
\l "_Tc846" 【考点7 同类二次根式】 PAGEREF _Tc846 \h 13
\l "_Tc18734" 【考点8 二次根式的加减法】 PAGEREF _Tc18734 \h 15
\l "_Tc18055" 【考点9 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc18055 \h 16
\l "_Tc6783" 【考点10 二次根式的化简求值】 PAGEREF _Tc6783 \h 19
\l "_Tc20413" 【考点11 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc20413 \h 21
\l "_Tc7428" 【考点12 二次根式的应用】 PAGEREF _Tc7428 \h 23
【要点1 二次根式的定义】
一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式。
【考点1 二次根式的定义】
【例1】（2022·河南·灵宝市实验中学三模）下列式子：①13；②1−2；③x2+1；④327；⑤−42，是二次根式的有（ ）
A．①③⑤B．①③C．①②③D．①②③⑤
【答案】A
【分析】由二次根式的性质和定义进行判断，即可得到答案
【详解】解：13、x2+1、−42是二次根式；故①③⑤符合题意；
1−2=−1无意义，327是三次方根式；故②④不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，解题的关键是掌握二次根式的定义进行判断
【变式1-1】（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1B．1和2C．2和2D．1和1
【答案】D
【分析】由二次根式的定义可知3a−b=2，由最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，可得4a+3b=2a−b+6，由此即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，
∴3a−b=24a+3b=2a−b+6，
∴3a−b=2a+2b=3，
解得a=1b=1，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
【变式1-2】（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）下列各式中是二次根式的为（ ）
A．a+bB．stC．−x3D．aa≥0
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义判定即可．
【详解】解：A、a+b是整式不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、st是分式不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、−x3是单项式不是二次根式，故此选项不符合题意；
D、aa≥0是二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式，熟练掌握二次根式的定义“形如aa≥0的式了叫二次根式”是解题的关键．
【变式1-3】（2022·河南省淮滨县第一中学三模）已知x=6−25为一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，且a，b为有理数，则a=______，b=______．
【答案】 2； −4；
【分析】将x=6−25因式分解求得x=5−1，则x2+ax+b=0可化简得5a−2+b−a+6=0，根据a，b为有理数，可得a−2，b−a+6也为有理数，故当5a−2+b−a+6=0时候，只有a−2=0，b−a+6=0，据此求解即可．
【详解】解：∵x=6−25
=5−25+1
=52−25+12
=5−12
=5−1
∴x2+ax+b=0
∴5−12+a5−1+b=0
∴6−25+5a−a+b=0
∴5a−25−a+b+6=0
∴5a−2+b−a+6=0
∵a，b为有理数，
∴a−2，b−a+6也为有理数，
故当5a−2+b−a+6=0时候，只有a−2=0，b−a+6=0，
∴a=2，b=−4，
故答案是：2，−4；
【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．
【考点2 二次根式有意义的条件】
【例2】（2022·四川·绵阳市桑枣中学一模）若等式(x−1)(x+2)=x−1⋅x+2成立，则字母x应满足条件（ ）
A．x≥0B．x≥−2C．−2≤x≤1D．x≥1
【答案】D
【分析】根据二次根式的意义可以得知x−1≥0，x+2≥0构成不等式组就可以求出其x的取值范围．
【详解】解：∵x−1+2=x−1⋅x+2，
∴x−1≥0x+2≥0，
解得x≥1．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件及不等式组的解法，根据二次根式有意义的条件列出不等式组是解答关键.
【变式2-1】（2022·四川师范大学附属中学模拟预测）已知x，y均为实数，y=x−2+4−2x+3，则xy的值为________．
【答案】8
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案．
【详解】解：∵y=x−2+4−2x+3，
∴x−2⩾04−2x⩾0，
∴x=2，
∴y=3，
∴xy=23=8，
故答案为：8
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键.
【变式2-2】（2022·辽宁丹东·中考真题）在函数y＝x+3x中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥3B．x≥﹣3C．x≥3且x≠0D．x≥﹣3且x≠0
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥﹣3且x≠0，
故选：D．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
【变式2-3】（2022·湖北黄石·中考真题）函数y=xx+3+1x−1的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠−3且x≠1B．x>−3且x≠1C．x>−3D．x≥−3且x≠1
【答案】B
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：依题意，x+3>0x−1≠0
∴x>−3且x≠1
故选B
【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．
【要点2 二次根式的基本性质】
① (a)2=a (a≥0)； ② a2=a (a≥0)； ③ a2=−a(a＜0)
【考点3 二次根式的性质与化简】
【例3】（2022·四川宜宾·二模）下列计算正确的是（ ）
A．721=3B．3−8=−2C．a2=aD．25=±5
【答案】B
【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项判定即可．
【详解】解：A、721＝33≠3，所以本选项计算错误，不符合题意；
B、3−8=﹣2，所以本选项计算正确，符合题意；
C、a2=a=±a，所以本选项计算错误，不符合题意；
D、25=5，所以本选项计算错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握三者的概念的区别与联系是解题的关键．
【变式3-1】（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a−1|的化简结果是（ ）
A．1B．2C．2aD．1﹣2a
【答案】B
【分析】根据数轴得∶ 00， a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可．
【详解】解∶∵根据数轴得∶ 0∴a>0， a-1<0，
∴原式=|a|+1+1-a
=a+1+1- a
=2．
故选∶B．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握a2=a是解题的关键．
【变式3-2】（2022·福建·莆田第十五中学八年级阶段练习）若12a是整数，则正整数a的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据12=22×3，若12a是整数，则12a一定是一个完全平方数，据此即可求得a的值．
【详解】解：∵12=22×3，12a=23a是整数，
又∵能被3整除的最小平方数是9，
∴a的最小正整数值是3，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，正确理解12a=23a是完全平方数是关键．
【变式3-3】（2022·四川南充·中考真题）若8−x为整数，x为正整数，则x的值是_______________．
【答案】4或7或8
【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据8−x为整数即可得x的值．
【详解】解：∵8−x≥0
∴x≤8
∵x为正整数
∴x可以为1、2、3、4、5、6、7、8
∵8−x为整数
∴x为4或7或8
故答案为：4或7或8．
【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
【要点3 最简二次根式】
最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
【考点4 最简二次根式】
【例4】（2022·江苏·射阳县第四中学一模）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．30B．12C．8D．12
【答案】A
【分析】被开方数含有开不尽方的因数或因式，且不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，根据此概念进行判断即可．
【详解】A、此二次根式再也不能化简了，故是最简二次根式，符合题意；
B、12=23，故不是最简二次根式，不符合题意；
C、8=22，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、12=22，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，二次根式的性质，掌握最简二次根式的概念是关键．
【变式4-1】（2022·湖北襄阳·二模）若最简二次根式a+1与8是可以合并的二次根式，则a＝______．
【答案】1
【分析】根据同类二次根式的定义计算求值即可；
【详解】解：∵8＝22，
根据题意得：a+1＝2，
解得a＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式；掌握相关定义是解题关键．
【变式4-2】（2022·重庆文德中学校二模）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．8B．13C．ab2D．3
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．8=22，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B．13=33，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C．ab2=ba，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D．3是最简二次根式，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．理解和掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
【变式4-3】（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1B．1和2C．2和2D．1和1
【答案】D
【分析】由二次根式的定义可知3a−b=2，由最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，可得4a+3b=2a−b+6，由此即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，
∴3a−b=24a+3b=2a−b+6，
∴3a−b=2a+2b=3，
解得a=1b=1，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
【要点4 二次根式的乘除】
二次根式的乘法：
； (a≥0， b≥0)
二次根式的除法：
； (a≥0， b＞0)
【考点5 二次根式的乘除】
【例5】（2022·湖北恩施·中考真题）从2，−3，−2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：
−3×2=−6,−2×2=−2,−3×−2=6，
∴所有积中小于2的有−6,−2两个；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键．
【变式5-1】（2022·广东番禺中学三模）计算：ab÷ab⋅1ab等于（ ）
A．1|a|b2abB．1ababC．1babD．bab
【答案】A
【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：ab÷ab⋅1ab=ab⋅1ab⋅1ab=1ab3=1ab2ab．
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，a⋅b=aba≥0,b≥0，a÷b=aba≥0,b>0，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【变式5-2】（2022·广东佛山·一模）下列整数中，与(424-30)÷6的值最接近的是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】根据二次根式的混合运算法则化简原式，再估算出5的值即可判断．
【详解】解：(424-30)÷6
＝4246−306
＝8﹣5，
∵2.22＜5＜2.32，
∴2.2<5<2.3，
∴5.7<8−5<5.8，
∴与(424-30)÷6的值最接近的是6．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．
【变式5-3】（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）能与3÷6相乘得1的是（ ）
A．1÷2B．2÷6C．6÷3D．3÷6
【答案】C
【分析】根据二次根式乘除混合运算逐项计算即可求解．
【详解】解：A. 1÷2×3÷6=12×36=12，不符合题意，故该选项不正确，不符合题意；
B. 2÷6×3÷6=26×36=66，故该选项不正确，不符合题意；
C. 6÷3×3÷6 =63×36=1，故该选项正确，符合题意；
D. 3÷6×3÷6=36×36=12，故该选项不正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式乘除混合运算，正确的计算是解题的关键．
【考点6 分母有理化】
【例6】（2022·福建·漳州三中八年级阶段练习）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
12+1=2−1 13+2=3−2 14+3=4−3 15+4=5−4
(1)求110+9=__________；
(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：______________；
(3)利用这一规律计算：12+1+13+2+14+3+⋯+12020+2019⋅2020+1
【答案】(1)10−9
(2)1n+1+n=n+1−n
(3)2019
【分析】（1）根据题目中的例子进行分母有理化求解即可；
（2）按照所给等式的变化规律写出第n个等式即可；
（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）由题意可得：110+9=10−9(10+9)(10−9)=10−9，
故答案为：10−9；
（2）由题意可得：1n+1+n=n+1−n(n为正整数），
故答案为：1n+1+n=n+1−n；
（3）12+1+13+2+14+3+⋯+12020+2019⋅2020+1
=(2−1+3−2+4−3+…+2020−2019)×(2020+1)
=(−1+2−2+3−3+4−…−2019+2020)×(2020+1)
=(2020−1)(2020+1)
=2020−1
=2019．
【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化及二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【变式6-1】（2022·安徽·二模）-23的倒数是 （ ）
A．-232B．-23C．−32D．−322
【答案】D
【分析】乘积是1的两数互为倒数，依此即可得出答案．
【详解】解：∵-23⋅(−32)=-23⋅(−322)=1，
∴-23的倒数是-322，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了倒数，分母有理化，正确掌握倒数的定义是解题关键．
【变式6-2】（2022·河北保定·一模）已知x=12+3，y=2+3．则
（1）x2+y2=________；
（2）(x−y)2−xy=________．
【答案】 14 11
【分析】根据分母有理化得到x=2−3，将x和y分别代入（1）（2）中根据二次根式的混合运算法则计算求解．
【详解】解：∵x=12+3，
∴x=12+3=2−32+32−3=2−3，
∴（1）x2+y2
=2−32+2+32
=4−43+3+4+43+3
=14，
故答案为：14；
（2）x−y2−xy
=2−3−2+32−2−32+3
=−232−4−3
=12−1
=11，
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算法则，理解相关知识是解答关键．
【变式6-3】（2022·重庆·西南大学附中三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，(5−2)(5+2)=1，a⋅a=a，(23−2)(23+2)=10．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：13−5=3+54；
乙：设有理数a，b满足：a2+1+b2−1=−62+4，则a+b=6；
丙：12022−2021>12020−2019；
丁：已知43−x−11−x=4，则43−x+11−x=6；
戊：13+3+153+35+175+57+⋯+19997+9799=33−1166.
以上结论正确的有（ ）
A．甲丙丁B．甲丙戊C．甲乙戊D．乙丙丁
【答案】B
【分析】根据分母有理化进行计算逐项分析判断即可求解．
【详解】解：甲：13−5=3+59−5=3+54，正确；
乙：设有理数a，b满足：a2+1+b2−1=a2−12−1+b2+12−1=a+b2+b−a=−62+4，则a+b=−6，故乙错误；
丙：∵ 12022−2021=2022+2021，12020−2019=2020+2019
∴ 12022−2021>12020−2019，故丙正确；
丁：∵43−x−11−x43−x+11−x=43−x−11+x=32，43−x−11−x=4，
则43−x+11−x=8，故丁错误；
戊：13+3+153+35+175+57+⋯+19997+9799
=3−36+53−3530+75−5770+⋅⋅⋅+9997−97992×99×97
=12−992×99
=12−112×33
=33−1166，故戊正确
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
【考点7 同类二次根式】
【例7】（2022·上海普陀·二模）下列二次根式中，与3x是同类二次根式的是（ ）
A．x3B．3xC．3xD．3x2
【答案】A
【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．求解即可．
【详解】解：A.原式=3x3，符合题意；
B.不是同类二次根式，不符合题意；
C.不是同类二次根式，不符合题意；
D.原式=x3，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的概念．
【变式7-1】（2022·上海崇明·二模）如果最简二次根式3x−5与x+3是同类二次根式，那么x的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．
【详解】∵最简二次根式3x−5与x+3是同类二次根式，
∴3x−5=x+3，
∴x=4，
故选：D．
【点睛】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
【变式7-2】（2022·上海·模拟预测）二次根式5x+8与7是同类二次根式，则x的最小正整数为（ ）
A．4B．5C．6D．−15
【答案】A
【分析】把x=4、5、6、−15 分别代入5x+8进行计算并且化简，根据同类二次根式的定义和题目要求即可得到答案．
【详解】解：A．x=4时，5x+8=28=27，与7是同类二次根式，故此项正确，符合题意；
B．x=5时，5x+8=33，与7是不同类二次根式，故此项错误，不符合题意；
C．x=6时，5x+8=38，与7是不同类二次根式，故此项错误，不符合题意；
D．x=−15时，5x+8=7，与7是不同类二次根式，但−15不是正整数，故此项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，理解同类二次根式的定义是解答关键．
【变式7-3】（2022·湖北·孝感市孝南区教学研究室模拟预测）如果二次根式x+5与2可以合并，那么x的值可以是_________（只需写出一个）
【答案】−3（答案不唯一）
【分析】当x+5和2可以合并，所以它们是同类二次根式时，那么可以令x+5=2，解得x即可．
【详解】当x+5和2可以合并，所以它们是同类二次根式，
当x+5是最简二次根式，令x+5=2，
解得，x=-3,
故答案为：-3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，此题是开放题，只要满足题意即可．
【考点8 二次根式的加减法】
【例8】（2022·河北·模拟预测）如果a+1与12的和等于33，那么a的值是___________．
【答案】2
【分析】根据题意二次根式的加减运算即可求解．
【详解】解：∵a+1与12的和等于33，
∴a+1 =33−12 =33−23=3
∴a+1=3
∴a=2
故答案为：2
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的加减运算是解题的关键．
【变式8-1】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算3+313的结果是___________．
【答案】23
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：3+313
=3+3
=23，
故答案为：23．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，把二次根式化为最简二次根式是解题的关键．
【变式8-2】（2022·河北省保定市第二中学分校一模）18−3+12−8＝__________________．
【答案】2+3##3+2
【分析】首先化简各二次根式，进而合并得出答案．
【详解】解：原式=32−3+23−22
=2+3．
故答案为：2+3．
【点睛】本题考查了二次根式的化简以及合并同类二次根式，正确将每个二次根式化成最简二次根式是解题的关键．
【变式8-3】（2022·河北唐山·二模）已知：−50+12=a2+b2=c2，则ab＋c＝________．
【答案】-7
【分析】先将原式中二次根式进行化简，合并，则可求得a=−5，b=12，c=−92，代入求值即可得出结果．
【详解】解：−50+12=−52+22=−922，
∵−50+12=a2+b2=c2，
∴a=−5，b=12，c=−92，
∴ab+c=−5×12+−92=−7，
故答案为：-7．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减，掌握二次根式加减的运算方法是解题的关键．
【考点9 二次根式的混合运算】
【例9】（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）计算23÷3+13的结果是____．
【答案】12##0.5
【分析】根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：23÷3+13
=233÷3+33
=233÷433
=233×343
=12
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则．
【变式9-1】（2022·山东泰安·中考真题）计算：8⋅6−343=__________．
【答案】23
【分析】先计算乘法，再合并，即可求解．
【详解】解：8⋅6−343
=48−3×233
=43−23
=23，
故答案为： 23．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
【变式9-2】（2022·江苏泰州·中考真题）计算:
(1)计算：18−3×23；
(2)按要求填空：
小王计算2xx2−4−1x+2的过程如下：
解：2xx2−4−1x+2
=2xx+2x−2−1x+2−−−−−−−第一步=2xx+2x−2−x−2x+2x−2−−第二步
=2x−x−2x+2x−2−−−−−−−−−−−第三步=x−2x+2x−2−−−−−−−−−−−第四步=x−2x+2−−−−−−−−−−−−−−−−第五步
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
【答案】(1)22
(2)因式分解；三和五；1x−2
【分析】(1)先化成最简二次根式，然后根据二次根式的四则运算法则求解即可；
(2)按照分式的加减运算法则逐步验算即可.
（1）
解：原式=32−3×63=32−323=22；
（2）
解：由题意可知：
2xx2−4−1x+2=2xx+2x−2−1x+2−−−−−−−第一步=2xx+2x−2−x−2x+2x−2−−第二步=2x−x+2x+2x−2−−−−−−−−−−−第三步=x+2x+2x−2−−−−−−−−−−−第四步=1x−2−−−−−−−−−−−−−−−−第五步
故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误；最终正确的计算结果为1x−2.
故答案为：因式分解，第三步和第五步，1x−2
【点睛】本题考查二次根式的四则运算法则及分式的加减运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则是解题的关键.
【变式9-3】（2022·江苏·九年级二模）如图，一次函数y=x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（ ）
A．6+2B．32C．2+3D．3+2
【答案】A
【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
【详解】解：∵一次函数y=x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y=2，令y=0，则x=−2，
则A（−2，0），B（0，2），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB=22+22=2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC=AD2+CD2=2x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD=BC2−CD2=3x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x=3x，
解得：x=3+1，
∴AC=2x=2（3+1）=6+2，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
【考点10 二次根式的化简求值】
【例10】（2022·广东番禺中学三模）已知x2＝2x+15，则代数式(x+2)2−(x−2)2=__________．
【答案】202或−122
【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案．
【详解】解：(x+2)2−(x−2)2
＝(x+2+x−2)(x+2−x+2)
＝2x×22
＝42x．
∵x2＝2x+15，
∴x2﹣2x﹣15＝0，
（x﹣5）（x+3）＝0，
∴x＝5或x＝﹣3．
当x＝5时，原式＝42×5=202；
当x＝﹣3时，原式＝42×(−3)=−122．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．
【变式10-1】（2022·四川·隆昌市蓝天育才学校一模）已知a+b=3，ab=2，则ab+ba的值为_________．
【答案】322
【分析】先把二次根式进行化简，然后把a+b=3，ab=2，代入计算，即可得到答案.
【详解】解：ab+ba=abb+aba
=(a+b)abab，
∵a+b=3，ab=2，
∴原式=3×22=322；
故答案为：322.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算的运算法则进行解题.
【变式10-2】（2022·浙江·舟山市定海区第七中学一模）已知x−1x=2，那么x2+1x2−2−xx2+2x+1的值等于________．
【答案】1524
【分析】通过平方或分式的性质，把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算．
【详解】解：由x−1x=2，两边分别平方得：x+1x−2=4，
∴x+1x=6，
原式=x+1x2−4−1x+2+1x=62−4−16+2=1524，
故答案为：1524．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用x+1x的代数式表示．
【变式10-3】（2022·湖北·荆门市海慧中学八年级阶段练习）已知xy=3，则yxy+xyx=________．
【答案】±23
【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论
【详解】求解．
解：∵xy=3，
∴x与y同号，
①当x>0，y>0时，
原式=y⋅xyy+x⋅xyx
=xy+xy
=3+3
=23；
②当x<0，y<0时，
原式=y⋅xy−y+x⋅xy−x
=−xy−xy
=−3−3
=−23，
故答案为：±23．
【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件．
【考点11 比较二次根式的大小】
【例11】（2022·四川泸州·中考真题）与2+15最接近的整数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：∵12.25＜15＜16，
∴3.5＜15＜4，
∴5.5＜2+15＜6，
∴最接近的整数是6，
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
【变式11-1】（2022·陕西延安·二模）比较大小：23_____32（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【分析】先把根号外的因式移入根号内，再比较大小即可．
【详解】∵23=12，32=18，12＜18，
∴23＜32，
故答案为：＜
【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．
【变式11-2】（2022·湖南怀化·中考真题）比较大小：22 __________12（填写“＞”或“＜”或“＝”）．
【答案】＞
【分析】直接用22−12，结果大于0，则22大；结果小于0，则12大．
【详解】解：22−12=2−12＞0，
∴22＞12，
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查实数的大小比较，常用的比较大小的方法有作差法、作商法、平方法等，正确理解和记忆方法背后的知识点是解题关键．
【变式11-3】（2022·贵州安顺·中考真题）估计(25+52)×15的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【答案】B
【分析】根据二次根式的混合运算进行化简，进而估算即可求解．
【详解】解：原式=25×15+52×15
＝2+10，
∵3<10<4，
∴5<2+10<6，
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无数的估算，正确的计算是解题的关键．
【考点12 二次根式的应用】
【例12】（2022·四川眉山·中考真题）将一组数2，2，6，22，…，42，按下列方式进行排列：
2，2，6，22；
10，23，14，4；
…
若2的位置记为(1,2)，14的位置记为(2,3)，则27的位置记为________．
【答案】(4,2)
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得27的位置即可．
【详解】数字可以化成：
2，4，6，8；
10，12，14，16；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵27=28，28是第14个偶数，而14÷4=3⋯2
∴27的位置记为(4,2)
故答案为：(4,2)
【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．
【变式12-1】（2022·江苏无锡·一模）按一定规律排列的一列数：3，82，153，244，……其中第5个数为______，第n个数为_______（n为正整数）．
【答案】 355， n2+2nn
【分析】首先将3转换成31，再分析分子分母中数字和项数之间的规律即可解答．
【详解】将3转换成31之后，可发现各项的分母依次为1，2，3，4，⋯，
可以得出第n项的分母就是n，故第5项的分母为5；
同时各项的分子中根号内的值依次为3，8，15，24，⋯，
不难发现第n项的分子中根号内的值应是(n+1)2−1，
所以第5项的分子应是62−1=35，则第n个数分子为(n+1)2−1=n2+2n，
故第5个数为355，第n个数为n2+2nn，
故答案为：355，n2+2nn．
【点睛】本题是找规律的题型，解题的关键点在于将3转换成31，同时对分子中的规律也应注意把握．
【变式12-2】（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室三模）阅读与应用：同学们，你们已经知道(a−b)2≥0，即a2−2ab+b2≥0．所以a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号)．
阅读1：若a、b为实数，且a>0，b>0，∵(a−b)2≥0，∴a−2ab+b≥0，∴a+b≥2ab(当且仅当a=b时取等号)．
阅读2：若函数y=x+mx(m>0，x>0，m为常数)．由阅读1结论可知：x+mx≥2x⋅mx，即x+mx≥2m∴当x=mx即x2=m，∴x=m(m>0)时，函数y=x+mx的最小值为2m．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为4x，周长为2x+4x，当x=______时，矩形周长的最小值为______．
问题2：若函数y=a+9a−1(a>1)，则a=______时，函数y=a+9a−1(a>1)的最小值为______．
问题3：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，设池长为x米，水池总造价为y元，求当x为多少时，水池总造价y最低？最低是多少？
【答案】问题1：2，8；问题2：4，7；问题3：当x=2时，水池总造价y最低，最低为1760元．
【分析】问题1：根据矩形的性质和阅读材料内容进行计算即可求解；
问题2：先将代数式变形，再根据阅读内容即可求解；
问题3：根据立方体的体积公式和已知条件表示出长方体的宽，运用阅读内容即可求解．
【详解】解：问题1：∵x+4x≥2x⋅4x，
∴x+4x≥4，
∴当x=4x即x=−2（不合题意舍去），x=2时，函数y=2x+4x有最小值8；
当x=2，矩形周长的最小值为8；
故答案为：2，8；
问题2：∵y=a+9a−1(a>1)，
∴y=a−1+9a−1+1(a>1)，
∴由阅读2结论可知，a−1+9a−1+1≥2a−1⋅9a−1+1，即a−1+9a−1+1≥7，
∴当a−1=9a−1即a−12=9，
∴a−1=3，a−1=−3（不合题意舍去），
∴当a=4时，函数y=a+9a−1(a>1)的最小值为7；
故答案为：4，7；
问题3：∵根据题意得长方体的宽为4x米，
∴y=x⋅4x⋅120+2⋅4x⋅2⋅80+2⋅x⋅2⋅80=480+320x+4x，
∵x+4x≥4，
∴当x=4x，即x=−2（不合题意舍去），x=2时，函数y=480+320x+4x的最小值为1760，
∴当x=2时，水池总造价y最低，最低为1760元．
答：当x=2时，水池总造价y最低，最低为1760元．
【点睛】此题主要考查反比例函数，函数最值的确定方法，涉及到的知识点有二次根式、矩形的周长、立方体的体积等，读懂材料是解本题的关键，难点是理解和运用材料得到的结论解决问题．
【变式12-3】（2022·贵州铜仁·三模）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S=pp−ap−bp−c（其中a，b，c是三角形的三边长，p=a+b+c2，S为三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5
∴p=a+b+c2=6
∴S=pp−ap−bp−c=6×3×2×1=6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
【答案】（1）102；（2）r=2．
【分析】（1）先根据BC、AC、AB的长求出P，再代入到公式S=pp−ap−bp−c即可求得S的值；
（2）根据公式S=12r（AC+BC+AB），代入可得关于r的方程，解方程得r的值．
【详解】解：（1）∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，
∴p=BC+AC+AB2=5+6+92=10，
∴S=pp−ap−bp−c=10×5×4×1=102；
故△ABC的面积102；
（2）∵S=12r（AC+BC+AB），
∴102=12r（5+6+9），
解得：r=2，
故△ABC的内切圆半径r=2．
【点睛】本题主要三角形的内切圆与内心、二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积与内切圆半径间的公式是解题的关键．