（全国通用）中考数学总复习 专题06 分式方程及其应用（10个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析）

这是一份（全国通用）中考数学总复习 专题06 分式方程及其应用（10个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析），共32页。

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc11773" 【考点1 分式方程的定义】 PAGEREF _Tc11773 \h 1
\l "_Tc31517" 【考点2 分式方程的解】 PAGEREF _Tc31517 \h 2
\l "_Tc4787" 【考点3 解分式方程】 PAGEREF _Tc4787 \h 2
\l "_Tc26689" 【考点4 换元法解分式方程】 PAGEREF _Tc26689 \h 3
\l "_Tc1809" 【考点5 分式方程的增根】 PAGEREF _Tc1809 \h 3
\l "_Tc12008" 【考点6 分式方程的无解】 PAGEREF _Tc12008 \h 4
\l "_Tc17027" 【考点7 不等式与分式方程的综合】 PAGEREF _Tc17027 \h 4
\l "_Tc24191" 【考点8 分式方程中的新定义问题】 PAGEREF _Tc24191 \h 5
\l "_Tc23951" 【考点9 由实际问题抽象出分式方程】 PAGEREF _Tc23951 \h 5
\l "_Tc8456" 【考点10 分式方程的应用】 PAGEREF _Tc8456 \h 6
【要点1 分式方程的定义】
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
【考点1 分式方程的定义】
【例1】（2022·贵州贵阳·二模）下列关于x的方程，是分式方程的是（ ）
A．x2−3=x5B．12x−13y=5C．xπ=x3+x2D．12+x=1−2x
【变式1-1】（2022·四川省内江市第六中学二模）下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A．x+1x=3B．1x=2
C．xx−4=5xx−4D．2x−14−x3=12
【变式1-2】（2022·河南省淮滨县第一中学模拟预测）下列方程：①1x+1=x；②x+12−3=0；③2x−1+31−x=3；④xa+xb=1（a,b为已知数），其中分式方程有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（2022·全国·九年级专题练习）在下列方程组中，（ ）是分式方程．
A．x2x−1＝1B．2x3=2
C．1x+2=3xD．x+234x5−6=−7
【考点2 分式方程的解】
【例2】（2022·浙江·宁波市鄞州实验中学模拟预测）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程x2+kx+3x−1=3x+k的解，求实数k的取值范围.
【变式2-1】（2022·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程m+32x−1=1的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≥−4B．m≥−4且m≠−3C．m>−4D．m>−4且m≠−3
【变式2-2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程1x−2+2x+2=x+2mx2−4的解大于1，则m的取值范围是______________．
【变式2-3】（2022·四川达州·中考真题）若分式方程2x−ax−1−4=−2x+ax+1的解为整数，则整数a=___________．
【要点2 分式方程的解法】
①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；
②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；
③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
【考点3 解分式方程】
【例3】（2022·辽宁营口·中考真题）分式方程3x=2x−2的解是（ ）
A．x=2B．x=−6C．x=6D．x=−2
【变式3-1】（2022·湖南永州·中考真题）解分式方程2x−1x+1=0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．
【变式3-2】（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是____．
【变式3-3】（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 _____．
【考点4 换元法解分式方程】
【例4】（2022·浙江衢州·二模）用换元法解分式方程x2+1x−x3x2+1+1=0，如果设x2+1x=y，那么原方程化为关于y的整式方程是（ ）
A．3y2+3y−1=0B．3y2−3y−1=0
C．3y2−y+1=0D．3y2−y−1=0
【变式4-1】（2022·贵州·仁怀市教育研究室二模）用换元法解方程x2−2x+6x+9x2−6=0时，可以令t=______，得到关于t的方程是______．
【变式4-2】（2022·上海·华东师范大学第四附属中学一模）用换元法解方程：x2﹣x﹣12x2−x=4．
【变式4-3】（2022·上海·华东师范大学第四附属中学三模）用换元法解方程组：1x+y+2x−y=141x+y−1x−y=1．
【考点5 分式方程的增根】
【例5】（2022·广西贺州·中考真题）若关于x的分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，则m的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式5-1】（2022·四川省内江市第六中学二模）关于x的方程：ax+1x−1－21−x＝1.
(1)当a＝3时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求a的值．
【变式5-2】（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）关于x的分式方程mx−2+12−x=1有增根，则(﹣1)m=（ ）
A．﹣1B．1C．2D．5
【变式5-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．
阅读以上材料后，完成下列探究：
探究1：m为何值时，方程3xx−3+5=m3−x有增根．
探究2：m为何值时，方程3xx−3+5=m3−x的根是−1．
探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程3xx−3+5=m3−x的三个根中两个根之和等于第三个根；
探究4：你发现满足“探究3”条件的m1、m2、m3的关系是______．
【考点6 分式方程的无解】
【例6】（2022·浙江温州·模拟预测）设a，b为实数，关于x的方程xx−1+x−1x=a+bxx2−x无实数根，求代数式8a+4b+|8a+4b-5|的值．
【变式6-1】（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x的方程2x=m2x+1无解，则m的值为（ ）
A．0B．4或6C．6D．0或4
【变式6-2】（2022·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程m+x2−x−3＝0有解，则实数m应满足的条件是（ ）
A．m＝﹣2B．m≠﹣2C．m＝2D．m≠2
【变式6-3】（2022·安徽·宣州市雁翅乡初级中学二模）对于非零实数a、b，规定a⊗b=ba．若x−3⊗3−2x=0，则x的值为_______________；若关于x的方程x−3⊗3−2x−3−x⊗mx−2=−1无解，则m的值为_______________．
【考点7 不等式与分式方程的综合】
【例7】（2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程3x−ax−3+x+13−x=1的解为正数，且关于y的不等式组y+9≤2(y+2)2y−a3>1的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13B．15C．18D．20
【变式7-1】（2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程ax−3x−2+1=3x−12−x的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组3y−22≤y−1y+2>a有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．−5B．−4C．−3D．−2
【变式7-2】（2022·重庆八中模拟预测）从−7，−5，−1，0，1，3这六个数中，随机抽一个数，记为m，若数m使关于x的不等式组x−m2>0x−4<3(x−2)的解集为x>1，且关于x的分式方程1−x2−x+mx−2=3有非负整数解，则符合条件的m的值的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式7-3】（2022·重庆市第三十七中学校二模）若数a既使得关于x的不等式组x−a2+1≤x+a3x−2a>6无解，又使得关于y的分式方程5y−2−a−y2−y=1的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为( )
A．−4B．−3C．−2D．−5
【考点8 分式方程中的新定义问题】
【例8】（2022·湖南怀化·中考真题）定义a⊗b=2a+1b，则方程3⊗x=4⊗2的解为（ ）
A．x=15B．x=25C．x=35D．x=45
【变式8-1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·二模）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a−b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11−32=−18．则方程x⊗−2=2x−4−1的解是（ ）
A．x=5B．x=6C．x=7D．x=8
【变式8-2】（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）对于实数x和y，定义一种新运算“*”：x∗y=1x2+y，这里等式右边是实数运算．例如：1∗2=112+2=13，则方程2∗x=1x−4+1的解是__________．
【变式8-3】（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b=1a+1b．若(x+1)⊗x=2x+1x，则x的值为___________．
【考点9 由实际问题抽象出分式方程】
【例9】（2022·辽宁阜新·中考真题）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．30x−301.2x=20B．30x−30x−20=1.2
C．301.2x−30x=20D．30x−20−30x=1.2
【变式9-1】（2022·辽宁鞍山·中考真题）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为_________．
【变式9-2】（2022·山东青岛·中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为__________．
【变式9-3】（2022·山东潍坊·中考真题）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：2674036×100%≈6.6%）．2022年3月当月增速为−14.0%，设2021年3月原油进口量为x万吨，下列算法正确的是（ ）
A．x−42714271×100%=−14.0%B．4271−x4271×100%=−14.0%
C．x−4271x×100%=−14.0%D．4271−xx×100%=−14.0%
【考点10 分式方程的应用】
【例10】（2022·浙江衢州·中考真题）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
【变式10-2】（2022·重庆·中考真题）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．
【变式10-3】（2022·湖南益阳·中考真题）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．
(1)甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？
(2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？ 先化简，再求值：3−xx−4+1，其中x=
解：原式=3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)
=3−x+x−4
=−1
专题06 分式方程及其应用（10个高频考点）（举一反三）

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc11773" 【考点1 分式方程的定义】 PAGEREF _Tc11773 \h 1
\l "_Tc31517" 【考点2 分式方程的解】 PAGEREF _Tc31517 \h 3
\l "_Tc4787" 【考点3 解分式方程】 PAGEREF _Tc4787 \h 5
\l "_Tc26689" 【考点4 换元法解分式方程】 PAGEREF _Tc26689 \h 7
\l "_Tc1809" 【考点5 分式方程的增根】 PAGEREF _Tc1809 \h 10
\l "_Tc12008" 【考点6 分式方程的无解】 PAGEREF _Tc12008 \h 12
\l "_Tc17027" 【考点7 不等式与分式方程的综合】 PAGEREF _Tc17027 \h 15
\l "_Tc24191" 【考点8 分式方程中的新定义问题】 PAGEREF _Tc24191 \h 19
\l "_Tc23951" 【考点9 由实际问题抽象出分式方程】 PAGEREF _Tc23951 \h 21
\l "_Tc8456" 【考点10 分式方程的应用】 PAGEREF _Tc8456 \h 23
【要点1 分式方程的定义】
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
【考点1 分式方程的定义】
【例1】（2022·贵州贵阳·二模）下列关于x的方程，是分式方程的是（ ）
A．x2−3=x5B．12x−13y=5C．xπ=x3+x2D．12+x=1−2x
【答案】D
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】解：A．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意；
B．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意；
C．方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数，故不是分式方程，不符合题意；
D．方程分母中含未知数x，故是分式方程，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
【变式1-1】（2022·四川省内江市第六中学二模）下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A．x+1x=3B．1x=2
C．xx−4=5xx−4D．2x−14−x3=12
【答案】D
【分析】根据分式方程的定义逐项判断分母中是否含有未知数即可.
【详解】A、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意；
B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意；
C、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意；
D、分母中不含未知数，不是分式方程，故本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握定义是关键.
【变式1-2】（2022·河南省淮滨县第一中学模拟预测）下列方程：①1x+1=x；②x+12−3=0；③2x−1+31−x=3；④xa+xb=1（a,b为已知数），其中分式方程有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程；
【详解】解：观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知数，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均属于整式方程．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的定义，掌握定义是解题关键．
【变式1-3】（2022·全国·九年级专题练习）在下列方程组中，（ ）是分式方程．
A．x2x−1＝1B．2x3=2
C．1x+2=3xD．x+234x5−6=−7
【答案】A
【分析】根据分式方程定义进行解答即可．
【详解】A、是分式方程，故此选项符合题意；
B、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意；
C、不是分式方程，故此选项不符合题意；
D、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了分式方程，关键是掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
【考点2 分式方程的解】
【例2】（2022·浙江·宁波市鄞州实验中学模拟预测）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程x2+kx+3x−1=3x+k的解，求实数k的取值范围.
【答案】k=−338或k＝-4或k≥-3
【分析】分四种情况讨论：原方程去分母化为2x2−3x−(k+3)=0①．（1）当Δ=0时，−32−4×2×−k+3=8k+33=0，得到k=−338，方程有两个相同的正实根，原方程只存在一个正实数解；（2）原方程的增根x=1是方程2x2−3x−(k+3)=0的一个根，代入得到2×12−3×1−(k+3)=0，得到k=−4代入方程有另一正实数解，原方程只存在一个正实数解；（3）当方程①有异号二实根时，根据根与系数的关系x1x2=−k−32<0，求得k>−3，原方程只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，推出k=−3，原方程只有一正实数根．
【详解】解：原方程可化为2x2−3x−(k+3)=0①，
（1）当Δ=−32−4×2×−k+3=8k+33=0时，k=−338，
x1=x2=32×2=34，符合题意；
（2）当x=1是方程①的根时，2×12−3×1−(k+3)=0，k=−4，
此时方程①为，2x2−3x+1=0，解得另一个根为x=12，
故原方程也只有一根x=12；
（3）当方程①有异号实根时，x1x2=−k−32<0，且x≠1，即k≠−4，得k>−3，此时原方程也只有一个正实数根；
（4）当方程①有一个根为0时，k=−3，另一个根为x=32，此时原方程也只有一个正实根．
综上所述，满足条件的k的取值范围是：k=−338或k=−4或k≥−3．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解与字母系数的关系，解决问题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，增根的定义和特点，根据根的情况确定字母系数的取值，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，分类讨论．
【变式2-1】（2022·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程m+32x−1=1的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≥−4B．m≥−4且m≠−3C．m>−4D．m>−4且m≠−3
【答案】B
【分析】根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解．
【详解】解：由关于x的分式方程m+32x−1=1可得：x=m+42，且x≠12，
∵方程的解为非负数，
∴m+42≥0，且m+42≠12，
解得：m≥−4且m≠−3，
故选B．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．
【变式2-2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程1x−2+2x+2=x+2mx2−4的解大于1，则m的取值范围是______________．
【答案】m >0且m≠1
【分析】先解分式方程得到解为x=m+1，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以x+2x−2得到：x+2+2(x−2)=x+2m，
整理得到：x=m+1，
∵分式方程的解大于1，
∴m+1>1，解得：m>0，
又分式方程的分母不为0，
∴m+1≠2且m+1≠−2，解得：m≠1且m≠−3，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．
故答案为：m >0且m≠1．
【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．
【变式2-3】（2022·四川达州·中考真题）若分式方程2x−ax−1−4=−2x+ax+1的解为整数，则整数a=___________．
【答案】±1
【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用a来表示x，再根据解为整数来确定a的值．
【详解】解：2x−ax−1−4=−2x+ax+1，
2x−ax−1−−2x+ax+1=4
(2x−a)(x+1)−(a−2x)(x−1)(x−1)(x+1)=4
整理得：x=2a
若分式方程2x−ax−1−4=−2x+ax+1的解为整数，
∵a为整数，
当a=±1时，解得：x=±2，经检验：x−1≠0,x+1≠0成立；
当a=±2时，解得：x=±1，经检验：分母为0没有意义，故舍去；
综上:a=±1，
故答案是：±1．
【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用a来表示x，再根据解为整数来确定a的值，易错点，容易忽略对根的检验．
【要点2 分式方程的解法】
①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；
②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；
③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
【考点3 解分式方程】
【例3】（2022·辽宁营口·中考真题）分式方程3x=2x−2的解是（ ）
A．x=2B．x=−6C．x=6D．x=−2
【答案】C
【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项得出答案，最后检验即可．
【详解】解：3x=2x−2，
去分母，得3(x−2)=2x，
去括号，得3x−6=2x，
移项，得3x−2x=6，
所以x=6．
经检验，x=6是原方程的解．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【变式3-1】（2022·湖南永州·中考真题）解分式方程2x−1x+1=0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．
【答案】xx+1
【分析】根据解分式方程的方法中确定公分母的方法求解即可．
【详解】解：分式方程2x−1x+1=0的两个分母分别为x，(x+1)，
∴最简公分母为：x(x+1)，
故答案为：x(x+1)．
【点睛】题目主要考查解分式方程中确定公分母的方法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．
【变式3-2】（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是____．
【答案】5
【分析】根据题意得到方程3−xx−4+1=−1，解方程即可求解．
【详解】解：依题意得：3−xx−4+1=−1，即3−xx−4+2=0，
去分母得：3-x+2(x-4)=0，
去括号得：3-x+2x-8=0，
解得：x=5，
经检验，x=5是方程的解，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
【变式3-3】（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 _____．
【答案】1
【分析】根据程序分析即可求解．
【详解】解：∵输出y的值是2，
∴上一步计算为2=1x+1或2=2x−1
解得x=1（经检验，x=1是原方程的解），或x=32
当x=1>0符合程序判断条件，x=32>0不符合程序判断条件
故答案为：1
【点睛】本题考查了解分式方程，理解题意是解题的关键．
【考点4 换元法解分式方程】
【例4】（2022·浙江衢州·二模）用换元法解分式方程x2+1x−x3x2+1+1=0，如果设x2+1x=y，那么原方程化为关于y的整式方程是（ ）
A．3y2+3y−1=0B．3y2−3y−1=0
C．3y2−y+1=0D．3y2−y−1=0
【答案】A
【分析】由x2+1x=y，原方程可化为y−13y+1=0，去分母把分式方程化成整式方程，即可得出答案．
【详解】解：设x2+1x=y，
∴分式方程x2+1x−x3x2+1+1=0可化为y−13y+1=0，
化为整式方程：3y2+3y−1=0，
故选：A．
【点睛】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法及正确把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
【变式4-1】（2022·贵州·仁怀市教育研究室二模）用换元法解方程x2−2x+6x+9x2−6=0时，可以令t=______，得到关于t的方程是______．
【答案】 x−3x（答案不唯一） t2−2t=0（答案不唯一）
【分析】利用完全平方公式将x2−2x+6x+9x2−6=0变形为x−3x2−2x−3x=0，令t=x−3x或t=3x−x，进入换元即可．
【详解】解：∵ x2−2x+6x+9x2−6=0，
∴x2−6+9x2−2x−6x=0，
∴x−3x2−2x−3x=0，
令t=x−3x，可得t2−2t=0；
令t=3x−x，可得−t2−2−t=0，即t2+2t=0．
故答案为：x−3x，t2−2t=0或3x−x，t2+2t=0．
【点睛】本题考查换元法解方程，利用完全平方公式将原式变形为x−3x2−2x−3x=0是解题的关键．
【变式4-2】（2022·上海·华东师范大学第四附属中学一模）用换元法解方程：x2﹣x﹣12x2−x=4．
【答案】x1=3，x2=−2
【分析】方程的两个部分是倒数关系，所以可设x2−x=y，可用换元法转化为关于y的分式方程，先求y，再求x，最后检验一下结果．
【详解】设x2−x=y，
则原方程变形为y−12y−4=0，
即y2−4y−12=0，
解得y1=−2，y2=6，
当y=-2时，x2−x+2=0，
因为△=1−8=−9<0，所以此方程无实数根，
当y=6时，x2−x−6=0，
解方程得：x1=3，x2=−2，
检验：把x1=3，x2=−2分别代入原方程的分母，分母都不等于0，
所以原方程的根是：x1=3，x2=−2．
【点睛】换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
【变式4-3】（2022·上海·华东师范大学第四附属中学三模）用换元法解方程组：1x+y+2x−y=141x+y−1x−y=1．
【答案】x=−43y=83
【分析】设1x+y=a，1x−y=b，得出2x−y=2b，进而将原方程组化为关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b，可得1x+y=34，1x−y=−14，进而得出关于x，y的二元一次方程组进行求解即可．
【详解】解：设1x+y=a，1x−y=b，
则原方程组可化为：a+2b=14①a−b=1②，
①－②得：3b=−34，
解得：b=−14，
把b=−14代入②得：a=34，
∴1x+y=34，1x−y=−14，
∴x+y=43③x−y=−4④，
③＋④，得2x＝−83，
解得x＝−43，
把x＝−43代入①，得y＝83，
故原方程组的解为x=−43y=83．
【点睛】此题考查了换元法解分式方程以及解二元一次方程组，将方程进行适当的变形是解本题的关键．
【考点5 分式方程的增根】
【例5】（2022·广西贺州·中考真题）若关于x的分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，则m的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根据分式方程有增根可求出x=3，方程去分母后将x=3代入求解即可.
【详解】解：∵分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，
∴x=3，
去分母，得m+4=3x+2x−3，
将x=3代入，得m+4=9，
解得m=5．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．
【变式5-1】（2022·四川省内江市第六中学二模）关于x的方程：ax+1x−1－21−x＝1.
(1)当a＝3时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求a的值．
【答案】（1）x＝－2；（2）a＝－3.
【分析】（1）将a=3代入,求解3x+1x−1－21−x＝1的根,验根即可,
（2）先求出增根是x＝1，将分式化简为ax＋1＋2＝x－1，代入x＝1即可求出a的值.
【详解】解：(1)当a＝3时，原方程为3x+1x−1－21−x＝1,
方程两边同乘x－1，得3x＋1＋2＝x－1，
解这个整式方程得x＝－2，
检验：将x＝－2代入x－1＝－2－1＝－3≠0，
∴x＝－2是原分式方程的解．
(2)方程两边同乘x－1，得ax＋1＋2＝x－1，
若原方程有增根，则x－1＝0，解得x＝1，
将x＝1代入整式方程得a＋1＋2＝0，解得a＝－3.
【点睛】本题考查解分式方程,属于简单题,对分式方程的结果进行验根是解题关键.
【变式5-2】（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）关于x的分式方程mx−2+12−x=1有增根，则(﹣1)m=（ ）
A．﹣1B．1C．2D．5
【答案】A
【分析】先去分母，用含有m的式子表示x，因为方程有增根，所以x-2=0，从而解出m的值，代入(﹣1)m计算即可．
【详解】解：方程两边都乘x-2，得
m-1=x-2．
解这个方程，得x=m+1．
∵方程有增根，
∴x-2=0．
即m+1-2=0
解这个方程，得m=1．
那么(﹣1)m=-1．
故选：A．
【点睛】此题考查了方式方程增根问题，解题的关键是知道分式方程的增根就是使得原分式方程的分母为零的那个根．
【变式5-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．
阅读以上材料后，完成下列探究：
探究1：m为何值时，方程3xx−3+5=m3−x有增根．
探究2：m为何值时，方程3xx−3+5=m3−x的根是−1．
探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程3xx−3+5=m3−x的三个根中两个根之和等于第三个根；
探究4：你发现满足“探究3”条件的m1、m2、m3的关系是______．
【答案】探究1：-9；探究2：23；探究3：m1=15−8a,m2=15−8b,m3=15−8c；探究4：m3=m1+m2−15
【分析】解分式方程，根据方程有增根求得m的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程的三根为a,b,c且a+b=c，再求得对应的m．即可得出它们之间的关系．
【详解】解：探究1：方程两边都乘(x−3)，
得
∵原方程有增根，
∴最简公分母(x−3)=0，
解得x=3，
当x=3时，m=−9，
故m的值是−9．
探究2：方程两边都乘(x−3)，
得
∵原方程的根为x=−1，
∴m=23，
探究3：由（1）（2）得
x=15−m8，
方程的三个对应根为a,b,c且a+b=c，
∴m1=15−8a，
m2=15-8b，
m3=15−8c
探究4：∵a+b=c，
∴15−m18+15−m28=15−m38，
整理得m3=m1+m2−15，
故答案为m3=m1+m2−15．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程，准确判定方程的增根是解题的关键．
【考点6 分式方程的无解】
【例6】（2022·浙江温州·模拟预测）设a，b为实数，关于x的方程xx−1+x−1x=a+bxx2−x无实数根，求代数式8a+4b+|8a+4b-5|的值．
【答案】5
【分析】先将分式方程通分去分母化成整式方程，再根据方程无实数解得出关于含a、b的整式的取值范围，再据此作答即可求解．
【详解】将xx−1+x−1x=a+bxx2−x化简得：2x2−(2+b)x+1−a=0，
∵原分式方程无实数根，
∴Δ=(−2−b)2−4×2(1−a)＜0，即b2+4b+8a−4＜0，
∴4b+8a＜4−b2≤4，
∴4b+8a−5＜0，
∴8a+4b+8a+4b−5=8a+4b+[5−(8a+4b)]=5．
【点睛】本题考查了将分式方程化为一元二次方程以及根据一元二次方程根的情况得到方程判别式的符号以此来求解代数式值的知识，注重整体代入是解答本题的关键．
【变式6-1】（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x的方程2x=m2x+1无解，则m的值为（ ）
A．0B．4或6C．6D．0或4
【答案】D
【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当m−4=0时，当m−4≠0时，x=0或2x+1=0，进行计算即可．
【详解】方程两边同乘x(2x+1)，得2(2x+1)=mx，
整理得(m−4)x=2，
∵原方程无解，
∴当m−4=0时，m=4；
当m−4≠0时，x=0或2x+1=0，此时，x=2m−4，
解得x=0或x=−12，
当x=0时，x=2m−4=0无解；
当x=−12时，x=2m−4=−12，解得m=0；
综上，m的值为0或4；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式6-2】（2022·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程m+x2−x−3＝0有解，则实数m应满足的条件是（ ）
A．m＝﹣2B．m≠﹣2C．m＝2D．m≠2
【答案】B
【分析】解分式方程得：m+x=6−3x即4x=m−6，由题意可知x≠2，即可得到6−m≠8.
【详解】解：m+x2−x−3=0
方程两边同时乘以2−x得：m+x−6+3x=0，
∴4x=m−6，
∵分式方程有解，
∴2−x≠0，
∴x≠2，
∴6−m≠8，
∴m≠−2，
故选B.
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键.
【变式6-3】（2022·安徽·宣州市雁翅乡初级中学二模）对于非零实数a、b，规定a⊗b=ba．若x−3⊗3−2x=0，则x的值为_______________；若关于x的方程x−3⊗3−2x−3−x⊗mx−2=−1无解，则m的值为_______________．
【答案】 32； 53或1
【分析】解方程3−2xx−3=0即可；根据分式方程3−2xx−3−mx−23−x=−1无解求解即可．
【详解】∵a⊗b=ba，x−3⊗3−2x=0，
∴3−2xx−3=0，
去分母，得
3-2x=0，
移项、合并同类项，得
2x=3，
系数化为1，得
x=32，
经检验，x=32是原方程的根．
∵a⊗b=ba，方程x−3⊗3−2x−3−x⊗mx−2=−1无解，
∴3−2xx−3−mx−23−x=−1无解，
去分母，得
3-2x+mx-2=3-x，
∵方程无解，
∴x=3，
解得m=53，
去分母，得
3-2x+mx-2=3-x，
合并同类项，得
(m-1)x=2，
∵方程无解，
∴m-1=0，
故m=1．
故答案为：32，53或1．
【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解法，分式方程无解的计算，熟练掌握分式方程无解的意义是解题的关键．
【考点7 不等式与分式方程的综合】
【例7】（2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程3x−ax−3+x+13−x=1的解为正数，且关于y的不等式组y+9≤2(y+2)2y−a3>1的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13B．15C．18D．20
【答案】A
【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的有限个整数解．
【详解】由分式方程的解为整数可得：3x−a−x−1=x−3
解得：x=a−2
又题意得：a−2>0且a−2≠3
∴a>2且a≠5，
由y+9≤2y+2得：y≥5
由2y−a3>1得：y>3+a2
∵解集为y≥5
∴3+a2<5
解得：a<7
综上可知a的整数解有：3，4，6
它们的和为：13
故选：A．
【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等数组，掌握由解集倒推参数范围是本题关键．
【变式7-1】（2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程ax−3x−2+1=3x−12−x的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组3y−22≤y−1y+2>a有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．−5B．−4C．−3D．−2
【答案】B
【分析】先将分式方程化为整式方程，得到它的解为x=6a+4,由它的解为正数，同时结合该分式方程有解即分母不为0，得到a+4>0且a+4≠3，再由该一元一次不等式组有解，又可以得到a−2<0，综合以上结论即可求出a的取值范围，即可得到其整数解，从而解决问题．
【详解】解：ax−3x−2+1=3x−12−x,
两边同时乘以（x−2)，
ax−3+x−2=1−3x,
a+4x=6,
由于该分式方程的解为正数，
∴x=6a+4，其中a+4>0，a+4≠3;
∴a>−4，且a≠−1；
∵关于y的元一次不等式组3y−22≤y−1①y+2>a②有解，
由①得：y≤0;
由②得：y>a−2;
∴a−2<0，
∴a<2
综上可得：−4∴满足条件的所有整数a为：−3，−2,0,1；
∴它们的和为−4；
故选B．
【点睛】本题涉及到含字母参数的分式方程和含字母参数的一元一次不等式组等内容，考查了解分式方程和解一元一次不等式组等相关知识，要求学生能根据题干中的条件得到字母参数a的限制不等式，求出a的取值范围进而求解，本题对学生的分析能力有一定要求，属于较难的计算问题．
【变式7-2】（2022·重庆八中模拟预测）从−7，−5，−1，0，1，3这六个数中，随机抽一个数，记为m，若数m使关于x的不等式组x−m2>0x−4<3(x−2)的解集为x>1，且关于x的分式方程1−x2−x+mx−2=3有非负整数解，则符合条件的m的值的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据不等式组的解集为x>1，求得m≤1，根据分式方程有非负整数解，求得m取值范围，即可求解．
【详解】解：解不等式组x−m2>0x−4<3(x−2)可得x>mx>1
∵不等式组的解集为x>1，
∴m≤1，
由1−x2−x+mx−2=3可得：1−x−m=3(2−x)，
解得x=5+m2
由题意可得，x≥0，且x≠2
可得：m≥−5，且m≠−1
此时m的取值为−5，0，1
又∵x为整数，
∴m的取值为−5，1，个数为2
故选：B
【点睛】此题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式7-3】（2022·重庆市第三十七中学校二模）若数a既使得关于x的不等式组x−a2+1≤x+a3x−2a>6无解，又使得关于y的分式方程5y−2−a−y2−y=1的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为( )
A．−4B．−3C．−2D．−5
【答案】C
【分析】先根据关于x的不等式组无解求出数a的范围，再根据关于y的分式方程的解不小于1求出数a的范围，然后再取数a的范围的公共部分，从而即可求解．
【详解】解：解不等式x−a2+1≤x+a3，得x≤5a−6，
解不等式x−2a>6，得x>2a+6，
∵于x的不等式组x−a2+1≤x+a3x−2a>6无解，
∴5a−6≤2a+6，
∴a≤4；
又解分式方程5y−2−a−y2−y=1，得y=a+72且y≠2，
∵关于y的分式方程5y−2−a−y2−y=1的解不小于1，
∴a+72≥1且a+72≠2，
∴a≥−5且a≠−3；
综上可知：−5≤a<−3,−3∴满足条件的所有整数a的和为：−5−4−2−1+0+1+2+3+4=−2，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握已知一元一次不等式组的解集求参数的范围、已知分式方程的解的范围求参数的取值范围的解题方法是解答此题的关键．
【考点8 分式方程中的新定义问题】
【例8】（2022·湖南怀化·中考真题）定义a⊗b=2a+1b，则方程3⊗x=4⊗2的解为（ ）
A．x=15B．x=25C．x=35D．x=45
【答案】B
【分析】根据新定义,变形方程求解即可
【详解】∵a⊗b=2a+1b,
∴3⊗x=4⊗2变形为2×3+1x=2×4+12,
解得x=25 ，
经检验x=25 是原方程的根，
故选B
【点睛】本题考查了新定义问题，根据新定义把方程转化一般的分式方程，并求解是解题的关键
【变式8-1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·二模）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a−b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11−32=−18．则方程x⊗−2=2x−4−1的解是（ ）
A．x=5B．x=6C．x=7D．x=8
【答案】A
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可．
【详解】解：根据题中的新定义化简得：1x−4=2x−4−1，
去分母得：1=2-x+4，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解，
故选：A
【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【变式8-2】（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）对于实数x和y，定义一种新运算“*”：x∗y=1x2+y，这里等式右边是实数运算．例如：1∗2=112+2=13，则方程2∗x=1x−4+1的解是__________．
【答案】x1=22,x2=−22
【分析】根据新定义列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵x∗y=1x2+y，
∴122+x=1x−4+1，
两边同时乘以x+4x−4得，
x−4=x+4+x2−16，
即x2=8，
解得x1=22,x2=−22．
经检验x1=22,x2=−22是原方程的解．
故答案为：x1=22,x2=−22．
【点睛】本题考查了新定义运算，解分式方程，，直接开平方法解一元二次方程，根据新定义列出方程是解题的关键．
【变式8-3】（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b=1a+1b．若(x+1)⊗x=2x+1x，则x的值为___________．
【答案】−12##−0.5
【分析】根据新定义可得(x+1)⊗x=2x+1x2+x，由此建立方程2x+1x2+x=2x+1x解方程即可．
【详解】解：∵a⊗b=1a+1b，
∴(x+1)⊗x=1x+1+1x=x+1+xxx+1=2x+1x2+x，
又∵(x+1)⊗x=2x+1x，
∴2x+1x2+x=2x+1x，
∴x2+x2x+1−x2x+1=0，
∴x2+x−x2x+1=0，
∴x22x+1=0，
∵(x+1)⊗x=2x+1x即x≠0，
∴2x+1=0，
解得x=−12，
经检验x=−12是方程2x+1x2+x=2x+1x的解，
故答案为：−12．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题的关键．
【考点9 由实际问题抽象出分式方程】
【例9】（2022·辽宁阜新·中考真题）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．30x−301.2x=20B．30x−30x−20=1.2
C．301.2x−30x=20D．30x−20−30x=1.2
【答案】A
【分析】由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种1.2x万人，再结合结果提前20天完成了这项工作，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵实际每天接种人数是原计划的1.2倍，且原计划每天接种x万人，
∴实际每天接种1.2x万人，
又∵结果提前20天完成了这项工作，
∴30x−301.2x=20．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式9-1】（2022·辽宁鞍山·中考真题）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为_________．
【答案】4000x−42001.5x＝3
【分析】根据题意可得出乙车间每天加工1.5x件产品，再根据甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，
∴乙车间每天加工1.5x件产品，
又∵甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，
∴4000x−42001.5x＝3．
故答案为：4000x−42001.5x＝3．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式9-2】（2022·山东青岛·中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为__________．
【答案】3000x−3000(1+25%)x=3
【分析】根据比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，可得比赛时小亮平均速度为(1+25%)x米/分，根据比赛时所用时间比训练前少用3分钟列出方程．
【详解】解：∵比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，小亮训练前的平均速度为x米/分，
∴比赛时小亮平均速度为(1+25%)x米/分，
根据题意可得3000x−3000(1+25%)x=3，
故答案为：3000x−3000(1+25%)x=3．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式9-3】（2022·山东潍坊·中考真题）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：2674036×100%≈6.6%）．2022年3月当月增速为−14.0%，设2021年3月原油进口量为x万吨，下列算法正确的是（ ）
A．x−42714271×100%=−14.0%B．4271−x4271×100%=−14.0%
C．x−4271x×100%=−14.0%D．4271−xx×100%=−14.0%
【答案】D
【分析】根据题意列式即可．
【详解】解：设2021年3月原油进口量为x万吨，
则2022年3月原油进口量比2021年3月增加(4271-x)万吨，
依题意得：4271−xx×100%=−14.0%，
故选：D．
【点睛】本题考查了列分式方程，关键是找出题目蕴含的数量关系．
【考点10 分式方程的应用】
【例10】（2022·浙江衢州·中考真题）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
【答案】(1)36a元
(2)①燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；②每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低
【分析】（1）利用电池电量乘以电价，再除以续航里程即可得；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元建立方程，解方程可得a的值，由此即可得；
②设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低，根据这两款车的年费用建立不等式，解不等式即可得．
【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为60×0.6a=36a元，
答：新能源车的每千米行驶费用为36a元．
（2）解：①由题意得：40×9a−36a=0.54，
解得a=600，
经检验，a=600是所列分式方程的解，
则40×9a=40×9600=0.6，36a=36600=0.06，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得：0.6x+4800>0.06x+7500，
解得x>5000，
答：每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低．
【点睛】本题考查了列代数式、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是解题关键．
【变式10-1】（2022·山东东营·中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；
(2)水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．
【分析】（1）设乙种水果的进价是x元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案；
（2）设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y关于a的一次函数解析式，求出a的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．
【详解】（1）解：设乙种水果的进价是x元/千克，
由题意得：10001−20%x=1200x+10，
解得：x=5，
经检验，x=5是分式方程的解且符合题意，
则1−20%x=0.8×5=4，
答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；
（2）解：设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，
由题意得：y=6−4a+8−5150−a=−a+450，
∵－1＜0，
∴y随a的增大而减小，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴a≥2150−a，
解得：a≥100，
∴当a=100时，y取最大值，此时y=−100+450=350，150−a=50，
答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键．
【变式10-2】（2022·重庆·中考真题）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．
【答案】(1)24千米/时
(2)18千米/时
【分析】（1）设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙列方程求解即可；
（2）设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，根据甲、乙恰好同时到达B地列方程求解即可．
(1)
解：设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，
由题意得：0.5×1.2x=0.5x+2，
解得：x=20，
则1.2x=24，
答：甲骑行的速度为24千米/时；
(2)
设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，
由题意得：30x−13=301.2x，
解得x=15，
经检验x=15是分式方程的解，
则1.2x=18，
答：甲骑行的速度为18千米/时．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
【变式10-3】（2022·湖南益阳·中考真题）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．
(1)甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？
(2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？
【答案】(1)甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻
(2)最多安排甲收割4小时
【分析】（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合乙比甲多用0.4小时完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出甲操控A型号收割机每小时收割水稻的亩数，再将其代入（1﹣40）x中即可求出乙操控B型号收割机每小时收割水稻的亩数；
（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割100−10y6小时，根据要求平均损失率不超过2.4%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
（1）解：设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，依题意得：6(1−40%)x−6x=0.4，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6．答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻．
（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割100−10y6小时，依题意得：3%×10y＋2%×6×100−10y6≤2.4%×100，解得：y≤4．答：最多安排甲收割4小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 先化简，再求值：3−xx−4+1，其中x=
解：原式=3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)
=3−x+x−4
=−1