江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数学含答案

这是一份江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数学含答案，共9页。试卷主要包含了若全集为，定义集合与的运算，设，，，则，若，为正整数且，则，设函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．使用斜二测画法作一个五边形的直观图，则直观图的面积是原来五边形面积的
A．倍B．倍C．倍D．倍
2．已知，是两个不共线的单位向量，向量，则“且”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知等差数列的前项和为，，，则
A．B．C．D．
4．设为虚数单位，若复数为纯虚数，则
A．B．C．D．
5．甲、乙、丙、丁四人参加书法比赛，四人对于成绩排名的说法如下．甲说：“乙在丙之前”，乙说：“我在第三名”，丙说：“丁不在第二名，也不在第四名”，丁说：“乙在第四名”．若四人中只有一个人的说法是错误的，则甲的成绩排名为
A．第一名B．第二名C．第三名D．第四名
6．已知为抛物线上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为
A． B．C．D．
7．若全集为，定义集合与的运算：，则
A．B．C．D．
8．设，，，则
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若，为正整数且，则
A． B．
C．D．
10．设函数，则
A．是偶函数B．在上单调递增
C．的最小值为D．在上有个零点
11．已知圆：，点是所在平面内一定点，点是上的动点，若线段的中垂线交直线于点，则的轨迹可能为
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．有一组从小到大排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为__________．
13．围棋起源于中国，至今已有多年的历史．在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算．假设大
小为的眼有口气，大小为的眼有口气，则与满足的关系是
，，
则的通项公式为__________．
14．若，，，四点均在同一球面上，，是边长为的等边三角形，则面积的最大值为__________，四面体体积取最大值时，球的表面积为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，二面角为直二面角．
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
16．（15分）
在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续次祈愿都没有获取五星角色，那么第次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数．
（1）求的概率分布；
（2）求的数学期望．
参考数据：．
17．（15分）
已知函数，其中．
（1）若，证明；
（2）讨论的极值点的个数．
18．（17分）
已知等轴双曲线的顶点分别为椭圆：的焦点，．
（1）求的方程；
（2）若为上异于顶点的任意一点，直线，与椭圆的交点分别为，与，，求的最小值．
19．（17分）
交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设，，，是直线上互异且非无穷远的四点，则称（分式中各项均为有向线段长度，例如）为，，，四点的交比，记为．
（1）证明：；
（2）若，，，为平面上过定点且互异的四条直线，，为不过点且互异的两条直线，与，，，的交点分别为，，，，与，，，的交点分别为，，，，证明：；
（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若与的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则与对应边的交点在一条直线上．
江苏省四校联合2024届新题型适应性考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D2．A3．C4．B
5．B6．C7．A8．D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．AD10．ABC11．ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．7.513．14．；
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：
（1）在四棱锥中，因为二面角为直二面角，所以平面平面，因为底面为正方形，所以，而平面，平面平面，所以平面，而平面，所以，又因为，，平面，，所以平面，又因为平面，所以；
（2）分别取，中点为，，连接，，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
，，，，，
，设是平面的一个法向量，则，即，不妨取，，则是平面的一个法向量．
设直线与平面的夹角为，则．所以直线与平面所成的角的正弦值为．
16．解：
（1）将每次祈愿获取五星角色的概率记为，的所有可能取值为，，，…，．
从而，，，…，，
．所以的概率分布为．
（2）的数学期望
，
，
，
，
因为，所以．
17．解：
（1）当时，，，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，从而；
（2）由题意知，函数的定义域为，，设
，，显然函数在上单调递增，与同号，
①当时，，，所以函数在内有一个零点，
所以函数在上有且仅有一个极值点；
②当时，由第（1）问知，函数在上有且仅有一个极值点；
③当时，，，因为，所以，，又，所以函数在内有一个零点，所以函数在
上有且仅有一个极值点；
综上所述，函数在上有且仅有一个极值点．
18．解：
（1）椭圆的，故，，设等轴双曲线的方程为，
将带入求得，故等轴双曲线的方程为；
设直线的方程为，直线的方程为，点，，，的
坐标分别为，，，，联立直线与椭圆：，得
，，，从而
，联立直线与
椭圆：，得，，，从而
，联立直线与：，得，又在双曲线上，
带入得，化简得．从而
，当且仅当，即时取等，
故的最小值为．
19．解：
（1）
；
（2）
；

第（2）问图第（3）问图
（3）设与交于，与交于，与交于，连接，与交于，与交于，与交于，欲证，，三点共线，只需证在直线上．考虑线束，，，，由第（2）问知，再考虑线束，，，，由第（2）问知，从而得到，于是由第（2）问的逆命题知，，，交于一点，即为点，从而过点，故在直线上，，，三点共线．