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【分层训练】北师大版 初中数学 九年级下册 专题02+30 45 60 角的三角函数值（1个知识点5种题型1个易错点1中中考考法）
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这是一份【分层训练】北师大版 初中数学 九年级下册 专题02+30 45 60 角的三角函数值（1个知识点5种题型1个易错点1中中考考法），文件包含北师大版初中数学九年级下册专题02304560角的三角函数值1个知识点5种题型1个易错点1中中考考法原卷版docx、北师大版初中数学九年级下册专题02304560角的三角函数值1个知识点5种题型1个易错点1中中考考法解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.特殊角的三角函数值（重点、难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.已知三角函数值求角的度数
题型2.直接利用特殊角的三角函数值计算
题型3.利用特殊角的三角函数值判定三角形的形状
题型4.特殊三角函数值与平面直角坐标系
题型5.特殊三角函数值的应用
【方法三】差异对比法
易错点：将特殊角的三角函数值记混
【方法四】 仿真实战法
考法. 特殊角的三角函数值
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
知道30°45°60°角的三角函数值
熟记特殊角的三角函数值，并会进行相关的计算。
重点：30°45°60°角的三角函数值
难点：利用特殊角的三角函数值进行相关的计算。
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.特殊角的三角函数值（重点、难点）
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cs30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cs45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cs60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
【例】．（2023秋•张店区期中）计算：
（1）2sin30°﹣sin45°•cs45°；
（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cs30°+sin60°+tan260°．
【变式】．（2023秋•任城区期中）计算：2sin30°﹣cs245°+cs60°．
【方法二】实例探索法
题型1.已知三角函数值求角的度数
1．（2023秋•沙河口区期中）已知tanA＝，∠A是锐角，则∠A的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
2．（2023秋•广饶县期中）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45°B．75°C．105°D．120°
3．（2023秋•乐亭县期中）在△ABC中，若，则∠C的度数是（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
4．（2023春•拱墅区校级期中）若csA＝，则锐角∠A＝ ．
题型2.直接利用特殊角的三角函数值计算
5．（2023秋•槐荫区期中）2cs45°的值等于（ ）
A．B．C．1D．2
6．（2023秋•苏州期中）cs60°的值等于（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋•昌黎县期中）计算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cs30°＝ ．
8．（2023秋•槐荫区期中）计算：2cs30°﹣tan60°+sin45°cs45°．
题型3.利用特殊角的三角函数值判定三角形的形状
9.若△ABC中，锐角A、B满足，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
10．（2023春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）在中，都是锐角，，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形
11．（2023秋•惠山区校级月考）在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tanA，csB恰为一元二次方程2x2﹣3mx+3＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状．
题型4.特殊三角函数值与平面直角坐标系
12．（2022秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023秋·重庆巴南·九年级校考开学考试）如图，在等腰中，，，点D为中点，点P从点D出发，沿方向以每秒的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，的面积为．
根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化规律进行探究．
(1)直接写出y与x的函数关系式，注明x的取值范围，并画出y的函数图像；
(2)观察y的函数图像，写出一条该函数的性质；
(3)观察图像，直接写出当时，x的值______．（保留1位小数，误差不超过）
14．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图1，在菱形中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度沿运动到点B， 然后以同样速度沿运动到点C停止．设当点E的运动时间为x秒时，长为y．下面是小聪的探究过程，请补充完整．
(1)根据三角函数值小聪想到连接交于点O（如图2），请同学们帮忙求的长．
(2)小聪学习了函数知识后，运用函数的研究经验，对y与x的变化规律进行了下列探究，根据点E在上运动到不同位置进行画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值，并画出了函数图象（如图3）：
请同学们继续探究点E在上的运动情况，在同一坐标系中补全图象，并写出这个函数的两条性质．
(3)结合图象探究发现时，x有四个不同的值．求y取何值时，x有且仅有两个不同的值．
题型5.特殊三角函数值的应用
15．（2023春·陕西铜川·九年级铜川市第一中学校考阶段练习）如图，四边形ABCD是矩形，以点A为圆心、AD为半径画弧交BC于
点E．DF⊥AE于F．若E恰好为BC的中点.
⑴ ∠BAE＝ °；
⑵ DF平分AE吗？证明你的结论.
16．（2022秋·四川达州·九年级统考期末）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：
如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H，使得，，连接EF，FG，GH，HE．
（1）判断四边形EFGH的形状，并证明；
（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且，，求AE的长．
17．（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）如图，矩形的对角线交于点O，点P在上，其中．
(1)证明：．
(2)若，求的值．
(3)设，和的面积分别为，求证：．
【方法三】差异对比法
易错点：将特殊角的三角函数值记混
1.求下列各式的值：
(1) 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；
(2) sin60°﹣4cs230°+sin45°•tan60°；
(3) +ct30°﹣．
【方法四】 仿真实战法
考法. 特殊角的三角函数值
1．（2022•天津）tan45°的值等于（ ）
A．2B．1C．D．
2．（2022•绥化）定义一种运算：
sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ，
sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ．
例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为 ．
3．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．
4．（2022•牡丹江）先化简，再求值．（x﹣）÷，其中x＝cs30°．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（23·24九年级上·河北邢台·阶段练习）下列三角函数的值是的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京海淀·模拟预测）在锐角中，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（22·23九年级上·黑龙江大庆·开学考试）设，则下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·广东深圳·模拟预测）计算的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（22·23九年级上·安徽滁州·阶段练习）正方形网格中，如图放置，则的值为( )
A．B．C．1D．
6．（22·23九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（22·23九年级上·福建泉州·期中）三角板是我们数学学习中必不可少的工具，利用三角板可以拼出很多角，现将一副含45°角和30°角的三角板按如图所示的方式放置，则的值为（ ）
A．B．C．D．无法确定
8．（23·24九年级上·山东济南·期中）的值等于（ ）
A．1B．C．D．2
9．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，边在轴正半轴上，，反比例函数的图象经过点A，且交菱形对角线于点D，轴于点，则长为（ ）
A．1B．3C．D．
10．（22·23九年级上·陕西西安·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点、，连接，与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
二、填空题
11．（22·23九年级下·山东临沂·期末）在中，，，则的值为 ．
12．（22·23九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）锐角满足，则 度．
13．（23·24九年级上·重庆·阶段练习）计算：．
14．（2022·湖北宜昌·模拟预测） ．
15．（23·24九年级上·山东淄博·阶段练习）若的余角是，则的值是 ．
16．（2023·陕西榆林·三模）如图，在菱形中，．点分别为四边的中点，连接，则 ．
17．（22·23九年级上·山东东营·期末）如图，一块含有的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，角的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，则k的值为 ．
18．（23·24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，等边中，点D在上，点E在上，，连接、交于点F，，，则的长为 ．
三、解答题
19．（23·24九年级上·福建泉州·期中）计算：
20．（23·24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算：
21．（2022·广东广州·模拟预测）计算：．
22．（21·22九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）先化简，再求代数式的值，其中．
23．（23·24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求代数式的值，其中．
24．（23·24九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，，求．
25．（23·24九年级上·河南郑州·阶段练习）（1）【问题探究】
如图1，在正方形中，对角线、相交于点．在线段上任取一点（端点除外），连接、．
①证明：：
②将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处．当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究与的数量关系为______．
（2）【迁移探究】
如图2，将正方形换成菱形，且，点位于中点，其他条件不变．探究与的数量关系为______．
26．（23·24九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点A逆时针旋转，得，点B，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α．
(1)如图1，若，连接，求的长度；
(2)如图2，若，求的坐标并直接写出的坐标；
(3)在（2）的条件下，边上的一点P旋转后的对应点为，请直接写出的最小值和此时点P的坐标．
x
0
1
2
3
4
5
y
5
4．82
4．84
5．06
5．46
6
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.特殊角的三角函数值（重点、难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.已知三角函数值求角的度数
题型2.直接利用特殊角的三角函数值计算
题型3.利用特殊角的三角函数值判定三角形的形状
题型4.特殊三角函数值与平面直角坐标系
题型5.特殊三角函数值的应用
【方法三】差异对比法
易错点：将特殊角的三角函数值记混
【方法四】 仿真实战法
考法. 特殊角的三角函数值
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
知道30°45°60°角的三角函数值
熟记特殊角的三角函数值，并会进行相关的计算。
重点：30°45°60°角的三角函数值
难点：利用特殊角的三角函数值进行相关的计算。
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.特殊角的三角函数值（重点、难点）
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cs30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cs45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cs60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
【例】．（2023秋•张店区期中）计算：
（1）2sin30°﹣sin45°•cs45°；
（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cs30°+sin60°+tan260°．
【变式】．（2023秋•任城区期中）计算：2sin30°﹣cs245°+cs60°．
【方法二】实例探索法
题型1.已知三角函数值求角的度数
1．（2023秋•沙河口区期中）已知tanA＝，∠A是锐角，则∠A的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
2．（2023秋•广饶县期中）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45°B．75°C．105°D．120°
3．（2023秋•乐亭县期中）在△ABC中，若，则∠C的度数是（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
4．（2023春•拱墅区校级期中）若csA＝，则锐角∠A＝ ．
题型2.直接利用特殊角的三角函数值计算
5．（2023秋•槐荫区期中）2cs45°的值等于（ ）
A．B．C．1D．2
6．（2023秋•苏州期中）cs60°的值等于（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋•昌黎县期中）计算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cs30°＝ ．
8．（2023秋•槐荫区期中）计算：2cs30°﹣tan60°+sin45°cs45°．
题型3.利用特殊角的三角函数值判定三角形的形状
9.若△ABC中，锐角A、B满足，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
10．（2023春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）在中，都是锐角，，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形
11．（2023秋•惠山区校级月考）在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tanA，csB恰为一元二次方程2x2﹣3mx+3＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状．
题型4.特殊三角函数值与平面直角坐标系
12．（2022秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023秋·重庆巴南·九年级校考开学考试）如图，在等腰中，，，点D为中点，点P从点D出发，沿方向以每秒的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，的面积为．
根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化规律进行探究．
(1)直接写出y与x的函数关系式，注明x的取值范围，并画出y的函数图像；
(2)观察y的函数图像，写出一条该函数的性质；
(3)观察图像，直接写出当时，x的值______．（保留1位小数，误差不超过）
14．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图1，在菱形中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度沿运动到点B， 然后以同样速度沿运动到点C停止．设当点E的运动时间为x秒时，长为y．下面是小聪的探究过程，请补充完整．
(1)根据三角函数值小聪想到连接交于点O（如图2），请同学们帮忙求的长．
(2)小聪学习了函数知识后，运用函数的研究经验，对y与x的变化规律进行了下列探究，根据点E在上运动到不同位置进行画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值，并画出了函数图象（如图3）：
请同学们继续探究点E在上的运动情况，在同一坐标系中补全图象，并写出这个函数的两条性质．
(3)结合图象探究发现时，x有四个不同的值．求y取何值时，x有且仅有两个不同的值．
题型5.特殊三角函数值的应用
15．（2023春·陕西铜川·九年级铜川市第一中学校考阶段练习）如图，四边形ABCD是矩形，以点A为圆心、AD为半径画弧交BC于
点E．DF⊥AE于F．若E恰好为BC的中点.
⑴ ∠BAE＝ °；
⑵ DF平分AE吗？证明你的结论.
16．（2022秋·四川达州·九年级统考期末）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：
如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H，使得，，连接EF，FG，GH，HE．
（1）判断四边形EFGH的形状，并证明；
（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且，，求AE的长．
17．（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）如图，矩形的对角线交于点O，点P在上，其中．
(1)证明：．
(2)若，求的值．
(3)设，和的面积分别为，求证：．
【方法三】差异对比法
易错点：将特殊角的三角函数值记混
1.求下列各式的值：
(1) 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；
(2) sin60°﹣4cs230°+sin45°•tan60°；
(3) +ct30°﹣．
【方法四】 仿真实战法
考法. 特殊角的三角函数值
1．（2022•天津）tan45°的值等于（ ）
A．2B．1C．D．
2．（2022•绥化）定义一种运算：
sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ，
sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ．
例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为 ．
3．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．
4．（2022•牡丹江）先化简，再求值．（x﹣）÷，其中x＝cs30°．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（23·24九年级上·河北邢台·阶段练习）下列三角函数的值是的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京海淀·模拟预测）在锐角中，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（22·23九年级上·黑龙江大庆·开学考试）设，则下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·广东深圳·模拟预测）计算的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（22·23九年级上·安徽滁州·阶段练习）正方形网格中，如图放置，则的值为( )
A．B．C．1D．
6．（22·23九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（22·23九年级上·福建泉州·期中）三角板是我们数学学习中必不可少的工具，利用三角板可以拼出很多角，现将一副含45°角和30°角的三角板按如图所示的方式放置，则的值为（ ）
A．B．C．D．无法确定
8．（23·24九年级上·山东济南·期中）的值等于（ ）
A．1B．C．D．2
9．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，边在轴正半轴上，，反比例函数的图象经过点A，且交菱形对角线于点D，轴于点，则长为（ ）
A．1B．3C．D．
10．（22·23九年级上·陕西西安·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点、，连接，与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
二、填空题
11．（22·23九年级下·山东临沂·期末）在中，，，则的值为 ．
12．（22·23九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）锐角满足，则 度．
13．（23·24九年级上·重庆·阶段练习）计算：．
14．（2022·湖北宜昌·模拟预测） ．
15．（23·24九年级上·山东淄博·阶段练习）若的余角是，则的值是 ．
16．（2023·陕西榆林·三模）如图，在菱形中，．点分别为四边的中点，连接，则 ．
17．（22·23九年级上·山东东营·期末）如图，一块含有的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，角的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，则k的值为 ．
18．（23·24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，等边中，点D在上，点E在上，，连接、交于点F，，，则的长为 ．
三、解答题
19．（23·24九年级上·福建泉州·期中）计算：
20．（23·24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算：
21．（2022·广东广州·模拟预测）计算：．
22．（21·22九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）先化简，再求代数式的值，其中．
23．（23·24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求代数式的值，其中．
24．（23·24九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，，求．
25．（23·24九年级上·河南郑州·阶段练习）（1）【问题探究】
如图1，在正方形中，对角线、相交于点．在线段上任取一点（端点除外），连接、．
①证明：：
②将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处．当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究与的数量关系为______．
（2）【迁移探究】
如图2，将正方形换成菱形，且，点位于中点，其他条件不变．探究与的数量关系为______．
26．（23·24九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点A逆时针旋转，得，点B，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α．
(1)如图1，若，连接，求的长度；
(2)如图2，若，求的坐标并直接写出的坐标；
(3)在（2）的条件下，边上的一点P旋转后的对应点为，请直接写出的最小值和此时点P的坐标．
x
0
1
2
3
4
5
y
5
4．82
4．84
5．06
5．46
6
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