广东省高州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试题

这是一份广东省高州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试题，共13页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区战内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工签，笔远清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章~第五章5.2.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函整，则函数在处的瞬时变化率为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
2.地物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ）
A.-7 B.2 C.-1 D.-4
4.如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ）
A. B. C. D.
5.已知等差数列的前项和为，则数列的公差是（ ）
A.-5 B.2 C.3 D.5
6.已知直线与圆相交于两点，且，则实数（ ）
A.或 B. C.或 D.
7.在数列中，，则的前2022项和为（ ）
A.1771 B. C. D.
8.如图，已知椭圆的左､右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知两条平行直线，直线，直线，直线之间的距离为，则的值可以是（ ）
A.-8 B.-6 C.2 D.4
10.已知为等差数列，满足为等比数列，满足，则下列说法正确的是（ ）
A.数列的首项为4 B.
C. D.数列的公比为
11.如图，在直三棱柱中，为上一点，为上一点，，则（ ）
A.直线和为异面直线
B.异面直线与的夹角为
C.
D.
12.已知抛物线，点是抛物线准线上的一点，过点作抛物线的切线，切点分别为，直线的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A.直线恒过定点 B.
C. D.的面积最小值为16
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在各项均为正数的等比数列中，，则__________.
14.曲线在点处的切线的倾斜角为__________.
15.已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则__________.
16.正四面体的棱长为6，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，的面积为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知数列的前项和为.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
已知椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）倾斜角为的直线过椭圆的左焦点并交椭圆于两点（为坐标原点），求的面积.
19.（本小题满分12分）
已知点在圆上，直线平分圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点且与圆相切的直线方程.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面平面.
（1）当时，证明平面；
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.
21.（本小题满分12分）
治理垃圾是市改善环境的重要举措.去年市产生的垃圾量为100万吨，通过扩大宣传､环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续6年，每年的垃圾排放量比上一年减少10万吨，从第7年开始，每年的垃圾排放量为上一年的.
（1）写出市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式；
（2）设为从今年开始年内的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由.
22.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过点作
垂直轴的直线交双曲线的渐近线分别于两点，且是面积为的等边三角形.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点在直线上，点在双曲线上，且焦点在以线段为直径的圆上，分别记直线的斜率为，求的值.
高州市2023~2024学年度第一学期高二期末教学质量监测·数学
参考答案､提示及评分细则
1.A 由，可得.故选A.
2.A 因为抛物线的标准方程为，所以焦点坐标为，故选A.
3.D 由直线平面，可得，有，得.故选D.
4.B 由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，又由双曲线的离心率为，有，可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.故选B.
5.B .故选B.
6.A 因为，所以点到直线的距离为，所以，解得或.故选.
7.C 因为，所以，而，所以数列是以4为周期的周期数列，所以的前2022项和.故选C.
8.B 设椭圆的焦距为，有，在中，由余弦定理有，有，可得，有.在中，由余弦定理有，可得.故选B.
9.BC 根据题意得直线可化为之间的距离或-6.故选BC.
10.BCD 设的公差为，由，得不确定，错误，B正确；C正确，D正确.故选BCD.
11.BCD 由，可得四点共面，直线和共面，故选项错误；
由，可得异面直线与的夹角为，故选项正确；
由，有，有，有，有，有，故选项C正确；
由向量两两垂直，有，有，故选项D正确.故选BCD.
12.ACD 设，因为.所以，所以在点处的切线方程为，即.同理可得，在点处的切线方程为.所以，直线的方程为，直线恒过定点.故正确；由得.所以，所以，故B错误，C正确；，点到直线的距离，所以的面积，所以.故D正确.故选ACD.
13.3 .
14. 由，则倾斜角为.
15. 因为，所以，即，又.
16. 由正四面体的棱长为6，则其高为，
则其体积为，
设正四面体内切球的半径为，
则，解得，
如图，取的中点为，
则，
显然，当的长度最小时，取得最小值，
设正四面体内切球的球心为，可求得，
则球心到点的距离，
所以内切球上的点到点的最小距离为是的
中点，点共线，在中，边上的高为.
.
17.解：（1）且，有，
当时，有，
两式相减得，
当时，由，适合，
所以
（2）由（1）知，
所以
.
18.解：（1）根据题意得，
椭圆的标准方程为；
（2）直线的倾斜角为，可得斜率，左焦点为的方程为，
直线与椭圆联立，
设
到的距离.
19.解：（1点在圆上，且直线平分圆，
点所成线段的中垂线过圆心，
此中垂线与直线的交点即为圆心，
点所成线段的中垂线为：，
即，则，圆'C的半径圆
（2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切，
②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为，
有，解得，
可得切线方程为，整理为，
由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.
20.解：（1）如图，过点作的平行线，与相交于点，连接，
，
，
四边形是平行四边形，
又平面平面平面；
（2）如图，取的中点的中点，连，
，
平面平面，平面平面平面，
，
，
由两两垂直，以为坐标原点，向量方向分别为
轴方向建立如图所求的空间直角坐标系，
可得，
设平面的法向量为，由，
有，取，可得，
设平面的法向量为，由，
.
有，取，可得，
由和平面与平面的夹角的余弦值为，
有，平方后整理为，解得或（舍去），
故若平面与平面的夹角的余弦值为，可得的值为.
21.解：（1）设治理年后，市的年垃圾排放量构成数列.
当时，是首项为，公差为-10的等差数列，
所以；
，
当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
所以，治理年后，市的年垃圾排放量的表达式为
（2）设为数列的前项和，
则.
由于
，
由（1）知，时，，所以为递减数列，
时，，所以为递减数列，
且，所以为递减数列，
于是，因此.
所以数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的.
22.解：（1）是面积为的等边三角形，
，又，
故双曲线的标准方程为；
（2）设点的坐标为，设点的坐标为，
由点在双曲线上，有，
又由点在以线段为直径的圆上，可得，
由，有，有，可得，
又由
，
有，
故的值为.