广东省茂名市电白区2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题

这是一份广东省茂名市电白区2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，正方体的棱长为1，设，，，则（ ）
A．1B．C．0D．2
3．若点在圆内，则直线与此圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相离C．相交D．无法确定
4．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中正午时刻日影最长的一天被定为冬至，从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（ ）
A．25.5尺B．34.5尺C．37.5尺D．96尺
5．过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点．若线段AB的中点横坐标为2，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．如图，正三棱柱的棱长都是1，M是BC的中点，（），且，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列满足，，且（，且），则（ ）
A．B．C．D．
8．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值。在棱长为1的正方体中，直线AC与之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如果，，那么直线经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．已知角，则方程可能表示下列哪些曲线（ ）
A．椭圆B．双曲线C．圆D．两条直线
11．一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆C：相切，在下列方程中，不是反射光线所在直线方程的是（ ）
A．B．C．D．
12．数列满足：，，，下列说法正确的是（ ）
A．数列为等比数列B．
C．数列是递减数列D．的前n项和
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知圆与圆，则两圆心之间的距离为_。
14．已知双曲线的两个焦点分别为与，M是双曲线上的一点，且，则。
15．已知数列满足：，则。
16．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为、，点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为_。
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（满分10分）
已知等比数列的前n项和为，若，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
18．（满分12分）
已知圆与相交于A、B两点，
（1）求AB的长；
（2）求圆心在直线上，且经过A，B两点的圆的方程。
19．（满分12分）
已知点和圆Q：，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B，
（1）求切线PA，PB的长；
（2）求直线AB的方程。
20．（满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PCL底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，，点E在棱PB上．
（1）证明：平面EAC⊥平面PBC；
（2）当2E时，求二面角P-AC-E的余弦值．
21．（满分12分）
已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米．
（1）建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程；
（2）当水面上涨0.5米时，木船能否通行？
（3）当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？
22．（满分12分）
已知椭圆：（）的上顶点为A，离心率为．抛物线：截x轴所得的线段长为的长半轴长．
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点的直线l与C相交于B，C两点，直线AB，AC分别与相交于P，Q两点
①证明：直线AB与直线AC的斜率之积为定值；
②记△ABC和△APQ的面积分别是，，求的最小值．
2023-2024学年度第一学期期末质量监测
高二数学参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
详解
1．解：由题意知，，所以，
所以双曲线的方程为．
2．解法1：
解法2：
3．解：因为点在圆内，所以，故圆心到直线的距离，所以直线与此圆相离．
4．解：设从冬至起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，
设冬至日的日影长为尺，公差为尺，
∵冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，
∴，解得，，
∴大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为：（尺）．
5．解：，
6．解法1：建立空间直角坐标系如图，则，，，
，，设，由
得，所以，，，
，，因为，
，所以，得。
解法2：，，
因为，所以
得，所以
7．解：由得，所以数列为等比数列，首项为1，公比为，所以
8．解法1：设是上任意一点，过作，垂足为
设，
则
，，
∵，∴，即，
∴，．
，所以直线与之间距离是
解法2：以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，
设，且，，则，
得，取，，，，则在上的投影就是两异面直线间的距离。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．解：直线斜率，在y轴上的截距，所以直线经过第一、三、四象限。
10．解：当时，方程表示双曲线；当时，方程表示两条直线：；当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程表示圆．故选ABCD
11．解：反射光线所在直线经过点A关于轴对称的点，圆心，半径为1
设反射光线所在直线方程为，因为反射光线与圆C相切，所以
，解得，，代入方程得
，，即反射光线所在直线方程为
，，故选AD．
12．解：
∵数列满足：，，，
∴，∴，
，∴数列是首项为，公比为3的等比数列，故A正确；
，∴，故B正确；
数列是递增数列，故C错误；
数列的前项和为：，
∴的前项和，故D错误．故选：AB．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．514．915．16．
13．解：两圆心坐标分别为，，所以两圆心之间的距离为5。
14．解：因为，且，所以，或，
因为，所以舍去，即
因为，所以）。
15．解：
设，的前项和为，则=2，当时，，即
，当时，，满足题意，所以，．
16．解法1：
设，，，
则，，，
因为，所以，
因为，所以，，得，，
代入椭圆方程得，又因为，所以
两边除以，得，即，得，（舍去）
所以
解法2：
设，则，
因为，所以，
因为，所以，
得，
即，得，（舍去）
因为，所以
得，得
把代入得，所以
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解：
（1）由题意可知
解得，所以数列的通项公式为．
（2），因为，所以是等差数列
数列的前项和．
18．
（1）解法1：两圆方程相减得即
圆的圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，由垂径定理得
解法2：由得或不妨设
所以
（2）解法1：由得或，不妨设，
的垂直平分线为，由得圆心坐标为，半径长为，所以圆的方程为
解法2：
圆的圆心为，的圆心为，经过两圆交点的圆的圆心在这两圆心所在直线OM：上，由得圆心坐标为，两圆方程相减得即AB的方程为
点N到AB的距离，半径长为：，所以圆的方程为
解法3：设经过A，B两点的圆的方程为，即
，其圆心坐标为
因为圆心在直线上，所以解得
所以圆心在直线上，且经过A，B两点的圆的方程为
19．解：
（1）圆的圆心为，半径，，则
因为故
所以，的长都是
（2）解法1：因为，，所以A、B都在以为直径的圆上，圆心为的中点，半径长为，所以圆的方程为
，即，
由得，故直线的方程为。
解法2：因为，所以A、B都在以为直径的圆上，又知、，故以为直径的圆的方程为，即
由得，故直线的方程为。
20．（1）因为底面，平面，所以．
因为，，所以．
所以，所以．
又因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．
又平面EAC，所以平面平面PBC．
（2）解法一：以点C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．
设点E的坐标为，因为，所以，
即，，，所以．
所以，．
设平面ACE的一个法向量为，则．
所以，取，则，．
所以平面ACE的一个法向量为．
又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．
设平面PAC与平面ACE的夹角为，
则．
所以，二面角的余弦值为．
解法二：取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．所以，因为，
所以，
故
设平面ACE的一个法向量为，则．
所以，取，则，．
所以，平面ACE的一个法向量为．
又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．
设平面PAC与平面ACE的夹角为，
则．
所以，二面角的余弦值为．
21．解：
（1）以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系．设抛物线的方程为，则点在抛物线上，代入方程得，所以抛物线的方程为
当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米，
设，代入方程得，故，则
，所以木船能通行；
假设当水面上涨米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为，把代入方程，得，故，由，得．
所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行．
22．解：
（1）已知抛物线：中，令，解得，所以，因为，所以，从而，
∴椭圆的方程为：；
（2）①直线的斜率显然存在，设方程为．
由，整理得，
设，，则，，，
由已知，所以AB，AC的斜率分别为，
，故，
所以直线与直线的斜率之积为定值；
②设直线AB：，显然，由，解得：或，
∴，则，
由①知，直线AC：，则，
由，得，解得或，
，则，
由①知，直线AC：，，
则
当且仅当时等号成立，即最小值为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
A
C
C
A
D
题号
9
10
11
12
答案
ACD
ABCD
AD
AB