+浙江省杭州市西湖区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份+浙江省杭州市西湖区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷，共25页。
A．1B．2C．D．3
2．（3分）下列选项中，能说明命题“对于任何实数a，都有a2＞a”是假命题的a的值可以是（ ）
A．﹣2B．0C．2D．4
3．（3分）若关于x的不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集为x＞1，则m的值可以取（ ）
A．0B．2C．4D．6
4．（3分）若一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣x+2的图象关于y轴对称，则k＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（3分）△ABC中，AD是中线，点D到AB，AC的距离相等，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
6．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（其中k1k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论中一定正确的是（ ）
A．k1+k2＜0B．k1k2＞0C．b1+b2＜0D．b1b2＞0
7．（3分）在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，取AB边上的中点E，连接DE，则∠ADE＝（ ）°．
A．18B．36C．54D．72
8．（3分）若一次函数y＝kx+k的图象经过点A，且y随着x的增大而增大，则点A的坐标可以是（ ）
A．（﹣2，1）B．（0，0）C．（1，1）D．（2，﹣4）
9．（3分）甲乙两人去超市购物，超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券，若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为120元，则x的取值范围是（ ）
A．56≤x＜76B．56≤x＜80C．60≤x＜76D．60≤x＜80
10．（3分）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D，点F是AB的中点，连接DF，EF，设∠ACB＝x°，∠DFE＝y°，则（ ）
A．B．y＝x﹣30C．y＝90﹣xD．y＝180﹣2x
二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分，
11．（3分）已知点A的坐标是（2，a），将其向下平移1个单位后的坐标是（2，2），则a的值是 ．
12．（3分）直角三角形斜边上的中线长是2.5，一条直角边是4，则另一直角边长为 ．
13．（3分）如图，图中的折线OABC反映了圆圆从家到学校所走的路程S（m）与时间t（min）的函数关系，其中，OA所在直线的表达式为y＝k1x（k1≠0），BC所在直线的表达式为y＝k2x+b（k2≠0），则k2﹣k1＝ ．
14．（3分）如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，则DE＝ m．
15．（3分）在“探索一次函数y＝kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，0），B（1，2），C（3，3）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3，请分别计算2k1+b1，2k2+b2，2k3+b3的值，其中最小的值为 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，△CDE沿CE折叠得到△CFE，且点B，F，E三点共线，连接DF，若，DE＝3，则AE＝ ，DF＝ ．
三.解答题：本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，已知∠B＝∠DEF，BE＝CF．下面给出四个条件：①AC＝DF；②AB＝DE；③AC∥DF；④∠A＝∠D．请你从中任选一个条件，使得△ABC≌△DEF，并写出证明过程．
18．（6分）已知直线y＝mx（m≠0）与直线y＝kx+4（k≠0）的交点坐标为P（1，3），
（1）试确定方程组的解．
（2）直接写出方程组的解．
19．（8分）如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC，交AC于点F．已知∠AFE＝60°．
（1）求∠FEC的度数．
（2）若点F是AC的中点，请判断△AEF的形状，并说明理由．
20．（8分）已知y是x的一次函数，当x＝1时，y＝﹣5；当x＝3时，y＝1．
（1）求一次函数的表达式．
（2）若点A（m，n）在该一次函数图象上，求代数式（n﹣3）（m+1）﹣mn的值．
21．（10分）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：a@b＝a﹣2b，例如5@3＝5﹣6＝﹣1，5@（﹣3）＝5﹣（﹣6）﹣11．
（1）比较8@2与2@（﹣1）的大小，并说明理由．
（2）若x@2＜1，求x的取值范围．
（3）若不等式组的解集为x＜2，求m的取值范围．
22．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点，CD＝AE．
（1）求证：DG⊥CE．
（2）若AF＝EF，求∠B的度数．
23．（12分）综合与实践
【情境描述】
圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高40cm的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．
【观察发现】
圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
【建立模型】
（1）请根据上表中的信息，在平面直角坐标系中描出对应点，观察这些点的分布规律，试求h关于x的函数表达式．
（2）当杯子的数量为12只时，求这摞杯子的总高度．
【解决问题】
请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，点P为线段BC上任意一点（P与B，C不重合），连接AP．
（1）若BC＝16，AB＝10，
①求AP的最小值．
②当AP＝7时，求BP的长．
（2）若AB＝m，AP＝n，请用含m，n的代数式表示BP•PC，并说明理由．
2023-2024学年浙江省杭州市西湖区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）已知点A的坐标为（1，2），则点A到x轴的距离为（ ）
A．1B．2C．D．3
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值可得答案．
【解答】解：已知点A的坐标为（1，2），则点A到x轴的距离为|2|＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
2．（3分）下列选项中，能说明命题“对于任何实数a，都有a2＞a”是假命题的a的值可以是（ ）
A．﹣2B．0C．2D．4
【分析】根据题意、乘方的意义举例即可．
【解答】解：A、当a＝﹣2时，a2＝4，
∴a2＞a，不符合题意；
B、当a＝0时，a2＝0，
∴a2＝a，符合题意；
C、当a＝2时，a2＝4，
∴a2＞a，不符合题意；
D、当a＝4时，a2＝16，
∴a2＞a，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确举出反例是解题的关键．
3．（3分）若关于x的不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集为x＞1，则m的值可以取（ ）
A．0B．2C．4D．6
【分析】根据不等式的基本性质3求解即可．
【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集为x＞1，
∴m﹣1＜0，
则m＜1，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质3．
4．（3分）若一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣x+2的图象关于y轴对称，则k＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由直线y＝﹣x+2，知与x轴交于（2，0），与y轴交于（0，2），根据轴对称性质，直线y＝kx+b经过点（﹣2，0），（0，2），建立二元一次方程组求解．
【解答】解：直线y＝﹣x+2，x＝0时，y＝2；y＝0时，x＝2；
∴直线y＝﹣x+2与x轴交于（2，0），与y轴交于（0，2）．
∴直线y＝kx+b经过点（﹣2，0），（0，2）．
∴，
解得k＝1．
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根据轴对称的性质求点的坐标是解题的关键．
5．（3分）△ABC中，AD是中线，点D到AB，AC的距离相等，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【分析】根据中线的性质得出S△ABD＝S△ACD，再由点D到AB，AC的距离相等，得出AB＝AC，从而得出△ABC一定是等腰三角形．
【解答】解：∵AD是中线，
∴S△ABD＝S△ACD，
∵D到AB，AC的距离相等，
∴AB＝AC，
∴△ABC一定是等腰三角形，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
6．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（其中k1k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论中一定正确的是（ ）
A．k1+k2＜0B．k1k2＞0C．b1+b2＜0D．b1b2＞0
【分析】根据一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象位置，可得k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＜0，然后逐一判断即可解答．
【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过第一、二、三象限，
∴k1＞0，b1＞0，
∵一次函数y＝k2x+b2的图象过第一、三、四象限，
∴k2＞0，b2＜0，且|b1|＞|b2|，
∵A、k1+k2＜0，
故A不符合题意；
B、k1k2＞0，
故B符合题意；
C、b1+b2＞0，
故C不符合题意；
D、b1•b2＜0，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的位置与系数的关系是解题的关键．
7．（3分）在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，取AB边上的中点E，连接DE，则∠ADE＝（ ）°．
A．18B．36C．54D．72
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外形性质求出∠ABC＝∠C＝2∠A，根据三角形内角和定理求出∠A＝36°，根据等腰三角形的性质求出DE⊥AB，再根据直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，
∵BD＝BC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠BDC＝2∠A，
∴∠ABC＝∠C＝2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A＝36°，
∵BD＝AD，E是AB边的中点，
∴DE⊥AB，
∴∠A+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝54°，
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
8．（3分）若一次函数y＝kx+k的图象经过点A，且y随着x的增大而增大，则点A的坐标可以是（ ）
A．（﹣2，1）B．（0，0）C．（1，1）D．（2，﹣4）
【分析】由y随着x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k＞0，再代入各选项中点的坐标，求出k值，取k＞0的选项即可．
【解答】解：∵y随着x的增大而增大，
∴k＞0．
A．当点A的坐标为（﹣2，1）时，﹣2k+k＝1，
解得：k＝﹣1＜0，不符合题意；
B．当点A的坐标为（0，0）时，0＝k，不符合题意；
C．当点A的坐标为（1，1）时，k+k＝1，
解得：k＝＞0，符合题意；
D．当点A的坐标为（2，﹣4）时，2k+k＝﹣4，
解得：k＝﹣＜0，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
9．（3分）甲乙两人去超市购物，超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券，若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为120元，则x的取值范围是（ ）
A．56≤x＜76B．56≤x＜80C．60≤x＜76D．60≤x＜80
【分析】根据“甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券”列不等式组求解．
【解答】解：由题意得：，
解得：56≤x＜76，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找到相等关系是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D，点F是AB的中点，连接DF，EF，设∠ACB＝x°，∠DFE＝y°，则（ ）
A．B．y＝x﹣30C．y＝90﹣xD．y＝180﹣2x
【分析】由垂直的定义得到∠ADB＝∠BEA＝90°，根据直角三角形的性质得到AF＝DF，BF＝EF，根据等腰三角形的性质得到∠DAF＝∠ADF，∠EFB＝∠BEF，于是得到结论．
【解答】解：∵AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D，
∴∠ADB＝∠BEA＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝DF，BF＝EF，
∴∠DAF＝∠ADF，∠EBF＝∠BEF，
∴∠AFD＝180°﹣2∠CAB，∠BFE＝180°﹣2∠ABC，
∴∠DFE＝180°﹣∠AFD﹣∠BFE＝2（∠CAB+∠CBA）﹣180°＝2（180°﹣∠ACB）﹣180°＝180°﹣2∠ACB，
∴y＝180°﹣2x，
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分，
11．（3分）已知点A的坐标是（2，a），将其向下平移1个单位后的坐标是（2，2），则a的值是 3 ．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，列式计算即可．
【解答】解：∵点A的坐标是（2，a），将其向下平移1个单位后的坐标是（2，2），
∴a﹣1＝2，
∴a＝3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
12．（3分）直角三角形斜边上的中线长是2.5，一条直角边是4，则另一直角边长为 3 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长度，再根据勾股定理求出另一条直角边即可．
【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线长是2.5，
∴斜边为2×2.5＝5，
∵一条直角边是4，
∴另一直角边长为＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质，能求出斜边的长是解此题的关键．
13．（3分）如图，图中的折线OABC反映了圆圆从家到学校所走的路程S（m）与时间t（min）的函数关系，其中，OA所在直线的表达式为y＝k1x（k1≠0），BC所在直线的表达式为y＝k2x+b（k2≠0），则k2﹣k1＝ 50 ．
【分析】用待定系数法求出k1，k2即可．
【解答】解：把（12，600）代入y＝k1x得：k1＝＝50；
把（20，600），（28，1400）代入y＝k2x+b得：
，
解得，
∴k2﹣k1＝100﹣50＝50．
故答案为：50．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
14．（3分）如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，则DE＝ 2 m．
【分析】由于BC、DE垂直于横梁AC，可得BC∥DE，而D是AB中点，可知AB＝BD，利用平行线分线段成比例定理可得AE：CE＝AD：BD，从而有AE＝CE，即可证DE是△ABC的中位线，可得DE＝BC，在Rt△ABC中易求BC，进而可求DE．
【解答】解：如图所示，
∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，
∴BC∥DE，
∵D是AB中点，
∴AD＝BD，
∴AE：CE＝AD：BD，
∴AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
在Rt△ABC中，BC＝AB＝4，
∴DE＝2．
故答案是2．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半．解题的关键是证明DE是△ABC的中位线．
15．（3分）在“探索一次函数y＝kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，0），B（1，2），C（3，3）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3，请分别计算2k1+b1，2k2+b2，2k3+b3的值，其中最小的值为 2 ．
【分析】不妨设直线AB的函数表达式为y1＝k1x+b1，直线AC的函数表达式为y2＝k2x+b2，直线BC的函数表达式y3＝k3x+b3，根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出k1，b1，k2，b2，k3，b3的值，再求出2k1+b1，2k2+b2，2k3+b3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：不妨设直线AB的函数表达式为y1＝k1x+b1，直线AC的函数表达式为y2＝k2x+b2，直线BC的函数表达式y3＝k3x+b3，
∵点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，2），点C的坐标为（3，3），
∴，，，
解得：，，，
∴2k1+b1＝2×2+0＝4，2k2+b2＝2×1+0＝2，2k3+b3＝2×+＝．
又∵2＜＜4，
∴其中最小的值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的图象，根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法求出k1，b1，k2，b2，k3，b3的值是解题的关键．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，△CDE沿CE折叠得到△CFE，且点B，F，E三点共线，连接DF，若，DE＝3，则AE＝ ，DF＝ ．
【分析】设CE交DF于H，AD＝BC＝x，AB＝CD＝y，在Rt△BFC中，（）2+y2＝x2①，在Rt△ABE中，y2+（x﹣3）2＝（）2②，①﹣②得：﹣（x﹣3）2＝x2﹣，可解得AD＝，CD＝y＝4，故AE＝AD﹣DE＝﹣3＝；CE＝＝5，根据面积法有DH＝＝＝＝FH，故DF＝DH+FH＝．
【解答】解：设CE交DF于H，如图：
设AD＝BC＝x，AB＝CD＝y，
∵△CDE沿CE折叠得到△CFE，
∴CF＝CD＝y，∠EDC＝∠EFC＝90°＝∠BFC，EF＝DE＝3，
∵，
∴BF＝BE﹣EF＝﹣3＝，
在Rt△BFC中，BF2+CF2＝BC2，
∴（）2+y2＝x2①，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∴y2+（x﹣3）2＝（）2②，
①﹣②得：﹣（x﹣3）2＝x2﹣，
解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴AD＝，CD＝y＝＝4，
∴AE＝AD﹣DE＝﹣3＝；CE＝＝＝5，
∵△CDE沿CE折叠得到△CFE，
∴DF⊥CE，DH＝FH，
∴2S△DCE＝DE•CD＝CE•DH，
∴DH＝＝＝＝FH，
∴DF＝DH+FH＝；
故答案为：，．
【点评】本题考查矩形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，矩形性质及应用，解题的关键是掌握翻折前后的对应线段相等，对应角相等．
三.解答题：本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，已知∠B＝∠DEF，BE＝CF．下面给出四个条件：①AC＝DF；②AB＝DE；③AC∥DF；④∠A＝∠D．请你从中任选一个条件，使得△ABC≌△DEF，并写出证明过程．
【分析】由全等三角形的判定，即可解决问题．
【解答】解：选一个条件；②AB＝DE（答案不唯一），理由如下：
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC≌△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
18．（6分）已知直线y＝mx（m≠0）与直线y＝kx+4（k≠0）的交点坐标为P（1，3），
（1）试确定方程组的解．
（2）直接写出方程组的解．
【分析】（1）根据方程组的解就是交点坐标写出即可．
（2）根据中心对称的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）∵直线y＝mx（m≠0）与直线y＝kx+4（k≠0）的交点坐标为P（1，3），
∴方程组的解为．
（2）方程组的解为．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
19．（8分）如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC，交AC于点F．已知∠AFE＝60°．
（1）求∠FEC的度数．
（2）若点F是AC的中点，请判断△AEF的形状，并说明理由．
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠AFE＝∠ACB＝60°，再利用角平分线的定义可得∠ACE＝∠ECB＝30°，然后利用平行线的性质可得∠FEC＝∠ECB＝30°，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得：∠FEC＝∠ACE＝30°，从而可得FE＝FC，再根据线段的中点定义可得AF＝FC，从而可得AF＝EF，然后根据等边三角形的判定即可解答．
【解答】解：（1）∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠ACB＝60°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB＝∠ACB＝30°，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠ECB＝30°，
∴∠FEC的度数为30°；
（2）△AEF是等边三角形，
理由：由（1）得：∠FEC＝∠ACE＝30°，
∴FE＝FC，
∵点F是AC的中点，
∴AF＝FC，
∴AF＝EF，
∵∠AFE＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
【点评】本题考查了平行线的性质，等边三角形的判定，熟练掌握平行线的性质，以及等边三角形的判定是解题的关键．
20．（8分）已知y是x的一次函数，当x＝1时，y＝﹣5；当x＝3时，y＝1．
（1）求一次函数的表达式．
（2）若点A（m，n）在该一次函数图象上，求代数式（n﹣3）（m+1）﹣mn的值．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）利用一次函数解析式得到n﹣3m＝﹣8，再把（n﹣3）（m+1）﹣mn运算得到n﹣3m﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）设一次函数解析式求为y＝kx+b，
∵x＝1，y＝﹣5；x＝3时，y＝1，
∴，
解得，
∴一次函数解析式求为y＝3x﹣8；
（2）把A（m，n）代入y＝3x﹣8得n＝3m﹣8，
∴n﹣3m＝﹣8，
∴（n﹣3）（m+1）﹣mn＝mn+n﹣3m﹣3﹣mn＝n﹣3m﹣3＝﹣8﹣3＝﹣11．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征．
21．（10分）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：a@b＝a﹣2b，例如5@3＝5﹣6＝﹣1，5@（﹣3）＝5﹣（﹣6）﹣11．
（1）比较8@2与2@（﹣1）的大小，并说明理由．
（2）若x@2＜1，求x的取值范围．
（3）若不等式组的解集为x＜2，求m的取值范围．
【分析】（1）先根据关于@的一种运算的法则计算8@2＝8﹣2×2＝4，2@（﹣1）＝2﹣2×（﹣1）＝4，由此可比较8@2与2@（﹣1）的大小；
（2）先计算x@2＝x﹣4，然后将不等式x@2＜1可转化为x﹣4＜1，解此不等式可得x的取值范围；
（3）先计算3@（m﹣x）＝3﹣2m+2x，因此可将不等式3@（m﹣x）＜5可转化为3﹣2m+2x＜5，由此可解得x＜m+1，然后根据不等式组3@（m﹣x）＜5，x＜2的解集为x＜2，得m+1≤2，解此不等式即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）8@2＝2@（﹣1），理由如下：
∵a@b＝a﹣2b，
∴8@2＝8﹣2×2＝4，2@（﹣1）＝2﹣2×（﹣1）＝4，
∴8@2＝2@（﹣1）；
（2）∵x@2＝x﹣2×2＝x﹣4，
∴不等式x@2＜1可转化为：x﹣4＜1，
∴x＜5；
（3）∵3@（m﹣x）＝3﹣2（m﹣x）＝3﹣2m+2x，
∴不等式3@（m﹣x）＜5可转化为：3﹣2m+2x＜5，
∴x＜m+1，
∵不等式组组的解集为x＜2，
∴m+1≥2，
∴m≥1．
【点评】此题主要考查了有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，理解题目中给出的新定义运算的法则，及一元一次不等式组的解集，熟练掌握有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组是解决问题的关键．
22．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点，CD＝AE．
（1）求证：DG⊥CE．
（2）若AF＝EF，求∠B的度数．
【分析】（1）连接DE，根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，等量代换得到DE＝CD，根据等腰三角形的性质得到结论．
（2）根据余角的性质得到∠B+∠BAD＝90°，求得∠BAD＝90°﹣∠B，根据等腰三角形的性质得到∠AEF＝∠BAF＝90°﹣∠B，∠DEC＝∠ECD，设∠DEC＝∠ECD＝α，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接DE，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝90°，
∵CE是AB边上的中线，
∴，
∵AE＝CD，
∴DE＝CD，
∵点G为CE的中点，
∴DG⊥CE．
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B，
∵AF＝EF，
∴∠AEF＝∠BAF＝90°﹣∠B，
∵DE＝CD，
∴∠DEC＝∠ECD，
设∠DEC＝∠ECD＝α，
∵∠AEC＝∠B+∠BCE，
∴90°﹣∠B+α＝∠B+α，
∴∠B＝45°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
23．（12分）综合与实践
【情境描述】
圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高40cm的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．
【观察发现】
圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
【建立模型】
（1）请根据上表中的信息，在平面直角坐标系中描出对应点，观察这些点的分布规律，试求h关于x的函数表达式．
（2）当杯子的数量为12只时，求这摞杯子的总高度．
【解决问题】
请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？
【分析】[建立模型]
（1）先描点，再得出结论，然后用待定系数法求函数解析式；
（2）把x＝12代入解析式求出y的值即可；
[解决问题]
把y＝40代入解析式求出x即可．
【解答】解：[建立模型]
（1）描点，连线，
根据点的分布规律可知，h关于x的函数关系式满足一次函数，
设h关于x的函数关系式为h＝kx+b，
则，
解得，
∴h关于x的函数关系式为h＝1.4x+8.6；
（2）当x＝12时，y＝1.4×12+8.6＝25.4，
∴这摞杯子的总高度25.4cm；
[解决问题]
当y＝40时，1.4x+8.6＝40，
解得x＝≈22.4，
∴一摞最多能叠22个杯子，可以一次性放进柜子里．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，点P为线段BC上任意一点（P与B，C不重合），连接AP．
（1）若BC＝16，AB＝10，
①求AP的最小值．
②当AP＝7时，求BP的长．
（2）若AB＝m，AP＝n，请用含m，n的代数式表示BP•PC，并说明理由．
【分析】（1）①过点A作AD⊥BC于点D，当点P与点D重合时，AP最小，由勾股定理可得出答案；
②由勾股定理求出PD，则可得出答案；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，由勾股定理得出AB2＝m2＝AE2+BE2①，AP2＝n2＝AE2+PE2②，①﹣②可得出答案．
【解答】解：（1）①过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC，BC＝16，
∴BD＝CD＝8，
∵AB＝10，
∴＝＝6，
当点P与点D重合时，AP最小，
∴AP的最小值为6；
②∵PA＝7，AD＝6，
∴PD＝＝＝，
∴BP＝BD﹣DP＝8﹣；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，由（1）可知BE＝CE，
在Rt△ABE中，AB2＝m2＝AE2+BE2①，
在Rt△APE中，AP2＝n2＝AE2+PE2②，
①﹣②得，
m2﹣n2＝BE2﹣PE2＝（BE+PE）（BE﹣PE）
＝（CE+PE）BP
＝CP•BP．
即BP•PC＝m2﹣n2．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂线段的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．杯子的数量x（只）
1
2
3
4
5
6
…
总高度h（cm）
10
11.4
12.8
14.2
15.6
17
…
杯子的数量x（只）
1
2
3
4
5
6
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总高度h（cm）
10
11.4
12.8
14.2
15.6
17
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