安徽省皖北六校2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题

这是一份安徽省皖北六校2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题，共9页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，若，则“”是“”的，若正数，满足，则的最大值为，已知命题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：北师大版必修第一册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A.B.C.D.以上都不正确
2.某校为了了解高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是
A.抽签法B.随机数法
C.分层随机抽样法D.除以上方法外的其他方法
3.不等式的解集为
A.B.
C.D.
4.用二分法求函数的零点时，初始区间可选为
A.B.C.D.
5.若，则“”是“”的
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
6.若正数，满足，则的最大值为
A.B.C.9D.6
7.当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为，该生物体内碳14所剩质量与死亡年数的函数关系为
A.B.
C.D.
8.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，，，则，，的大小关系为
A.B.C.D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知命题：，，则
A.是真命题B.：，
C.是真命题D.：，
10.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，则互斥的两个事件是
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“都是红球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
11.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是
A.的值为0.005B.估计成绩低于60分的有25人
C.估计这组数据的众数为75D.估计这组数据的第85百分位数为86
12.设函数若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则
A.B.
C.D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.______.
14.已知幂函数是偶函数，则______.
15.在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙分在不同小组的概率为______.
16.若函数在区间上的最大值为，最小值为，则______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）某果园试种了，两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记，两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和.
（1）求，，，；
（2）果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适？并说明理由.
18.（本小题满分12分）
已知集合，.
（1）若，求；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知是二次函数，且，.
（1）求的解析式；
（2）求在区间上的最大值.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若为奇函数，证明：；
（2）讨论的单调性。
21.（本小题满分12分）
与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响.
（1）求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率；
（2）若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对于，恒成立，求实数的取值范围.
2023~2024学年度第一学期高一年级期末联考·数学
参考答案、提示及评分细则
1.B 由集合间的包含关系可知.故选B.
2.C ∵高一、高二、高三三个年级之间学生视力存在差异，且对于统计结果有影响，∴抽取部分学生进行调查时，合理的抽样方法为：分层随机抽样法.故选C.
3.C 原不等式可化为，解集为.故选C.
4.A ，，，，，则，即初始区间可选.故选A.
5.D 若，，，所以“”不能得出“”；若，，，所以“”不能得出“”.综上，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.
6.A 因为，所以，，，当且仅当，时取等号.故选A.
7.B 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，将刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，根据经过年衰减为原来的一半，则，即，且生物体内碳14原有初始质量为，所以生物体内碳14所剩质量与死亡年数的函数关系为，即.故选B.
8.D ∵是定义在上的偶函数，且在上单调递增，∴在上是减函数.，∵，∴，即.故选D.
9.AD 命题：，，则：，，所以B错误，D正确；又因为当时，；当时，，所以命题假，是真命题，故A正确，C错误.故选AD.
10.BD 对于A中，当从口袋中取出两个黑球时，事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B中，从口袋中取出两个球，事件“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但必有一个事件发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，符合题意；对于C中，当从口袋中取出一红一黑时，事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件，所以C不符合题意；对于D中，事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，当取出两个红球时，事件都没有发生，所以事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥事件但不是对立事件，符合题意.故选BD.
11.ACD 对于A，由，得，故A正确；对于B，估计成绩低于60分的有人，故B错误；对于C，由众数的定义知，估计这组数据的众数为75，故C正确；对于D，设这组数据的第85百分位数为，则，解得，故D正确.故选ACD.
12.BC 如图，作出函数的图象，由题意，直线与的图象有4个交点，由图象可知，且，，，所以，即，则，.当时，，，又，所以.故选BC.
13. 原式.
14.1 由于函数是幂函数，所以，解得或.当时，，是奇函数；当时，，是偶函数，符合题意，所以的值为1.
15. 这5名棋手分别记为：甲，乙，，，，则样本空间，共含有10个样本点.设事件表示“甲和乙分在不同小组”，则，所以甲和乙分在不同小组的概率为.
16.4 因为，令，，则，又因为，所以函数为奇函数，因为奇函数的图象关于原点对称，所以函数在区间上的最大值和最小值之和为0，即，所以.
17.解：（1），
，
，
.
（2）由可得，两个品种平均产量相等，
又，则品种产量较稳定，故选择品种.
18.解：（1），则，
若，则，
所以.
（2）若是的必要条件，则.
当时，即时，，符合题意；
当时，即时，，要满足，
可得，
解得，
综上，实数的取值范围为或.
19.解：（1）设，
∴，
故，
∵，即，
∴即
又∵，∴.
故.
（2）由（1）知的图象的对称轴方程为，
且在上单调递减，在上单调递增.
当时，；
当时，.
故在区间上的最大值
20.（1）证明：的定义域为，
对，都有，
又为奇函数，则必有，
即，
整理可得，命题得证.
（2）解：设，且，
，
易知，，又在上为增函数，，可得，
当时，，为增函数；
当时，，为常函数无单调性；
当时，，为减函数.
21.解：（1）设“甲答对”，“乙答对”，
则，，，，
“甲，乙两位同学恰有一个人答对”的事件为，且与互斥
由三人答题互不影响，知，互相独立，则与，与，与均相互独立，
则，
所以甲，乙两位同学恰有一个人答对的概率为.
（2）设“丙答对”，则，
设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人答对”，由（1）知，
，解得，
所以的值为.
22.解：（1）由题意可知，即.
令，则有，解得，所以，即.
所以不等式的解集为.
（2）由题意可知，即，
即.
又
令，
易知在上单调递减，
所以，所以，
因为，，所以.
故实数的取值范围为.
（单位：）
60
50
45
60
70
80
80
80
85
90
（单位：）
40
60
60
80
80
55
80
80
70
95