黑龙江省哈尔滨德强高级中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题(无答案)

这是一份黑龙江省哈尔滨德强高级中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题(无答案)，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合 M={x∈N∗∣x2−4x−5≤0}，N={x∣0≤x≤4}，则 M∩N=（ ）
A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{x∣0≤x≤4}D．{x∣1≤x≤4}
2．已知向量 a=1,−1，b=m,1−m，若 a⊥b，则 m=（ ）.
A．−2B．−12C．12D．2
3．若 csα=45，则csπ−α=（ ）.
A．−45B．−35C．45D．35
4．双曲线 x24−y212=1的焦点到其渐近线的距离为（ ）.
A．4B．3C．23D．2
5．已知贵州某果园中刺梨单果的质量 M（单位：g）服从正态分布 N30,σ2，且PM<28=0.2，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在 28g∼32g的单果的个数的期望为（ ）
A．20B．60C．40D．80
6．等比数列 {an}的前 n项和为Sn，a1>0，则“a1A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
7．如图，正三棱柱 ABC−A1B1C1中，AB=2AA1，M是 A1B1的中点，则异面直线 A1C与 BM所成角的余弦值为（ ）
A．62B．105C．63D．155
8．已知函数 fx的定义域为 {x|x≠kπ2,k∈Z}，且满足 f′x−fxtanx=sin2x，fx在 x=−π6处取极值，则下列说法中正确的是 （ ）
A．fx是奇函数B．fx是偶函数
C．fx在 x=7π6处取极小值D．fx的最大值为4
二、多选题（本小题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．数列 {an}为等差数列，Sn为其前 n项和，已知 a7=5，S7=21，则（ ）
A．a1=1B．d=−23C．a2+a12=10D．S10=50
10．已知 m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（ ）
A．若m//α，m//n，则 n//αB．若m⊥α，m⊥β，n⊂α，则n//β
C．若 α//β，m⊥α，m//n，则 n⊥βD．若 α//β，m⊥α，n//β，则 m⊥n
11．对数的发明是数学史上的重大事件，我们知道，任何一个正实数 N可以表示成N=a×10n1≤a<10,n∈Z的形式，两边取常用对数，则有 lgN=n+lga，现给出部分常用对数值（下表），下列结论正确的是（ ）
A．510在区间 106,107内
B．350是15位数
C．若 7−50=a×10m，则 m=−43
D．若 m30m∈N∗是一个35位正整数，则 m=14
12．如图，有一组圆 Ckk∈N+都内切于点 P−2,0，圆 C1:x+32+y−12=2，设直线 x+y+2=0与圆 Ck在第二象限的交点为 Ak，若 AkAk+1=2，则下列结论正确的是（ ）
A．圆 Ck的圆心都在直线 x+y+2=0上
B．圆 C99的方程为 x+522+y−502=5000
C．若圆 Ck与 y轴有交点，则 k≥8
D．设直线 x=−2与圆 Ck在第二象限的交点为 Bk，则 BkBk+1=1
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知复数 z=2+i（其中 i是虚数单位），则z=
14．△ABC中AB=1，BC=3，CA=13，则 △ABC的面积为 .
15．在 x+26的展开式中，x2的系数为 .
16．如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽 42cm，杯深 8cm，称为抛物线酒杯. 在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的最大值为 cm.
四、解答题（本大题共6道小题，共70分）
17．（本小题10分）已知 △ABC的三个内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 a2+c2+2ac=b2，5sinA+csB=0.
（1）求 sinC的值；
（2）若 △ABC的面积 S=52，求 b的值.
18．（本小题12分）已知 Sn为数列 {an}的前 n项和，且满足 a1+3a2+5a3+⋯+2n−1an=2n:n∈N∗.
（1）求数列 {an}的通项公式；
（2）记bn=an2n+1，求数列 {bn}的前 n项和 Tn.
19．（本小题12分）如图，在三棱锥 P−ABC中，∠ACB=90∘,PA⊥底面 ABC.
（1）求证：平面 PAC⊥平面 PBC；
（2）若 PA=AC=1，BC=2，M是 PB的中点，求 AM与平面 PBC所成角的正切值.
20．（本小题12分）如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同.小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件 Aii=1,2,3表示“球取自第i号箱”，事件 B表示“取得黑球”.
（1）求 PB的值；
（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由.
21．（本小题12分）设动圆 M与圆 F1:x+12+y2=14外切，与圆 F2:x−12+y2=494内切.
（1）求点 M的轨迹 C的方程；
（2）过点 F2且不与 x轴垂直的直线 l交轨迹 C于 A，B两点，点 A关于 x轴的对称点为 A′，Q为 △AA′B的外心，试探究 QF2AB是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由。
22．（本小题12分）已知函数 fx=x2lnx−2lnx+ax2−12，a∈R.
（1）证明： fx有唯一的极值点；
（2）若 fx≥0，求 a的取值范围.真数x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
lgx（近似值）
0.301
0.477
0.602
0.699
0.778
0.845
0.903
0.954
1.000
真数x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
lgx（近似值）
1.041
1.079
1.114
1.146
1.176
1.204
1.230
1.255
1.279