2024年数学高分突破第8章 立体几何初步（公式、定理、结论图表）高考数学必背知识手册5

这是一份2024年数学高分突破第8章 立体几何初步（公式、定理、结论图表）高考数学必背知识手册5，共35页。学案主要包含了空间几何体概念辨析题的常用方法，识别三视图的步骤，由三视图确定几何体的步骤，空间几何体的直观图，求解几何体表面积的类型及求法，求体积的常用方法，空间几何体与球接，共点等内容，欢迎下载使用。

1．多面体的结构特征
2.正棱柱、正棱锥的结构特征
(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
3．旋转体的结构特征
4.三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察几何体画出的轮廓线．
(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
(3)三视图的长度特征：
“长对正、高平齐、宽相等”，即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽．
5．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．
6．多面体的表(侧)面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
7．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
8.柱、锥、台和球的表面积和体积
9．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
(4)公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
10．空间直线的位置关系
(1)位置关系的分类
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(平行直线,相交直线)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(3)平行公理(公理4)和等角定理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
11．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)空间中直线与平面的位置关系
(2)空间中两个平面的位置关系
12．线面平行的判定定理和性质定理
13.面面平行的判定定理和性质定理
14．直线与平面垂直
(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
(4)直线和平面垂直的性质：
①垂直于同一个平面的两条直线平行．
②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．
③垂直于同一条直线的两平面平行．
15．直线和平面所成的角
(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.
(3)直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°.
16．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
(3)二面角的范围是0°≤θ≤180°.
17．平面与平面垂直
(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

1．特殊的四棱柱
2．球的截面的性质
(1)球的任何截面是圆面；
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；
(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝eq \r(R2－d2).
3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下：
S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形，S原图形＝2eq \r(2)S直观图．
4．正四面体的表面积与体积
棱长为a的正四面体，其表面积为eq \r(3)a2，体积为eq \f(\r(2),12)a3.
5．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内＝eq \f(\r(6),12)a，外接球半径R外＝eq \f(\r(6),4)a.
6．异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
7．等角定理的引申
(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等．
(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补．
8．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
9.线、面平行的性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．
(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
(7)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(8)垂直于同一平面的两条直线平行．
10．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
11．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
12．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
13．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
14．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

一、空间几何体概念辨析题的常用方法
典例1：下列结论正确的是 ( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转
形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
D [A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．
图1 图2
B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．
C错误．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．]
二、识别三视图的步骤
(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；
(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；
(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．
典例2：(1)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥A­BCD的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)( )
A B C D
(2)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
(1)A (2)A [(1)正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，故为虚线，易知选A.
(2)由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A中的图形．]
三、由三视图确定几何体的步骤
典例3:(1)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A．2eq \r(17) B．2eq \r(5) C．3 D．2
(1)C (2)B [(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P­ABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C.
(2)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图1所示．
图1 图2
圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图2所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．ON＝eq \f(1,4)×16＝4，OM＝2，
∴MN＝eq \r(OM2＋ON2)＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5).故选B.]
四、由几何体的部分视图确定剩余视图的方法
解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入检验．
典例4：如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为 ( )
A B C D
A [由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.]
五、空间几何体的直观图
1．用斜二测画法画直观图的技巧
在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线．
2．原图形与直观图面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：(1)S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形；(2)S原图形＝2eq \r(2)S直观图．
典例5：(1)已知等腰梯形ABCD，CD＝1，AD＝CB＝eq \r(2)，AB＝3，以AB所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为( )
A.eq \r(2) B.eq \f(\r(2),4) C.eq \f(\r(2),2) D．2eq \r(2)
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．一般的平行四边形
(1)C (2)C [(1)法一(作图求解)：如图，取AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，y轴交DC于点E，O，E在斜二测画法中的对应点为O′，E′，过E′作E′F′⊥x′轴，垂足为F′，
因为OE＝eq \r(\r(2)2－12)＝1，
所以O′E′＝eq \f(1,2)，E′F′＝eq \f(\r(2),4).
所以直观图A′B′C′D′的面积为
S′＝eq \f(1,2)×(1＋3)×eq \f(\r(2),4)＝eq \f(\r(2),2)，
故选C.
法二(公式法)：由题中数据得等腰梯形ABCD的面积S＝eq \f(1,2)×(1＋3)×1＝2.
由S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形，
得S直观图＝eq \f(\r(2),4)×2＝eq \f(\r(2),2)，故选C.
(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2eq \r(2)＝4eq \r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2 cm.
所以OC＝eq \r(OD2＋CD2)＝eq \r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，
所以OA＝OC，由题意得OA綊BC，故四边形OABC是菱形，故选C.]
六、求解几何体表面积的类型及求法
典例6：(1)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )
A．48＋π B．48－π
C．48＋2π D．48－2π
(2)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12eq \r(2)π B．12π
C．8eq \r(2)π D．10π
(1)A (2)B [(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.
(2)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2eq \r(2)，底面圆的直径为2eq \r(2)，所以该圆柱的表面积为2×π×(eq \r(2))2＋2π×eq \r(2)×2eq \r(2)＝12π.]
七、求体积的常用方法
典例7：(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A.eq \f(π,2)＋1 B.eq \f(π,2)＋3
C.eq \f(3π,2)＋1 D.eq \f(3π,2)＋3
(2)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1­BB1D1D的体积为 ．
(1)A (2)eq \f(1,3) [(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1，高为3的半个圆锥和三棱锥S ­ABC组成的，
如图，三棱锥的高为3，底面△ABC中，AB＝2，OC＝1，AB⊥OC.故其体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×π×12×3＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×1×3＝eq \f(π,2)＋1.故选A.
(2)四棱锥A1­BB1D1D的底面BB1D1D为矩形，其面积S＝1×eq \r(2)＝eq \r(2)，又四棱锥的高为点A1到平面BB1D1D的距离，即h＝eq \f(1,2)A1C1＝eq \f(\r(2),2)，所以四棱锥的体积V＝eq \f(1,3)×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,3).]
八、空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
典例8：(1)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq \r(3)，则三棱锥D­ABC体积的最大值为( )
A．12eq \r(3) B．18eq \r(3)
C．24eq \r(3) D．54eq \r(3)
(2)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
A.eq \f(3\r(17),2) B．2eq \r(10)
C.eq \f(13,2) D．3eq \r(10)
(1)B (2)C [(1)如图，E是AC中点，M是△ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为S△ABC＝eq \f(\r(3),4)AB2＝9eq \r(3)，所以AB＝6，BM＝eq \f(2,3)BE＝eq \f(2,3)eq \r(AB2－AE2)＝2eq \r(3).易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，OM＝eq \r(OB2－BM2)＝2，所以当D，O，M三点共线且DM＝OD＋OM时，三棱锥D­ABC的体积取得最大值，且最大值Vmax＝eq \f(1,3)S△ABC×(4＋OM)＝eq \f(1,3)×9eq \r(3)×6＝18eq \r(3).故选B.
(2)如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
则垂足为BC的中点M.因为AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，所以BC＝5.
又AM＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(5,2)，OM＝eq \f(1,2)AA1＝6，
所以球O的半径R＝OA
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))eq \s\up20(2)＋62)＝eq \f(13,2)，故选C.]
九、共点、共线、共面问题的证明方法
(1)证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
典例9：(1)以下命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
①E，C，D1，F四点共面；
②CE，D1F，DA三线共点．
(1)B [①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．]
(2)[证明] ①如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
②∵EF∥CD1，EF