2024年高考数学重难点突破专题十三 推理与证明第三十八讲 推理与证明答案151

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答案部分
1．B【解析】解法一 因为()，所以
，所以，又，所以等比数列的公比．
若，则，
而，所以，
与矛盾，
所以，所以，，
所以，，故选B．
解法二 因为，，
所以，则，
又，所以等比数列的公比．
若，则，
而，所以
与矛盾，
所以，所以，，
所以，，故选B．
2．D【解析】解法一 点在直线上，表示过定点，斜率为的直线，当时，表示过定点，斜率为的直线，不等式表示的区域包含原点，不等式表示的区域不包含原点．直线与直线互相垂直，显然当直线的斜率时，不等式表示的区域不包含点，故排除A；点与点连线的斜率为，当，即时，表示的区域包含点，此时表示的区域也包含点，故排除B；当直线的斜率，即时，表示的区域不包含点，故排除C，故选D．
解法二 若，则，解得，所以当且仅当时，．故选D．
3．D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D．
4．B【解析】设为三角形中心，底面如图2，过作，，，由题意可知，，，
图1 图2
由图2所示，以为原点建立直角坐标系，不妨设，则，，，，∵，，∴，，则直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，根据点到直线的距离公式，知，，，∴，，
因为，，为锐角，所以．选B
5．B【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1~8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，，60，63，l的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以l号，5号学生必进入30秒跳绳决赛，故选B．
6．A 【解析】当时，，，都是取，，，中的一个，有种，当时，，，都是取，，中的一个，有种，当时，，，都是取，中的一个，有种，当时，，，都取，有种，所以，当时，取，，，中的一个，有种，当时，取，，中的一个，有种，当时，取，中的一个，有种，当时，取，有种，所以、的取值有种，
同理，、的取值也有种，所以，
所以，故选D．
7．B【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B．
8．A【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A．
9．D【解析】∵,,,，，
,,∴(,且)的末四位数字呈周期性变化，且最小正
周期为4,记(,且)的末四位数字为,则
，∴与的末位数字相同，均为8 125，选D．
10．D【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在上的函数满足，即函数是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有=，故选D．
11．27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列 中，前面有16个正奇数，即，．当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；……；当时，= 441 +62= 503<，不符合题意；当时，=484 +62=546>=540，符合题意．故使得成立的的最小值为27．
12． 【解析】设线段的中点为，则，其中
①由题意只需比较线段中点的纵坐标的大小即可，作图可得中点纵坐标比的中点纵坐标大，所以第一位选．
②由题意，只需比较三条线段，斜率的大小，分别作关于原点的对称点，比较直线 斜率，可得最大，所以选
13．1和3【解析】为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A，B，C从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A．
14．【解析】根据已知，归纳可得结果为n(n+1)．
15．．
【解析】观察等式知：第n个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到的连续正整数，等式的右边是．
16．【解析】 具体证明过程可以是：
．
17．【解析】解法一 直接递推归纳；等腰直角三角形中，斜边，所以，，，．
解法二 求通项：等腰直角三角形中，斜边，
所以，，
，故=
18．6【解析】因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为，；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为，，．综上符合条件的有序数组的个数是6．
19．42【解析】先由徒弟粗加一工原料，6天后，师傅开始精加工原料，徒弟同时开始粗加工原料，再9天后（15天后），徒弟粗加工原料完成，此时师傅还在精加工原料，27天后，师傅精加工原料完成，然后接着精加工原料，再15天后，师傅精加工原料完成，整个工作完成，一共需要6 +21+15= 42个工作日．
20．【解析】由，得，
可得，故可归纳得．
21．【解析】三棱柱中5 +6-9 =2；五棱锥中6+6 -10 =2；立方体中6+8 -12 =2，由此归纳可得．
22．12－22+32－42+…+（－1）n+1n2=（－1）n+1·（n∈）
【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第个等式左边有 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1，2，3，…，指数都是2，符号成正负交替出现可以用表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为·，所以第个式子可为12－22+32－42+…+=（－1）n+1·（∈）．
23．1000【解析】观察和前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故，
24．【解析】观察不等式的左边发现，第个不等式的左边=，右边=，所以第五个不等式为．
25．（1）6；（2）
【解析】（1）当=16时，
，可设为，
，即为，
，即，位于中的第6个位置；
（2）在中位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在中位于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得时，位于八段中第二段的第22个位置上，再作变换时，位于十六段中的第四段的第11个位置上．也就是位于中的第个位置上．
26． 【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数，加数的个数是；等式右边都是完全平方数，
行数 等号左边的项数
1=1 1 1
2+3+4=9 2 3
3+4+5+6+7=25 3 5
4+5+6+7+8+9+10=49 4 7
…… …… ……
所以，
即
27．【解析】根据合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，可得=．
28．962【解析】观察等式可知，的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故．取，则，，代入等式⑤得
，即 ①
取，则，，代入等式⑤得
即 ②
联立①②得，，所以=．
29．【解析】(1)因为，，所以
，
．
(2)设，则．
由题意知，，，∈{0，1}，且为奇数，
所以，，，中1的个数为1或3．
所以B{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}．
将上述集合中的元素分成如下四组：
(1，0，0，0)，(1，1，1，0)；(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；(0，0，0，1)，(0，1，1，1)．
经验证，对于每组中两个元素，，均有．
所以每组中的两个元素不可能同时是集合的元素．
所以集合中元素的个数不超过4．
又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}满足条件，
所以集合中元素个数的最大值为4．
(3)设
，
，
则．
对于（）中的不同元素，，经验证，．
所以（）中的两个元素不可能同时是集合的元素．
所以中元素的个数不超过．
取且（）．
令，则集合的元素个数为，且满足条件．
故是一个满足条件且元素个数最多的集合．
30．【解析】(1)记为排列的逆序数，对1，2，3的所有排列，有
，
所以．
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
(2)对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：，所以．
逆序数为1的排列只能是将排列中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．
为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
当时，
，
因此，时，．
31．【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，
从而，当时，
，
所以，
因此等差数列是“数列”.
（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，
当时，，①
当时，.②
由①知，，③
，④
将③④代入②，得，其中，
所以是等差数列，设其公差为.
在①中，取，则，所以，
在①中，取，则，所以，
所以数列是等差数列.
32．【解析】（Ⅰ）易知，，且，，
所以
，
．
下面证明：对任意且，都有．
当且时，
∵且
∴．
因此对任意且，，则．
又∵，
故对均成立，从而是等差数列
（Ⅱ）设数列和的公差分别为，下面我们考虑的取值．
对，，，
考虑其中任意项且，
下面分，，三种情况进行讨论．
（1）若，则
①若，则
则对于给定的正整数而言，
此时，故是等差数列
②，则
则对于给定的正整数而言，
此时，故是等差数列
此时取，则是等差数列，命题成立．
（2）若，则此时为一个关于的一次项系数为负数的一次函数．
故必存在，使得当时，
则当时，
因此，当时，．
此时，故从第项开始为等差数列，命题成立．
（3），则此时为一个关于的一次项系数为正数的一次函数．
故必存在，使得当时，
则当时，
因此当时，．
此时
令，，
下面证明对任意正数，存在正整数，使得当时，．
①若，则取（表示不等于的最大整数）
当时，
此时命题成立．
若，则取
当时
此时命题成立．
因此，对任意正数，使得当时，．
综合以上三种情况，命题得证．
33．【解析】(1)由已知得.
于是当时，.
又，故，即.
所以数列的通项公式为.
(2)因为，，
所以.
因此，.
(3)下面分三种情况证明.
①若是的子集，则.
②若是的子集，则.
③若不是的子集，且不是的子集.
令，则，，.
于是，，进而由，得.
设是中的最大数，为中的最大数，则.
由（2）知，，于是，所以，即.
又，故，
从而，
故，所以，即.
综合①②③得，.
34．【解析】(1)因为，
由于，有，即，
所以
(2)由得，
故，
所以.
由(1)得，
又因为，所以，
综上，．
35．【解析】(1)的定义域为，．
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减．
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
当时，，即．
令，得，即．(*)
(2)；；
．
由此推测： ．(**)
下面用数学归纳法证明②．
①当时，左边右边，(**)成立．
②假设当时，(**)成立，即．
当时，，由归纳假设可得
．
所以当时，(**)也成立．
根据①②，可知(**)对一切正整数n都成立．
(3)由的定义，(**)，算术-几何平均不等式，的定义及(*)得
，即．
36．【解析】(1)．
(2)当时，（）．
下面用数学归纳法证明：
= 1 \* GB3 ①当时，，结论成立；
= 2 \* GB3 ②假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，，中产生，分以下情形讨论：
1）若，则，此时有
，结论成立；
2）若，则，此时有
，结论成立；
3）若，则，此时有
，结论成立；
4）若，则，此时有
，结论成立；
5）若，则，此时有
，结论成立；
6）若，则，此时有
，结论成立．
综上所述，结论对满足的自然数均成立．
37．【解析】(1)当，时，，.可得，.
(2)由，，，，及，可得
.
所以，.
38．【证明】(1)若，则，，又由题，
，，
是等差数列，首项为，公差为，，又成等比数列，
，，，，，，
，（）．
(2)由题，，，若是等差数列，则可设，是常数，关于恒成立．整理得：
关于恒成立．，
．