2023-2024学年贵州省毕节市金沙县高一上学期期末质量监测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年贵州省毕节市金沙县高一上学期期末质量监测数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=x∈Zx2−2x−15<0，B=x∈Rx−1≤0，则A∩(∁RB)的真子集的个数为
( )
A. 8B. 7C. 4D. 3
2.命题“∃x>0，lgx≥1+lnx”的否定是
( )
A. ∃x≤0，lgx<1+lnxB. ∃x≤0，lgx≥1+lnx
C. ∀x≤0，lgx<1+lnxD. ∀x>0，lgx<1+lnx
3.设x∈R，则“lnx+1<0”是“2x+1−1>0”的
( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4.函数f(x)=ln|x|⋅csxx的图象大致为
( )
A. B.
C. D.
5.张遂(僧一行，公元673−727年)，中国唐代著名的天文学家.他发明了一种内插法近似计算原理，广泛应用于现代建设工程费用估算.近似计算公式如下：f(x)≈fx1+fx2−fx1x2−x1x−x1，其中x1,x2为计费额的区间，fx1，fx2为对应于x1,x2的收费基价，x为该区间内的插入值，f(x)为对应于x的收费基价.如下表所示.则m的值估计为
( )
A. 18.53B. 19.22C. 21.94D. 28.22
6.若sinα−23π6=− 34，则cs2π3−2α=( )
A. 316B. 1316C. −58D. 58
7.设a=lg1211，b=lg1312，c=，则
( )
A. c8.若函数f(x)=−x2−2x−1,x≤0,lnx−1,x>0,若f(x)=a有4个不同实根，设4个不同实根x1( )
A. −2eB. −2e2−1C. −2eD. −2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知幂函数f(x)=a−3a−1xa在(0,+∞)上单调递减，若y=x2+(a+b)x−3在(−1,1)上不单调，则实数b的可能取值为
( )
A. −1B. 0C. 1D. 3
10.对于下列四种说法，其中正确的是( )
A. y=csx+4csx的最小值为4
B. y=csx+14csx的最小值为1
C. y=2sinx+24−sinx的最小值为4
D. y= x2+2+1 x2+2最小值为3 22
11.已知函数f(x)的定义域为R，若f(x)关于x=−2对称，f(x−4)为奇函数，则
( )
A. f(x)是奇函数
B. f(x)的图象关于点(4,0)对称．
C. f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=2
D. 若f(x)在(−4,−2)上单调递减，则f(x)在(6,8)上单调递增
12.将函数f(x)= 3sin(2x+φ)+1−2sin2x+φ2|φ|<π2的图象沿x轴向右平移π12个单位长度(纵坐标不变)，得到的函数g(x)满足gπ8−x=−gπ8+x，则下列正确的选项为
( )
A. g(x)的周期为πB. φ=π4
C. f(x)在−5π24,π4上单调递增D. x=7π24为f(x)的 一个对称轴
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y=2lga(3x−2)+1−3(a>0,a≠1)的图象恒过定点的坐标为 ．
14.已知角α终边上一点坐标sin−119π4,cs−23π6，则tan2α= ．
15.已知函数f(x)=lgax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是(1,2)，则ab= ．
16.已知函数f(x)=12−sinxcsxe|x|，若f−π6+f−π5+f−π4+f−π3+fπ3+fπ4+fπ5+fπ6=5a+b−1(a>0,b>0)，则 a+ b的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知二次函数fx满足fx=f2−x，且f0=−3，f1=−4．
(1)求函数fx的解析式；
(2)若gx=x+1，比较fx与gx的大小．
18.(本小题12分)
对任意x,y∈R，函数fx满足_________，且当x>0时，fx>1．
在以下两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答此题．
①fx+y=fx+fy−1，f2=3．
②fx+y=fx⋅fy，f2= 2.对∀x∈R，fx>0．
(1)证明：fx在−∞,+∞上是增函数；
(2)求不等式f5−2a≤2的解集．
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
19.(本小题12分)
已知函数fx= 3cs2x+2sinxcsx− 3sin2x+m．
(1)求fx的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈−π2,0时，fx的最小值和最大值之和为 3，求m的值．
20.(本小题12分)
已知函数fx=4x+a⋅6x9x+1．
(1)设a=−1，若x∈−∞,−1，试判断fx是否有最小值，若有，求出最小值；若没有，说明理由；
(2)若∃x∈0,1，使fx≤2成立，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知某种设备年固定研发成本为40万元，每生产一台需另投入60元.设某公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入为gx(万元).已知当年产量小于或等于10万台时，gx=200−2x；当年产量超过10万台时，gx=50+2000x−1x2+x．
(1)写出年利润fx(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；
(2)试分析该公司年利润是否能达到2000万元？若能，求出年产量为多少；若不能，说明理由.(注：利润=销售收入−成本)
22.(本小题12分)
已知函数fx=lg31−a⋅3x−x．
(1)解不等式fx≤1；
(2)若对于∀x1,x2∈0,1，fx1−fx2≤1恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】解不等式确定集合A,B，由集合的运算法则求得A∩(∁RB)，再由子集定义判断．
【详解】A={x∈Z|x2−2x−15<0}={x∈Z|−3B={x|x≤1}，∁RB={x|x>1}，
∴A∩(∁RB)={2,3,4}，它是真子集有7个．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解．
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：
命题：“∃x>0，lgx≥1+lnx”的否定是“∀x>0，lgx<1+lnx”.
故选：D．
3.【答案】B
【解析】【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的性质，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解．
【详解】由不等式lnx+1<0，可得lnx<−1，解得0又由不等式2x+1−1>0，即2x+1>1，可得x+1>0，解得x>−1，
因为集合{x|0−1}的真子集，
所以“lnx+1<0”是“2x+1−1>0”的充分不必要条件．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】【分析】判断函数的图象问题，可从函数定义域，函数的奇偶性，函数图象的趋势或者特殊点的函数值进行判断是否符合题意．
【详解】由函数f(x)=ln|x|⋅csxx可得函数的定义域为{x|x≠0}，
由f(−x)=ln|−x|⋅cs(−x)−x=−ln|x|⋅csxx=−f(x)可知函数f(x)为奇函数，
其图象关于坐标原点对称，故舍去B，D两项；
又由f(2)=ln2⋅cs22<0可得C项不合题意，故A项正确．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】根据题意代入数据计算即可．
【详解】结合题意：x=700∈500,1000，其中x1=500,x2=1000,fx1=16.5,fx2=30.1，
m=f(700)≈16.5+30.1−16.51000−500700−500=21.94．
故选：C．
6.【答案】C
【解析】【分析】借助诱导公式以及二倍角公式化简计算即可．
【详解】由sinα−23π6=sin−4π+α+π6=sinα+π6，
因为sinα−23π6=− 34，所以sinα+π6=− 34，
所以cs2π3−2α=csπ−π3+2α=−csπ3+2α=−cs2π6+α
=−1−2sin2π6+α=−1−2− 342=−58．
故选：C．
7.【答案】D
【解析】【分析】由对数函数性质知01，然后由基本不等式证明lg11lg13<(lg12)2，再用作差法比较a,b大小后可得．
【详解】由对数函数性质知lg121又>，即c>1，
lg11lg13<(lg11+lg132)2=(lg1432)2<(lg1442)2=lg212，
所以a−b=lg111g12−lg12lg13=lg11lg13−(lg12)2lg12lg13<0，即a故选：D．
8.【答案】D
【解析】【分析】作出函数y=f(x)的图象和直线y=a，由图可得x1,x2,x3,x4的关系与性质，从而得结论．
【详解】作出函数y=f(x)的图象，再作出直线y=a，如图，
由图可得x1+x2=−2，−lnx3=lnx4因此x3x4=1，
∴x1+x2x3x4=−2，
故选：D．
9.【答案】BC
【解析】【分析】根据幂函数的图象与性质，求得a=−1，再由二次函数的性质，求得−1【详解】由幂函数f(x)=a−3a−1xa，可得a−3a−1=1，即a2−2a−3=0，
解得a=−1或a=3，
当a=−1时，可得f(x)=x−1在(0,+∞)上单调递减，符合题意；
当a=3时，可得f(x)=x3在(0,+∞)上单调递增，不符合题意；
又由函数y=x2+(a+b)x−3在(−1,1)上不单调，则满足−1<−a+b2<1，
即−1结合选项，可得选项BC符合题意．
故选：BC．
10.【答案】BD
【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，以及对勾函数的性质，逐项判定，即可求解．
【详解】对于A中，由y=csx+4csx≥2 csx⋅4csx=4，
当且仅当csx=4csx时，即csx=2，显然不成立，所以 A错误；
对于B中，由y=csx+14csx≥2 csx+14csx=1，
当且仅当csx=14csx，即csx=12时，等号成立，所以 B正确；
对于C中，由y=2sinx+24−sinx=2sinx+162sinx，令t=2sinx∈[12,2]，
可得ft=t+16t,t∈[12,2]，则函数ft在t∈[12,2]为单调递减函数，
所以ftmin=f2=10，所以C不正确；
对于D中，由y= x2+2+1 x2+2，令t= x2+2≥ 2，
可得gt=t+1t，根据对勾函数的性质，可得gt在[ 2,+∞)为单调递增函数，
所以gtmin=g 2=3 22，所以 D正确．
故选：BD．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】A选项，根据题目条件得到fx的一个周期为8，进而得到f−x+fx=0， A正确；B选项，由于fx的一个对称中心为−4,0，结合周期得到 B正确；C选项，根据fx的一个对称中心为−4,0，得到f(1)+f(7)=f(2)+f(6)=f(3)+f(5)=f(4)=0，故 C错误；D选项，先根据对称轴得到fx在−2,0上单调递增，结合周期得到 D正确．
【详解】A选项，因为f(x−4)为奇函数，所以f(−x−4)+fx−4=0，
因为fx关于x=−2对称，所以f−x−4=fx，
所以f(x)+fx−4=0，则f(x−4)+fx−8=0，
所以f(x)=fx−8，fx的一个周期为8，
故f−x−4=f−x+4，所以f−x+4+fx−4=0，
将x代替为x+4得f−x−4+4+fx+4−4=0，
即f−x+fx=0，fx为奇函数， A正确；
B选项，因为f(x−4)为奇函数，所以fx的 一个对称中心为−4,0，
又fx的一个周期为8，故4,0为fx的一个对称中心， B正确；
C选项，因为fx的一个对称中心为−4,0，
所以f(1)+f(7)=f(2)+f(6)=f(3)+f(5)=f(4)=0，
故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=0， C错误；
D选项，因为fx在(−4,−2)上单调递减，fx关于x=−2对称，
所以fx在−2,0上单调递增，
fx的一个周期为8，故fx在(6,8)上单调递增， D正确．
故选：ABD
结论点睛：
设函数y=fx，x∈R，a>0，a≠b．
(1)若fx+a=fx−a，则函数fx的周期为2a；
(2)若fx+a=−fx，则函数fx的周期为2a；
(3)若fx+a=−1fx，则函数fx的周期为2a；
(4)若fx+a=1fx，则函数fx的周期为2a；
(5)若fx+a=fx+b，则函数fx的周期为a−b；
(6)若函数fx的图象关于直线x=a与x=b对称，则函数fx的周期为2b−a；
(7)若函数fx的图象既关于点a,0对称，又关于点b,0对称，则函数fx的周期为2b−a；
(8)若函数fx的 图象既关于直线x=a对称，又关于点b,0对称，则函数fx的周期为4b−a；
(9)若函数fx是偶函数，且其图象关于直线x=a对称，则fx的周期为2a；
(10)若函数fx是奇函数，且其图象关于直线x=a对称，则fx的周期为4a．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数式f(x)，由图象平移写出g(x)，并利用对称性求得φ，然后根据正弦定理性质判断各选项．
【详解】f(x)= 3sin(2x+φ)+1−2sin2x+φ2= 3sin(2x+φ)+cs(2x+φ)=2[ 32sin(2x+φ)+12cs(2x+φ)]=2sin(2x+φ+π6),
g(x)=2sin[2(x−π12)+φ+π6]=2sin(2x+φ)，
g(x)的周期是T=2π2=π， A正确；
函数g(x)满足gπ8−x=−gπ8+x，则g(x)的图象关于点(π8,0)对称，
所以g(π8)=2sin(π4+φ)=0，π4+φ=kπ,k∈Z，
又φ<π2，∴φ=−π4，B错；
f(x)=2sin(2x−π4+π6)=2sin(2x−π12)，
x∈−5π24,π4时，2x−π3∈−π2,5π12⊆−π2,π2， C正确；
x=7π24时，2x−π12=π2， D正确．
故选：ACD．
13.【答案】1,−1
【解析】【分析】由对数的真数为1，对数值为0可得结论．
【详解】令3x−2=1，得x=1，y=20+1−3=−1，∴函数图象过定点(1,−1)．
故答案为：(1,−1)．
14.【答案】−2 6
【解析】【分析】利用诱导公式化简计算求得已知点的坐标，由三角函数定义求得tanα，再由正切的二倍角公式计算．
【详解】sin−119π4=sin30π−119π4=sinπ4= 22，
cs−23π6=cs(4π−23π6)=csπ6= 32，
∴已知点坐标为( 22, 32)，∴tanα= 32 22= 62，
∴tan2α=2tanα1−tan2α=2× 621−( 62)2=−2 6．
故答案为：−2 6．
15.【答案】2或14
【解析】【分析】分类讨论a的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解．
【详解】当0所以f(1)=lga1+b=2f(2)=lga2+b=1,解得a=12b=2,所以ab=122=14．
当a>1时，易知函数f(x)单调递增，由定义域和值域都是(1,2)，
所以f(1)=lga1+b=1f(2)=lga2+b=2,解得a=2b=1,所以ab=21=2．
故答案为：2或14．
16.【答案】 2
【解析】【分析】根据函数的表达式得出f(−x)+f(x)=1，计算出a+b=1，然后利用基本不等式可得最大值．
【详解】f(x)=12−sinxcsxex，则f(−x)=12−sin(−x)cs(−x)e−x=12+sinxcsxex，∴f(x)+f(−x)=1，
∴f−π6+f−π5+f−π4+f−π3+fπ3+fπ4+fπ5+fπ6=4，
即5(a+b)−1=4，a+b=1，又a>0,b>0，
所以( a+ b)2=a+b+2 ab≤1+a+b=2，即 a+ b≤ 2，当且仅当a=b=12时等号成立，
故答案为： 2．
17.【答案】解：(1)设二次函数fx=ax2+bx+ca≠0．
由fx=f2−x，得fx图象的对称轴为x=1，
所以−b2a=1，解得b=−2a．
由f0=−3得，c=−3，
可得fx=ax2−2ax−3．
由f1=−4得，a−2a−3=−4，解得a=1．
所以fx=x2−2x−3．
(2)fx−gx=x2−2x−3−x+1
=x2−3x−4
=x−4x+1，
当x<−1或x>4时，x−4x+1>0，此时fx>gx．
当−1当x=−1或4时，x−4x+1=0，此时fx=gx．

【解析】(1)设出二次函数fx=ax2+bx+ca≠0代入f0,f1，以及对称轴，求解即可；
(2)依题意fx−gx=x2−2x−3−x+1=x−4x+1，分类讨论，得到结果．
18.【答案】解：(1)证明：若选①：设x1,x2∈−∞,+∞，且x10，
因为x>0时，fx>1，所以fx2−x1>1，可得fx2−x1−1>0，
所以fx2−fx1=fx2−x1−1>0，即以fx2>fx1，
所以fx在−∞,+∞上是增函数．
若选②：设x1,x2∈−∞,+∞，且x10，
因为x>0时，fx>1，所以fx2−x1>1，则fx2fx1=fx2−x1>1，
又因为fx1>0，所以fx2>fx1，
所以函数fx在−∞,+∞上是增函数．
(2)若选①：令x=y=1，则f2=2f1−1=3，解得f1=2，
所以f5−2a≤2可化为f5−2a≤f1，
因为函数fx在−∞,+∞上是增函数，可得5−2a≤1，解得a≥2，
所以不等式f5−2a≤2的解集为2,+∞．
若选②：由f2= 2得f4=f2⋅f2=2，
所以f5−2a≤2可化为f5−2a≤f4，
因为函数fx在−∞,+∞上是增函数，可得5−2a≤4，解得a≥12，
所以不等式f5−2a≤2的解集为12,+∞．

【解析】(1)根据题意，分别选择①②，结合函数单调性的定义和判定方法，即可得证；
(2)选择①：令x=y=1，求得f1=2，不等式转化为f5−2a≤f1，结合函数的单调性，即可求解；
选择②：根据题意，求得f4=2，不等式转化为f5−2a≤f4，结合函数的单调性，即可求解．
19.【答案】解：(1)fx= 3cs2x+2sinxcsx− 3sin2x+m
= 3cs2x+sin2x+m
=2sin2x+π3+m，
所以fx的最小正周期T=π．
令2x+π3=π2+kπ，k∈Z，
解得x=π12+kπ2，k∈Z．
所以fx图象的对称轴方程为x=π12+kπ2，k∈Z．
(2)由(1)知fx=2sin2x+π3+m，
当x∈−π2,0时，2x+π3∈−2π3,π3．
可得sin2x+π3∈−1, 32，2sin2x+π3∈−2, 3，
所以fx∈−2+m, 3+m，
所以fx的最小值和最大值之和为−2+m+ 3+m= 3，
解得m=1．

【解析】(1)化简函数解析式，得fx=2sin2x+π3+m，可得最小正周期为π；
(2)由x∈−π2,0得2x+π3∈−2π3,π3，可得f(x)在−π2,0上的最大值和最小值，进而得到m的值．
20.【答案】解：(1)当a=−1时，fx=4x−6x9x+1=232x−23x+1．
令t=23x，因为x<−1，则t>32.，
所以y=t2−t+1=t−122+34，
当t>32时，y>74，此时，fx没有最小值．
(2)fx=4x+a⋅6x9x+1=232x+a⋅23x+1，
令t=23x，x∈0,1，则t∈23,1．
由232x+a⋅23x+1≤2，得a≤123x−23x，
即a≤1t−t，由于∃x∈0,1，使fx≤2成立，
只需a≤1t−tmax，t∈23,1
因为y=1t−t在23,1上单调递减，所以1t−tmax=32−23=56，所以a≤56，
所以实数a的取值范围为−∞,56．

【解析】(1)当a=−1时，fx=4x−6x9x+1=232x−23x+1，令t=23x，转化为ft=t2−t+1在32,+∞求最小值即可；
(2)fx=4x+a⋅6x9x+1=232x+a⋅23x+1，令t=23x，则ft=t2+at+1，存在性问题，分离参数a，转化为求函数y=1t−t的最大值问题求解即可．
21.【答案】解：(1)fx=xgx−60x−40=−2x2+140x−40,010.
(2)当0∴f(x)max=f(10)=1160(万元)．
当x>10时fx=−10x−4000x+1+1960=−10x+1+400x+1+1970
≤−10×2 x+1×400x+1+1970=1570，
当且仅当x+1=400x+1，即x=19时等号成立，
所以f(x)max=1570(万元)．
因为1570>1160，
所以当年产量为19万台时，该公司获得的利润最大为1570万元．
因此，该公司年利润不能达到2000万元．

【解析】(1)由f(x)=xg(x)−60x−40可得；
(2)当010时利用基本不等式求得最大值，比较后得f(x)的最大值，从而可得结论．
22.【答案】解：(1)fx≤1等价于lg31−a⋅3x−x≤1，
即0<1−a⋅3x≤3x+1，可得0<1−a⋅3x1−a⋅3x≤3x+1，即a<3−x≤a+3．
当a>0时，lg3a<−x≤lg3a+3，即−lg3a+3≤x<−lg3a；
当a≤−3时，a<3−x≤a+3无解，即fx≤1无解；
当−3综上，当a>0时，fx≤1的解集为−lg3a+3,−lg3a；
当a≤−3时，fx≤1无解；
当−3(2)对于∀x1,x2∈0,1，恒有fx1−fx2≤1，
转化为对于x∈0,1，f(x)max−f(x)min≤1，
因为fx=lg31−a⋅3x−x=lg31−a⋅3x−lg33x=lg31−a⋅3x3x=lg33−x−a，
利用对数型复合函数的单调性可知fx在0,1上单调递减．
所以lg3(1−a)−lg313−a≤1，即lg31−a13−a≤1，
即1−a13−a≤3,1−a>0,13−a>0,，解得a≤0，
所以实数a的取值范围是(−∞,0]．

【解析】(1)借助对数与指数不等式的解法，求解即可，注意需分类讨论;
(2)由题意转化为对于x∈0,1，f(x)max−f(x)min≤1，借助复合函数的单调性，求出最值代入计算即可．
计费额x(单位：万元)
500
700
1000
收费基价f(x)(单位：万元)
16.5
m
30.1