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    2023-2024学年山西省忻州市高二上学期1月期末考试数学试题(含解析)
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    2023-2024学年山西省忻州市高二上学期1月期末考试数学试题(含解析)

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    这是一份2023-2024学年山西省忻州市高二上学期1月期末考试数学试题(含解析),共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.已知数列的前4项分别为3−12,5+34,7−58,9+716,则该数列的一个通项公式可以为an=( )
    A. 2n+1+(−1)n2n−12nB. 2n+1+(−1)n+12n−12n
    C. 2n+1+(−1)n−12n−12nD. 2n+1+(−1)n2n−12n
    2.已知直线l1:5x+(a−3)y+10=0,直线l2:(a+1)x+y+a=0.若l1//l2,则a=( )
    A. 4B. −2C. 4或−2D. 3
    3.已知等比数列an的前n项和为Sn,若Sn=3×2n+1+λ,则λ=( )
    A. 3B. −3C. 6D. −6
    4.若数列an满足a2=11,an+1=11−an,则a985=( )
    A. 1110B. 11C. −110D. 1011
    5.函数f(x)=x−6ex的极大值为
    ( )
    A. e−6B. e−7C. e−8D. e−9
    6.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点的直线与抛物线C相交于A,B两点,若线段AB中点的坐标为(4,2 2),则p=( )
    A. 4B. 3C. 2D. 1
    7.在三棱锥P−ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90∘,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=2,PA=3,则直线CP与平面DEF所成角的正弦值为
    ( )
    A. 513B. 613C. 3 1313D. 2 1313
    8.若函数f(x),g(x)的导函数都存在,f′(x)[g(x)+1]+f(x)g′(x)>4x3恒成立,且f(1)=g(1)=1,则必有
    ( )
    A. f(2)g(2)<16B. f(2)[g(2)+1]<17
    C. f(2)g(2)>16D. f(2)[g(2)+1]>17
    二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a7=9,S4=3a4,则
    ( )
    A. {an}的公差为1B. {an}的公差为2C. S4=18D. a2023=2025
    10.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则
    ( )
    A. f(x)在(−3,−1)上单调递减B. f(x)在(−1,2)上单调递增
    C. f(x)有2个极大值点D. f(x)只有1个极小值点
    11.已知mn≠0,在同一个坐标系下,曲线mx2+ny2=mn与直线mx+ny=mn的位置可能是
    ( )
    A. B.
    C. D.
    12.已知函数f(x)=xex,且关于x的方程fx2+mfx+m=0有3个不等实数根,则下列说法正确的是
    ( )
    A. 当x>0时,f(x)>0B. f(x)在1,+∞上单调递减
    C. m的取值范围是−12,0D. m的取值范围是−1e2+e,0
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.物体位移s(单位:m)和时间t(单位:s)满足函数关系s=2t−1t2(014.已知双曲线C:x23−y2=1,直线l:y=x+m被C所截得的 弦长为4 6,则m= .
    15.若直线x+3y−1=0是圆x2+y2−2ax−8=0的一条对称轴,则点P(2, 3)与该圆上任意一点的距离的最小值为 .
    16.在数列an与bn中,已知a1=b1=2,an+1+bn+1=2an+bn,an+1bn+1=2anbn,则1a2023+1b2023= .
    四、解答题:本题共6小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    17.(本小题12分)
    已知函数f(x)=3x4−4x3.
    (1)求曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程;
    (2)求f(x)在[−1,2]上的最值.
    18.(本小题12分)
    已知数列an 的 前n项和为Sn,且Sn=3n2+9n2.
    (1)求an的通项公式;
    (2)设bn=9anan+1,求数列bn的前n项和Tn.
    19.(本小题12分)
    已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠ABC=60∘,AB=AA1=2,E,F分别是侧棱AA1,CC1的中点.
    (1)证明:四边形EBFD1为菱形.
    (2)求点C到平面BDF的距离.
    20.(本小题12分)
    已知正项数列an满足an+1n=ann+1,数列bn的前n项和为Sn,且nbn+1=2Sn+2,a1=b1=2.
    (1)求an,bn的通项公式;
    (2)证明:1≤i=1nbiai<112.
    21.(本小题12分)
    已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2:x2a2−y2b2=1(a>b>0)的焦距之比为12.
    (1)求椭圆C1和双曲线C2的离心率;
    (2)设双曲线C2的右焦点为F,过F作FP⊥x轴交双曲线C2于点P(P在第一象限),A,B分别为椭圆C1的左、右顶点,AP与椭圆C1交于另一点Q,O为坐标原点,证明:kBP⋅kOP=kOQ+kOP.
    22.(本小题12分)
    已知函数f(x)=lnx+ax,x∈[1,+∞).
    (1)讨论f(x)的单调性.
    (2)是否存在两个正整数x1,x2,使得当x1>x2时,x1−x2x1x2=x1x2x2x1?若存在,求出所有满足条件的x1,x2的值;若不存在,请说明理由.
    答案和解析
    1.【答案】D
    【解析】【分析】观察数列的项的特点,找到各项之间的规律,即可写出一个通项公式,结合选项,即得答案.
    【详解】观察可知,该数列的前面整数部分为奇数2n+1,后面分数部分正负相间,首项的分数部分为负,
    分母为2n,分子为2n−1,
    故该数列的一个通项公式可以为an=2n+1+(−1)n2n−12n,
    故选:D
    2.【答案】A
    【解析】【分析】由直线平行的必要条件列出方程求解参数,并注意回代检验是否满足平行而不是重合.
    【详解】因为l1//l2,所以(a−3)(a+1)=5×1,即a2−2a−8=(a−4)(a+2)=0,得a=4或a=−2.
    当a=4时,l1:5x+y+10=0,l2:5x+y+4=0,符合题意;
    当a=−2时,l1:5x−5y+10=0,l2:−x+y−2=0,l1,l2重合.
    故a=4.
    故选:A.
    3.【答案】D
    【解析】【分析】根据题意,求得an+1an=2,n≥2,结合等比数列的定义,得到a2a1=2,即可求解.
    【详解】由Sn=3×2n+1+λ,
    当n≥2时,an=Sn−Sn−1=3×2n+1+λ−(3×2n+λ)=3⋅2n,可得an+1an=2,n≥2,
    当n=1时,a1=S1=3×22+λ,
    因为数列an为等比数列,可得a2a1=3×223×22+λ=2,解得λ=−6.
    故选:D.
    4.【答案】D
    【解析】【分析】探索数列的周期性,根据数列的周期性求指定项.
    【详解】因为an+3=11−an+2=11−11−an+1=1−an+1−an+1=1−11−an−11−an=an.所以数列an周期为3的数列.
    所以a985=a328×3+1=a1
    a2=11,所以11=11−a1⇒a1=1011,
    故a985=a1=1011.
    故选:D
    5.【答案】B
    【解析】【分析】求导,再根据极大值与导数的关系即可得到答案.
    【详解】f′(x)=7−xex,当x<7时,f′(x)>0,
    当x>7时,f′(x)<0.
    所以f(x)=x−6ex的极大值为f(7)=7−6e7=1e7.
    故选:B.
    6.【答案】A
    【解析】【分析】利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线AB的斜率,可建立关于p的方程,求解可得.
    【详解】设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2,,
    两式作差得,y12−y22=(y1+y2)(y1−y2)=2p(x1−x2),
    当x1=x2时,则AB中点坐标为焦点Fp2,0,不满足题意;
    当x1≠x2时,得y1−y2x1−x2=2py1+y2.
    设线段AB中点M,因为M坐标(4,2 2),且过焦点F,
    所以y1+y2=4 2,
    则AB的斜率kAB=kFM=2p4 2=2 2−04−p2,
    解得p=4.
    故选:A.
    7.【答案】B
    【解析】【分析】建系,求出平面DEF的法向量为m=3,0,2,再代入线面角的公式求解即可.
    【详解】因为PA⊥平面ABC,AB,AC都在面ABC内,
    所以PA⊥AC,PA⊥AB,
    又∠BAC=90∘,所以AB⊥AC,所以AB,AC,AP两两垂直,
    以A为坐标原点,AB,AC,AP的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
    则C0,2,0,P0,0,3,D1,0,0,E1,1,0F0,1,32,CP=0,−2,3,DE=0,1,0,DF=−1,1,32.
    设平面DEF的法向量为m=x,y,z,
    则m⋅DE=0,m⋅DF=0,所以y=0−x+y+32z=0取z=2,得m=3,0,2.
    设直线CP与平面DEF所成的角为θ,
    所以sinθ=csCP,m=CP⋅mCPm=3×2 13× 13=613.
    故选:B
    8.【答案】D
    【解析】【分析】由f′(x)[g(x)+1]+f(x)g′(x)>4x3,得[f(x)g(x)]′+f′(x)>x4′,设函数ℎ(x)=f(x)g(x)+f(x)−x4,利用导数证明ℎ(x)单调递增,所以ℎ(2)>ℎ(1),据此即可求解.
    【详解】由f′(x)[g(x)+1]+f(x)g′(x)>4x3,得[f(x)g(x)]′+f′(x)>x4′,
    设函数ℎ(x)=f(x)g(x)+f(x)−x4,则ℎ′(x)=f′(x)[g(x)+1]+f(x)g′(x)−4x3>0,所以ℎ(x)单调递增,所以ℎ(2)>ℎ(1),
    即f(2)g(2)+f(2)−24>f(1)g(1)+f(1)−14,
    因为f(1)=g(1)=1,所以f(2)g(2)+f(2)−16>1,
    即f(2)[g(2)+1]>17.
    故选:D.
    9.【答案】ACD
    【解析】【分析】列出方程组,求出等差数列的公差和首项,判断A,B;根据等差数列通项公式以及前n项和公式即可判断C,D.
    【详解】设{an}的公差为d,由a7=9,S4=3a4,得a1+6d=94a1+6d=3a1+9d,
    解得a1=3d=1,故 A正确,B错误;
    S4=4a1+6d=18,a2023=a1+2022d=2025,C,D正确.
    故选:ACD
    10.【答案】ABD
    【解析】【分析】根据导函数图象与函数单调性以及极值的关系一一分析即可.
    【详解】由图可知,当−3当−10,所以f(x)在(−1,2)上单调递增,A,B均正确.
    当x<−3时,f′(x)>0,当−3−1时,f′(x)≥0,
    所以f(x) 的 极大值点为−3,f(x)的极小值点为−1, C错误,D正确.
    故选:ABD.
    11.【答案】BD
    【解析】【分析】先根据题意得到曲线为x2n+y2m=1,直线为xn+ym=1,再根据当m=n>0,n>m>0,m>n>0,n>0>m时,曲线及直线的横截距与纵截距的关系即可逐项判断.
    【详解】因为mn≠0,所以曲线为x2n+y2m=1,直线为xn+ym=1,
    当m=n>0时,曲线表示的是圆,直线的横截距与纵截距相等,则 A错误;
    当n>m>0时,曲线表示焦点在x轴上的椭圆,直线的横截距比纵截距大,则 B正确;
    当m>n>0时,曲线表示焦点在y轴上的椭圆,直线的横截距比纵截距小,则C不正确;
    当n>0>m时,曲线表示焦点在x轴上的双曲线,直线的横截距为正,纵截距为负,则 D正确.
    故选:BD.
    12.【答案】ABD
    【解析】【分析】对fx进行求导,利用导数研究fx的图象判断AB,令t=xex,将问题转化为fx=t1和fx=t2共有三个不同的实数根,结合fx的图象判断CD.
    【详解】由指数函数的图象和性质可知当x>0时,f(x)>0,当x<0时,fx<0, A正确;
    因为f′(x)=1−xex,令f′x>0解得x<1,令f′x<0解得x>1,
    所以f(x)=xex在−∞,1上单调递增,在1,+∞上单调递减, B正确;
    又当x趋于+∞时,fx趋于0,当x趋于−∞时,fx趋于−∞,当x=1时,fx=1e,
    故可作fx的草图如图,
    令t=xex,则t2+mt+m=0,即方程t2+mt+m=0的两根为t1,t2,
    若t=0是方程t2+mt+m=0的根,则m=0,显然不符合题意,
    因为方程t2+mt+m=0有3个不等实数根,
    所以0当t2=1e时,1e2+m1e+m=0解得m=−1e2+e,所以t1t2=m<0,即t1,t2异号,不满足题意;
    当00,解得−1e2+e即m的取值范围为−1e2+e,0, C错误,D正确;
    故选:ABD
    【点睛】关键点睛:本题的关键是作出函数图象,利用换元法结合二次函数根的分布从而得到相关不等式,即可求出m的范围.
    13.【答案】94
    【解析】【分析】对位移与时间的函数关系求导,代入t=2即可求解.
    【详解】s′=2+2t3,则s′t=2=2+223=94.
    故答案为:94.
    14.【答案】±3 2
    【解析】【分析】联立直线与双曲线方程得韦达定理,即可根据弦长公式求解.
    【详解】设双曲线C与直线l交于Ax1,y1,Bx2,y2两点,
    由x23−y2=1,y=x+m,消去y整理得2x2+6mx+3m2+3=0,则Δ=36m2−83m2+3=12m2−24>0,解得m2>2,且x1+x2=−3m,x1x2=3m2+32,
    所以AB= 2x1−x2= 2 x1+x22−4x1x2= 2× 3m2−6.
    由 2× 3m2−6=4 6,解得m2=18,所以m=±3 2.
    故答案为:±3 2
    15.【答案】1
    【解析】【分析】利用圆关于直线对称可知该直线过圆心(a,0),可得a=1,再利用定点到圆上点距离的最值的求法即可求得结果.
    【详解】由题可知,该圆的圆心为(a,0),直线x+3y−1=0过圆心,
    则a−1=0,解得a=1,
    则该圆的方程转化为(x−1)2+y2=9,该圆圆心为1,0,半径为3,
    易知圆心与P(2, 3)的距离为 2−12+ 32=2,
    故点P(2, 3)与该圆上任意一点的距离的最小值为3−2=1.
    故答案为 :1
    16.【答案】1
    【解析】【分析】由已知计算1an+1+1bn+1可得{1an+1bn}为常数列,进而可得结果.
    【详解】由题意知,1an+1+1bn+1=an+1+bn+1an+1bn+1=2an+bn2anbn=1an+1bn,
    所以{1an+1bn}为常数列,即1an+1bn=1a1+1b1=12+12=1,
    所以1a2023+1b2023=1.
    故答案为:1.
    17.【答案】解:(1)函数f(x)=3x4−4x3,求导得f′(x)=12x3−12x2,则f′(−1)=−24,而f(−1)=7,
    所以曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程为y−7=−24(x+1),即24x+y+17=0.
    (2)由f′(x)=12x3−12x2=0,得x=0或x=1,
    由f′(x)=12x3−12x2>0,得x>1,
    显然当x<1时,恒有f′(x)=12x3−12x2≤0,当且仅当x=0时取等号,
    因此f(x)在(1,2]上单调递增,在[−1,1)上单调递减,而f(−1)=7,f(1)=−1,f(2)=16,
    所以f(x)在[−1,2]上的最大值为16,最小值为−1.

    【解析】(1)求出函数f(x)的导数,再利用导数的几何意义求出切线方程.
    (2)由(1)中信息,利用导数探讨函数f(x)在[−1,2]上的单调性,再求出最值.
    18.【答案】解:(1)
    当n=1时,a1=S1=6,
    当n≥2时,an=Sn−Sn−1=3n2+9n2−3(n−1)2+9(n−1)2=3n+3.
    a1=6符合an=3n+3,
    所以an的通项公式为an=3n+3.
    (2)由(1)可得bn=9anan+1=9(3n+3)(3n+6)=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2,
    则Tn=12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2=12−1n+2=n2n+4,
    所以数列bn的前n项和Tn=n2n+4.

    【解析】(1)利用an,Sn的关系式即可求得an的通项公式为an=3n+3;
    (2)由(1)可得bn=1n+1−1n+2,利用裂项相消求和可得Tn=n2n+4.
    19.【答案】解:(1)
    取CD的中点G,连接AC,AG,
    因为底面ABCD是菱形且∠ABC=60∘,所以▵ACD为等边三角形,
    所以AG⊥DC,
    又AB//CD,所以AG⊥AB,
    易知AB,AG,AA1两两垂直.以A为坐标原点,AB,AG,AA1的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.由AB=AA1=2,
    可得B2,0,0,C1, 3,0,D−1, 3,0,E0,0,1,F1, 3,1,D1−1, 3,2.
    证明:由上可得BF=−1, 3,1=ED1,BE=−2,0,1=FD1,
    所以BF//ED1,BE//FD1,且BF= 5=BE,
    所以四边形EBFD1为菱形.
    (2)设平面BDF的法向量为n=x,y,z,因为BF=−1, 3,1,BD=−3, 3,0,
    所以BF⋅n=0BD⋅n=0,即−x+ 3y+z=0−3x+ 3y=0,取x=1,得n=1, 3,−2.
    又BC=−1, 3,0,
    所以点C到平面BDF的距离d=BC⋅nn=22 2= 22.

    【解析】(1)取CD的中点G,可证得AG⊥AB,以A为坐标原点建立空间直角坐标系,运用空间向量坐标法证明BF=ED1,BE=FD1及BF=BE即可.
    (2)运用空间向量点到面的距离公式计算即可.
    20.【答案】解:(1)
    因为an+1n=ann+1,an>0,且a1=2,所以an>1,
    所以lgan+1n=lgann+1,即nlgan+1=(n+1)lgan⇒lgan+1lgan=n+1n.
    当n≥2时,lganlgan−1⋅lgan−1lgan−2⋅⋯⋅lga3lga2⋅lga2lga1=nn−1⋅n−1n−2⋅n−2n−3⋅⋯⋅32⋅21,所以lganlga1=n.
    因为a1=2,所以lg2an=n,所以an=2n.
    a1=2也符合上式,所以an=2n.
    当n=1时,b2=2S1+2=2b1+2=6.
    因为nbn+1=2Sn+2,所以当n≥2时,(n−1)bn=2Sn−1+2,
    所以当n≥2时,nbn+1−(n−1)bn=2bn,即bn+1n+1=bnn,
    所以当n≥2时,数列bnn是以b22=3为首项的常数列,
    即bnn=3(n≥2),所以bn=3n(n≥2),
    所以bn的通项公式为bn=2,n=1,3n,n≥2.
    (2)因为i=1nbiai=b1a1+b2a2+b3a3+⋯+bnan=1+622+923+⋯+3n2n,
    所以12i=1nbiai=12+623+924+⋯+3n2n+1,
    两式相减得12 ni=1 biai=12+32+323+⋯+32n−3n2n+1=2+3×123(1−12n−2)1−12−3n2n+1=114−3n+62n+1,所以i=1nbiai=112−3n+62n<112.
    因为an>0,bn>0,所以i=1nbiai≥b1a1=1,故1≤i=1nbiai<112.

    【解析】(1)对数列an两边取对数,再结合“累乘法”求数列的通项公式;对数列bn,根据前n项和求通项公式;
    (2)利用错位相减求和法求数列的前n项和,然后再证明不等式.
    21.【答案】解:(1)
    椭圆C1的焦距2c1=2 a2−b2,双曲线C2的焦距2c2=2 a2+b2,
    则2 a2−b22 a2+b2=12,整理得b2=35a2,
    从而c12=a2−b2=25a2,c22=a2+b2=85a2,
    故椭圆C1的离心率e1=c1a= 105,双曲线C2的离心率e2=c2a=2 105.
    (2)由(1)可知P2 105a,35a,椭圆C1:x2a2+y235a2=1,
    因为A(−a,0),所以直线AP的方程为y=2 10−55(x+a).
    联立方程组y=2 10−55(x+a)x2a2+y235a2=1,整理得(8−2 10)x2+(13−4 10)ax+(5−2 10)a2=0,
    则−axQ=5−2 108−2 10a2,则xQ=2 10−58−2 10a,
    可得yQ=2 10−55(xQ+a)=3(2 10−5)5(8−2 10)a,即Q2 10−58−2 10a,3(2 10−5)5(8−2 10)a,
    因为kBP=35a2 105a−a=32 10−5,kOP=35a2 105a=32 10,kOQ=yQxQ=35,
    则kBP⋅kOP=940−10 10=12+3 1020,kOQ+kOP=35+32 10=12+3 1020,
    故kBP⋅kOP=kOQ+kOP.

    【解析】(1)根据题意结合椭圆、双曲线的方程与性质运算求解;
    (2)由(1)可知P2 105a,35a,联立方程求点Q的坐标,结合斜率公式分析证明.
    【点睛】方法点睛:与弦端点相关问题的解法
    解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法,就是将其转化为端点的坐标关系,再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系,构建方程(组)求解.
    22.【答案】解:(1)f′(x)=1−a−lnxx2,
    当a≥1时,f′(x)≤0,f(x)在[1,+∞)上单调递减.
    当a<1时,令f′(x)=0,得x=e1−a.
    x∈1,e1−a,f′(x)>0,则f(x)在1,e1−a上单调递增,
    x∈e1−a,+∞,f′(x)<0,则f(x)在e1−a,+∞上单调递减.
    (2)由(1)知,令a=0,得f(x)=lnxx在[1,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,则f(x)≤f(e)=1e<12.
    因为x1>x2≥1,所以x1−x2x1x2=x1x2x2x1,即x1x2lnx1−x2=x2lnx1+x1lnx2,
    即lnx1−x2=lnx1x1+lnx2x2,
    因为x1,x2为正整数,所以x1−x2≥1.
    当x1−x2=1时,x1x2x2x1=1,
    因为x2≥1,x1≥2,所以x1x2x2x1>1,这与x1x2x2x1=1矛盾,不符合题意.
    当x1−x2>1时,因为lnx1x1<12,lnx2x2<12,所以lnx1−x2=lnx1x1+lnx2x2<1,
    所以x1−x2经检验,当x2=1,x1=3时,不符合题意,
    当x2=2,x1=4时,符合题意,
    当x2=3,x1=5时,因为35×53=30375<32768=215,所以ln33+ln55当x2≥4时,lnx1x1≤ln66所以lnx1x1+lnx2x2综上,仅存在x1=4,x2=2满足条件.

    【解析】(1)求得f′(x),分a≥1,a<1讨论f(x)的单调性.
    (2)将问题转化为lnx1−x2=lnx1x1+lnx2x2,根据f(x)=lnxx的值域确定x1−x2=2,分别就x1=3,4,⋅⋅⋅分析是否满足题意.
    【点睛】关键点睛:本题关键点在于根据f(x)=lnxx的值域确定x1−x2的范围,再根据x1,x2为正整数得x1−x2=2,从而就x1,x2的取值讨论即可.
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