2023-2024学年辽宁省本溪市第一中学高二上学期综合检测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省本溪市第一中学高二上学期综合检测数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知空间向量a=1,2,3，b=m,−1,n，若a//b，则m+n=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
2.若直线l1：6x+4y+3=0与l2：mx−2y+1=0垂直，则实数m=( )
A. m=−43B. m=−13C. m=23D. m=43
3.甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为12，23，则谜题没被破解的概率为( )
A. 16B. 13C. 56D. 1
4.已知X∼Bn,p，若4PX=2=3PX=3，则p的最大值为
( )
A. 56B. 45C. 34D. 23
5.某中学举行的秋季运动会中，有甲､乙､丙､丁四位同学参加100米短跑决赛，现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排方法种数为( )
A. 12B. 14C. 16D. 18
6.已知变量x和y的统计数据如下表：
根据上表可得回归直线方程为y=bx−0.25，据此可以预测当x=10时，则y的估计值为
( )
A. 8.25B. 8.5C. 9.25D. 9.5
7.如图，在三棱锥M−ABC中，MA⊥平面ABC，ΔABC是边长为2的正三角形，MA=2 3，F是MC的中点，则异面直线MB与AF所成角的余弦值是
( )
A. 33B. 34C. 133D. 58
8.在某个独立重复实验中，事件A，B相互独立，且在一次实验中，事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为1−p，其中p∈0,1.若进行n次实验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件AB发生的次数为Z，则下列说法正确的是
( )
A. pEX=1−pEYB. 1−pDX=pDY
C. EZ=DYD. DZ2=DX⋅DY
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．结合图形，以下关于杨辉三角的叙述正确的是( )
A. 第9行中从左到右第6个数是126B. Cn−1r−1+Cn−1r=Cnr
C. Cn1+Cn2+...+Cnn=2nD. C33+C43+C53+...+C103=330
10.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上存在点P(点P不与左、右顶点重合)，使得∠PF2F1=3∠PF1F2，则双曲线C的离心率的可能取值为
( )
A. 62B. 3C. 102D. 2
11.下列说法正确的是( )
A. 在回归直线方程y=−0.85x+2.3中，y与x具有负线性相关关系
B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越大
C. 已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p=23
D. 随机变量X服从正态分布N(4,1)，若P(X≥5)=0.2，则P(30)的焦点分别F1(−3,0)、F2(3,0)，点A为椭圆C的上顶点，直线AF2，与椭圆C的另一个交点为B.若BF1=5BF2，则椭圆C的方程为 ．
16.在矩形ABCD中，AB= 3，BC=1，现将△ABC沿对角线AC翻折，得到四面体D−ABC，则该四面体外接球的体积为 ；设二面角D−AC−B的平面角为θ，当θ在π3,π2内变化时，BD的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．
条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；
条件②：只有第5项的二项式系数最大；
条件③：所有项的二项式系数的和为256．
问题：在2x2−13xnn∈N∗展开式中，
(1)求n的值与展开式中各项系数之和；
(2)这个展开式中是否存在有理项？若存在，将其一一列出；若不存在，请说明理由．
18.(本小题12分)
某企业积极响应“碳达峰”号召，研发出一款性能优越的新能源汽车，备受消费者青睐.该企业为了研究新能源汽车在某地区每月销售量y(单位：千辆)与月份x的关系，统计了今年前5个月该地区的销售量，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中ti=xi2i=1,2,3,4,5．
(1)根据散点图判断两变量x,y的关系用y=a+bx与y=c+dx2哪一个比较合适？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(b,d的值精确到0.1)，并预测从今年几月份起该地区的月销售量不低于3.6万辆？
附：对于一组数据x1,y1,x2,y2,⋯,xn,yn，其回归直线方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx．
19.(本小题12分)
设F1､F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左右焦点，且F2也为抛物线y2=8x的的焦点，若点P0,2b，F1，F2是等腰直角三角形的三个顶点．
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：y=12x−1与双曲线C相交于A､B两点，求AB．
20.(本小题12分)
某次联盟考试中，我校共有500名理科学生的语文、数学成绩作统计分析.已知语文考试成绩近似服从正态分布N(95,17.52)，数学成绩的频率分布直方图如图：
(1)如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？
(2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从(1)中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X人，求X的分布列和数学期望．
(3)根据(2)中的数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？
①若X∼N(μ,σ2)，
则P(μ−σ0)的离心率为12，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M(点P位于x轴上方)两点，且△OPM(O为坐标原点)的面积为32．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交椭圆C于A，B(A,B异于点P)两点，且直线PA与PB的斜率之积为−94，求点P到直线l距离的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间向量的共线与共面向量定理及应用，属于基础题．
根据题意得出1m=2−1=3n，求出m，n的值，即可求出结果．
【解答】
解：因为向量a→=(1,2,3),b→=(m,−1,n)，且a/​/b，
所以1m=2−1=3n，
所以m=−12，n=−32，
所以m+n=−12−32=−2．
故选A．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直线垂直的判定及其应用，属于基础题．
根据直线垂直的条件得到关于m的等式，求解即可．
【解答】
解：若直线l1：6x+4y+3=0与l2：mx−2y+1=0垂直，
则6m+4×−2=0，则m=43．
故选D．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、对立事件的概率计算公式，属于基础题．
根据相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率计算公式求解即可．
【解答】
解：设“甲独立地破解出谜题”为事件A，
“乙独立地破解出谜题”为事件B，
则P(A B)=1−12×1−23=16．
故选：A．
4.【答案】B
【解析】【分析】根据4PX=2=3PX=3可得到方程，求得p=4n+2，结合n的取值，可得答案．
【详解】由题意可知n≥3，
因为4PX=2=3PX=3，所以4Cn2p2(1−p)n−2=3Cn3p3(1−p)n−3，
整理得41−p=n−2p，即p=4n+2，
又n∈N∗，且n≥3，所以p≤45，
故选：B
5.【答案】B
【解析】【分析】根据题意，按甲是否在4道上分2种情况讨论，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：
①若甲在4道上，剩下3人任意安排在其他3个跑道上，有A33=6种排法，
②若甲不在4道上，甲的安排方法有2种，乙的安排方法也有2种，剩下2人任意安排在其他2个跑道上，有2种安排方法，
此时有2×2×2=8种安排方法，
故共有6+8=14种不同的安排方法，
故选：B．
6.【答案】A
【解析】【分析】由题意计算出x,y，代入回归方程可求出b=0.85，再令x=10，即可求出y的估计值．
【详解】由题意知x=3+4+5+6+75=5,y=2.5+3+4+4.5+65=4，
得将点(5,4)代入y=bx−0.25，解得b=0.85，
所以当x=10时，y=0.85×10−0.25=8.25，
故选：A．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角，属于中档题．
可以通过几何法找到异面直线所成角的平面角，结合余弦定理可以求出．
【解答】
解：因为MA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以MA⊥AB，
又ΔABC是边长为2的正三角形，MA=2 3，
所以MB= MA2+AB2=4，
同理可得MC=4，
解法一：设E为BC的中点，连接FE，如图，
∵E是BC的中点，
∴FE // BM，MB=4，EF=2，AF=2，AE= 3;
在△AFE中，由余弦定理可知cs∠AFE=22+22−32×2×2=58．
∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为58，
解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
易知A(0,0,0)，B( 3,1,0)，F(0,1, 3)，M(0,0,2 3)
所以MB=( 3,1,−2 3)，AF=(0,1, 3)，
则cs⟨MB，AF⟩=MB⋅AFMB⋅|AF|=−54×2=−58，
∴异面直线MB与AF所成角的余弦值为58．
故选D
8.【答案】C
【解析】【分析】由相互独立事件的概率及二项分布的期望与方差进行辨析即可.
【详解】由已知，X∼Bn,p，∴EX=np，DX=np1−p，
Y∼Bn,1−p，∴EY=n1−p，DY=n1−p1−1−p=np1−p，
∵事件A，B相互独立，
∴一次实验中，A，B同时发生的概率PAB=PAPB=p1−p，
∴Z∼Bn,p1−p，
∴EZ=np1−p，DZ=np1−p1−p1−p=np1−p1−p+p2，
对于A，pEX=np2，1−pEY=n1−p2，
pEX=1−pEY不一定成立，故选项 A说法不正确；
对于B，1−pDX=np1−p2，pDY=np21−p，
1−pDX=pDY，不一定成立，故选项 B说法不正确；
对于C，EZ=np1−p，DY=np1−p，
EZ=DY成立，故选项 C说法正确；
对于D，DZ2=n2p21−p21−p+p22，DX⋅DY=n2p21−p2，
DZ2=DX⋅DY不一定成立，故选项 D说法不正确.
故选：C.
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了逻辑推理与证明的应用问题，属于中档题．
根据杨辉三角，利用组合数的计算判断ABD，利用二项式系数的性质判断C．
【解答】
解：
对于A，第9行中从左到右第6个数是C95=126，故A正确；
对于B，Cn−1r−1+Cn−1r=(n−1)!(r−1)!(n−r)!+(n−1)!r!(n−r−1)!=n!r!(n−r)!=Cnr，故B正确；
对于C，由二项式系数的性质知Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn=2n，故C错误；
对于D，C33+C43+C53+...+C103=C44+C43+C53+...+C103=C114=330，故D正确．
故选：ABD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考虑利用双曲线的定义结合焦点三角形求离心率的取值范围，以及正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于较难题．
【解答】
解：∵b>a>0，则e= 1+b2a2> 2，则排除A;
记∠PF1F2=α(0∘