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2023-2024学年贵州省六盘水市高二上学期1月期末质量监测数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年贵州省六盘水市高二上学期1月期末质量监测数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=1,2,3,B={x−1A. 1B. 1,3C. 2,3D. 1,2,3
2.在复平面内，复数1+3i1−i对应的点位于
( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.抛物线y2=4x的焦点坐标为
( )
A. (−1,0)B. (1,0)C. (0,−1)D. (0,1)
4.已知x>1，则x+1x−1的最小值为
( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.已知曲线C:x2+y2+mx+1=0，则“m>2”是“曲线C是圆”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.人口增长问题是一个深受社会学家关注的问题，英国人口学家马尔萨斯发现“人口的自然增长率在一定时间内是一个常数，人口的变化率和当前人口数量成正比”，并给出了马尔萨斯人口模型Nt=N0ert−t0，其中N0为t0年的人口数，Nt为t年的人口数，r为常数．已知某地区2000年的人口数为100万，r=0.02，用马尔萨斯人口模型预测该地区2055年的人口数(单位：万)约为(参考数据：ln3≈1.1)( )
A. 200B. 300C. 400D. 500
7.已知三棱锥S−ABC的四个顶点均在同一球面上，AB=BC= 3,AC=3，且三棱锥S−ABC的体积最大值为3 34，则该球的表面积为
( )
A. 36πB. 24πC. 16πD. 12π
8.已知a2=2b=3,3c=4，则正数a,b,c的大小关系为
( )
A. c二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题“∀x∈R,x2+1≥0”的否定为“∃x∈R,x2+1<0”
B. 若直线l1:x+y−1=0与l2:mx+2y−3=0平行，则m=2
C. 若向量a=1,2,b=1,0，则a在b上的投影向量为b
D. 已知5位同学的数学成绩为：78,85,96,102,113，则这组数据的第60百分位数为96
10.已知函数fx=3sinx+π5，将fx图象上所有的点向右平移2π5个单位长度，得到函数gx的图象，则下列说法正确的是
( )
A. gx=3sinx−π5
B. gx在区间0,3π上有3个零点
C. 直线x=16π5是gx图象的一条对称轴
D. 若gx−a≤f4π5对任意的x∈−2π15,13π15恒成立，则a≥3 32
11.连续投掷一个质地均匀的正方体骰子两次，并记录每次骰子朝上的点数．记事件A=“第一次朝上的点数为奇数”，事件B=“两次朝上的点数之和不能被2整除”，则下列结论正确的是
( )
A. PA=12B. 事件A和B互斥
C. PA∪B=34D. 事件A和B相互独立
12.下列物体中，能被整体放入底面直径和高均为1(单位：m)的圆柱容器(容器壁厚度忽略不计)内的有
( )
A. 直径为0.99m的球体
B. 底面直径为1.40m，高为0.01m的圆柱体
C. 底面直径为0.01m，高为1.42m的圆柱体
D. 底面边长为0.86m，侧棱长为1.11m的正三棱锥
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=2,1,b=x,4.若a⊥b，则x= ．
14.已知tanα=2，则sin2α+cs2α= ．
15.已知等比数列an的前n项和为Sn，数列1an的前n项和为Tn.若a2a4=116,T5=−11，则S5= ．
16.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线的渐近线上存在点P，使得PF1=2PF2，则双曲线C的离心率的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知Sn为等差数列an的前n项和，a2=2，S5=15．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
在▵ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且csinA+ 3acsC= 3b+c．
(1)求A；
(2)若∠BAC的角平分线AM交BC于点M，且AM=1,a=2，求▵ABC的周长．
19.(本小题12分)
如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，E为DD1的中点．
(1)证明：直线BD1//平面ACE；
(2)若AB=AA1，且∠ABC=π3，求二面角C−AD1−D的余弦值．
20.(本小题12分)
六盘水红心猕猴桃因富含维生素C及K,Ca,Mg等多种矿物质和18种氮基酸，被誉为“维C之王”.某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃品质，从该基地随机摘下100个猕猴桃进行测重，其重量分布在区间60,120内(单位：克)，根据样本数据作出频率分布直方图如下图所示．
(1)用比例分配的分层随机抽样方法，从重量落在区间80,90,90,100的猕猴桃中抽取5个，再从这5个猕猴桃中随机抽取2个，求这2个猕猴桃重量均不小于90克的概率；
(2)已知该基地大约还有6000个猕猴桃，该收购商准备收购这批猕猴桃，提出了以下两种收购方案：方案一：所有猕猴桃均以20元每千克收购；方案二：小于90克的猕猴桃以10元每千克收购，不小于90克的猕猴桃以30元每千克收购；请你就这两种方案，通过计算为该猕猴桃基地选择最佳的出售方案．(同一组中的数据用该组区间的中点值代表，视频率为概率)
21.(本小题12分)
已知函数fx=lnex+1+mx．
(1)若fx是偶函数，求实数m的值；
(2)当m>0时，gx=4lg4x2+lg21x+2m−2，若关于x的方程fgx=ln2在区间1,4上恰有1个实数解，求m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，左、右顶点分别为A1,A2．P为椭圆C上任意一点，且PF1的最大值为3，最小值为1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F2的直线l与椭圆C交于D,E两点(均异于A1,A2)，求直线A1E与A2D交点的轨迹方程．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】直接由交集的概念即可得解．
【详解】由题意已知集合A=1,2,3,B={x−1故选：D．
2.【答案】A
【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得1+3i1−i的结果，结合复数的几何意义可得答案．
【详解】1+3i1−i=1−i+3i+3=4+2i，
所以复数1+3i1−i对应的点为4,2，位于第一象限．
故选：A．
3.【答案】B
【解析】【详解】解：由抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于x轴正半轴，由2p=4，可得：p2=1，即焦点坐标为1,0．
本题选择B选项．
4.【答案】B
【解析】【分析】根据基本不等式直接求解即可．
【详解】解：因为x>1，所以x−1>0，
所以，x+1x−1=x−1+1x−1+1≥2 x−1⋅1x−1+1=3，当且仅当x−1=1x−1时等号成立，即x=2时等号成立，
所以，x+1x−1的最小值为3
故选：B
5.【答案】A
【解析】【分析】根据圆的定义列出不等式即可求解．
【详解】因为x2+y2+mx+1=0，所以(x+m2)2+y2=−1+m24，
若曲线C的 圆，所以−1+m24>0，所以m>2或m<−2，
所以“m>2”是“曲线C是圆”的充分不必要条件．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】由题意得Nt=100e0.02t−2000，将t=2055代入结合ln3≈1.1即可得解．
【详解】由题意取t0=2000,N0=100，而r=0.02，所以Nt=100e0.02t−2000，
所以N2055=100e0.02×55=100e1.1，又因为ln3≈1.1，所以e1.1≈3，
所以用马尔萨斯人口模型预测该地区2055年的人口数(单位：万)约为N2055=100e0.02×55=100e1.1≈300万人．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】【分析】利用三棱锥体积的最大值求得此时S到平面ABC的距离，利用勾股定理计算出外接球的半径，再由公式求出表面积．
【详解】设三棱锥S−ABC外接球球心为O，
在三角形ABC中，由余弦定理得cs∠ACB=9+3−32⋅3⋅ 3= 32，
由于∠ACB∈0,π，所以∠ACB=π6，
设三角形ABC外接圆半径为r，外心为O1．
由正弦定理得2r=ABsin∠ACB= 312=2 3,r= 3．
由三角形ABC的面积S▵ABC=12×3× 3sinπ6=34 3为定值，
则当三棱锥体积最大时，S到平面ABC的距离最大，
设此时S到平面ABC的距离为ℎ，
所以三棱锥S−ABC的体积最大为13×3 34ℎ=3 34，故ℎ=3，
由图可知，三棱锥体积最大时S,O,O1三点共线且SO1=ℎ=3，
由球心性质可知，OO1⊥平面ABC．
设外接球的半径为R，
在中，OO1=3−R,O1C=r,OC=R，
则3−R2+r2=R2，即3−R2+ 32=R2，解得R=2．
则该球的表面积S=4π⋅22=16π．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】【分析】利用对数及基本不等式比较b，c大小，利用图像性质比较a，b．
【详解】已知a2=2b=3,3c=4，所以a= 3,b=lg23,c=lg34
因为cb=lg34lg23=lg32⋅lg34
所以c又画出y=x2,y=2x的图像在同一坐标系，易知b故选：D
利用图像法解决a，b大小是本题关键．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】对于A，由命题否定的定义判断即可；对于B，由直线平行的充要条件即可验算；对于C，由投影向量的计算公式验算即可；对于D，由百分位数的定义判断即可．
【详解】对于A，命题“∀x∈R,x2+1≥0”的否定为“∃x∈R,x2+1<0”，故 A正确；
对于B，若直线l1:x+y−1=0与l2:mx+2y−3=0平行，则1×2−1×m=0，
解得m=2，检验符合，故 B正确；
对于C，若向量a=1,2,b=1,0，
则a在b上的投影向量为a⋅bb⋅bb=1+01×1,0=1,0=b，故 C正确；
对于D，已知5位同学的数学成绩为：78,85,96,102,113，5×60%=3，
所以则这组数据的第60百分位数为96+1022=99，故 D错误．
故选：ABC．
10.【答案】AB
【解析】【分析】根据图象变换的规则即可求出gx的解析式，判断选项 A；解方程gx=0即可判断选项 B；根据正弦函数的对称性可判断选项C；gx−a≤f4π5对任意的x∈−2π15,13π15恒成立，只需gxmax≤a即可，求出gx的最大值即可判断选项 D．
【详解】根据题意可得：gx=3sinx−2π5+π5=3sinx−π5，故选项 A正确；
对于选项B：令gx=0，可得：x=π5+kπ,k∈Z．
因为x∈0,3π，
所以x=π5或x=6π5或x=11π5，故选项 B正确；
对于选项C：因为g16π5=3sin16π5−π5=0，
所以直线x=16π5不是gx图象的一条对称轴，故选项 C错误；
对于选项D：因为gx−a≤f4π5对任意的x∈−2π15,13π15恒成立，f4π5=0，
所以gx≤a对任意的x∈−2π15,13π15恒成立．
当x∈−2π15,13π15时，x−π5∈−π3,2π3，
所以3sinx−π5∈−3 32,3，即gxmax=3．
所以a≥3，故选项 D错误．
故选：AB
11.【答案】ACD
【解析】【分析】根据古典概型的概率计算公式，可判定A正确；根据互斥事件的定义，举例说明，可判定
B不正确；根据事件的关系，结合古典概型的概率计算，可判定C正确；根据独立事件的判定方法，可判定D正确．
【详解】由连续投掷一个骰子两次，记录每次骰子朝上的点数，基本事件共有36种情况，
事件A=“第一次朝上的点数为奇数”，事件B=“两次朝上的点数之和不能被2整除”，
对于A中，事件A=“第一次朝上的点数为奇数”包含18种情况，所以概率为P(A)=12，所以 A正确；
对于B中，例如：事件C=“第一次朝上的点数为3，第二次点数朝上的点数为3”，
事件A和B同时发生，所以事件A和B不是互斥事件，所以B不正确；
对于C中，事件A=“第一次朝上的点数为奇数”包含18种情况，事件B=“两次朝上的点数之和不能被2整除”包含18种情况，其中第一次点数为奇数且点数和能被2整除，包括9种，所以PA∪B=18+18−936=2736=34，所以 C正确；
对于D中，由P(A)=12，P(B)=1836=12，且P(AB)=936=14，
所以P(AB)=P(A)P(B)，所以事件A和B相互独立，所以 D正确．
故选：ACD．
12.【答案】AD
【解析】【分析】对于A，由0.99m<1m，即可判断；对于BC，画出图形，求出1.4【详解】对于A，因为0.99m<1m，即球的直径小于圆柱直径和高，所以直径为0.99m的球体能被整体放入底面直径和高均为1的圆柱容器；
对于B，C，如图所示：
画出底面直径和高均为1的圆柱容器以及高(或底面直径)为0.01m的圆柱体的轴截面，
点E是边长为1的正方形ABCD的对角线AC,BD的交点，点F是高(或底面直径)为0.01m的圆柱体的底面圆心(或母线的中点)，
而▵DGF∼▵DAE，容易知道EF=0.005,DE=AE= 22，
所以DFDE=GFAE，即 22−0.005 22=GF 22，
解得1.4又注意到虽然GH=1.404>1.4，
但是底面直径为1.40m的圆柱体的直径大于题中所给圆柱形的直径，即题中所给圆柱形直径不够“宽”，故 B选项也不符合题意；
对于D，如图所示，
先来看底面圆底面直径和高均为1(单位：m)的圆柱容器的底面圆S的内接正三角形PQT的边长，
由正弦定理有PQ=2×0.5× 32≈1.7322=0.866>0.86，
设O为另外一个底面的圆心，则由勾股定理有PO= 1+14= 52>1.11，
所以底面边长为0.86m，侧棱长为1.11m的正三棱锥能被整体放入底面直径和高均为1(单位：m)的圆柱容器，故D正确．
故选：AD．
关键点睛：判断D选项的关键是求出题中圆柱容器的底面圆S的内接正三角形PQT的边长，以及PO= 1+14= 52>1.11，由此即可顺利得解．
13.【答案】−2
【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示计算参数即可．
【详解】由题意向量a=2,1,b=x,4.若a⊥b，则2x+4=0，解得x=−2．
故答案为：−2．
14.【答案】1
【解析】【分析】本题先求出sinα、csα，再化简sin2α+cs2α代入求值即可．
【详解】解：∵tanα=2，tanα=sinαcsα，sin2α+cs2α=1，
∴ sinα=2 55csα= 55或sinα=−2 55csα=− 55
①当sinα=2 55且csα= 55时，
sin2α+cs2α=2sinα⋅csα+cs2α=2×2 55× 55+ 552=1；
②当sinα=−2 55且csα=− 55时，
sin2α+cs2α=2sinα⋅csα+cs2α=2×−2 55×− 55+− 552=1．
故答案为：1．
本题考查了同角三角函数关系，二倍角公式，是基础题．
15.【答案】−1116
【解析】【分析】由等比数列求和公式以及等比数列性质得S5T5=a12q4=a2a4，结合已知条件即可进一步求解．
【详解】设等比数列an公比为q，则q≠1(否则a2a4=a12=116,T5=5a1=−11，矛盾)，
所以数列1an的通项公式为1an=1a11qn−1，它是以1a1为首项、1q为公比的等比数列，
所以T5=1a11−1q51−1q=q5−1a1q4q−1=−11，
而S5=a11−q51−q，所以S5T5=a12q4=a2a4=116，
所以S5=−1116．
故答案为：−1116．
16.【答案】1,53
【解析】【分析】由题意可得点P在以M5c3,0为圆心，43c为半径的圆上，再结合点P又在渐近线上，故渐近线和圆要有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求得离心率的取值范围．
【详解】设Px,y，则x+c2+y2=4x−c2+y2，化简得x−53c2+y2=169c2，所以点P在以M5c3,0为圆心，43c为半径的圆上，又因为点P在双曲线的渐近线上bx±ay=0，所以渐近线与圆M有公共点，所以53bc b2+a2≤43c，解得5b≤4c，即ca≤53，所以双曲线离心率的取值范围是1,53．
本题主要考查双曲线的 简单几何性质，考查直线和圆、直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．
17.【答案】解：(1)设数列an的公差为d，
则由已知得a1+d=25a1+10d=15，解得a1=1，d=1，
所以an=a1+n−1d=n;
(2)由(1)可得bn=1anan+1=1nn+1=1n−1n+1
所以Tn=b1+b2+⋅⋅⋅+bn=1−12+12−13+⋅⋅⋅+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1．
【解析】(1)根据等差数列的通项公式以及前n项和公式，列出方程组，求得答案；
(2)由(1)可得bn=1anan+1的表达式，利用裂项求和的方法求得答案．
18.【答案】解：(1)在▵ABC中，csinA+ 3acsC= 3b+c，
由正弦定理可化简得sinAsinC+ 3sinAcsC= 3sinB+sinC，
又sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC，
所以sinAsinC+ 3sinAcsC= 3sinAcsC+ 3csAsinC+sinC，
化简得到sinAsinC= 3csAsinC+sinC，
又在▵ABC中，C∈0,π，所以sinC≠0，得到sinA= 3csA+1，
即sinA− 3csA=1，所以2sinA−π3=1，即sinA−π3=12，
又A∈0,π，所以A−π3∈−π3,2π3，得A=π2
(2)由(1)知A=π2，又∠BAC的角平分线AM交BC于点M，且AM=1，
所以S▵ABC=S▵BAM+S▵CAM，得到12bc=12b⋅AM⋅sinπ4+12c⋅AM⋅sinπ4= 24b+c
整理得到2bc= 2b+c①，
又在▵ABC中，b2+c2=a2,a=2，得到b2+c2=4②，
联立①②解得b=c= 2
所以▵ABC的周长为a+b+c=2+2 2．
【解析】(1)根据条件，利用正弦定理边转角，得到sinA= 3csA+1，再利用辅助角公式，得到sinA−π3=12，即可求出结果；
(2)根据条件，利用S▵ABC=S▵BAM+S▵CAM，得到2bc= 2b+c，且有b2+c2=4，联立解出b=c= 2，即可求出结果．
19.【答案】解：(1)如图，连接BD交AC于点O，连接OE．
∵底面四边形ABCD为菱形，∴O为BD的中点．
又∵在▵BDD1中，E为DD1的中点，
∴OE//BD1，
又∵OE⊂平面ACE，且BD1⊄平面ACE
∴BD1//平面ACE；
(2)如图，在直四棱柱中，底面四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，过O作底面ABCD的垂线，
以O为坐标原点，以OC,OD分别为x,y轴，以所作底面ABCD的垂线为z轴，建立如图所示的直角坐标系，
由直四棱柱ABCD−A1B1C1D1可知DD1⊥平面ABCD，则DD1//z轴，
设菱形ABCD的边长为2，
又∵AA1=AB,∠ABC=π3，
∴AA1=AC=2,BD=2 3，
则有C1,0,0A−1,0,0D0, 3,0D10, 3,2，
则AC=(2,0,0),AD1=1, 3,2,AD=1, 3,0，
设平面CAD1的一个法向量为n=x1,y1,z1，
则n⋅AC=2x1=0n⋅AD1=x1+ 3y1+2z1=0，解得x1=0，令y1=2，得z1=− 3，
则n=0,2,− 3；
设平面ADD1的一个法向量为m=x2,y2,z2，
则m⋅AD=x2+ 3y2=0m⋅AD1=x2+ 3y2+2z2=0，令y2=1，得x2=− 3,z2=0，
则m=− 3,1,0．
设二面角C−AD1−D的平面角为α，由图可得α为锐角，则
csα=n⋅mnm=2 7×2= 77．
所以二面角C−AD1−D的余弦值为 77．
【解析】(1)由中位线定理证明线线平行，再由线面平行判定定理可证；
(2)建立空间直角坐标系，利用法向量法求解二面角．
20.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得，落在80,90,90,100的猕猴桃数量之比为2:3，
用比例分配的分层随机抽样方法，从重量落在区间80,90,90,100的猕猴桃中抽取5个，
则在80,90中抽2个，并编号为a1,a2，在90,100中抽3个，并编号为b1,b2,b3，
现从这5个猕猴桃中随机抽取2个，得到样本空间
Ω=a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1,a2,b2,a2,b3,b1,b2,b1,b3,b2,b3，
设事件A=“抽取的2个猕猴桃重量均不小于90克”
则A=b1,b2,b1,b3,b2,b3，
所以PA=310，
即这2个猕猴桃重量均不小于90克的概率310．
(2)根据频率分布直方图可得，
选择方案一获得收入为
W1=0.1×65+0.1×75+0.2×85+0.3×95+0.25×105+0.05×115×6000×201000
=10980，
选择方案二获得利润为
W2=0.1×65+0.1×75+0.2×85×10+0.3×95+0.25×105+0.05×115×30×60001000
=12750，
因为W2>W1，所以选择方案二．
注：因为方案二按重量来分类需花费人力、物力、财力等因素，所以学生考虑到方案一在按重量分类上可以节省人力、物力、财力等因素，所以选方案一，最后一步决策上这1分也给．
【解析】(1)利用分层抽样求得分别在区间80,90,90,100抽取的猕猴桃个数，再利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解；
(2)根据题意，分别求得两个方案的收入情况，从而得解．
21.【答案】解：(1)依题意可得，函数fx=lnex+1+mx为偶函数，则有f−x=fx，
又f−x=lne−x+1−mx=lnex+1−lnex−mx，
所以lnex+1−lnex−mx=lnex+1+mx，
即2mx=−lnex=−x，
解得m=−12．
(2)当m>0时，由fx=lnex+1+mx，
易知fx=lnex+1+mx在R上为增函数，且f0=ln2，
又因为fgx=ln2，所以gx=0，
gx=4lg4x2+lg21x+2m−2=lg2x2−lg2x+2m−2，
因为fgx=ln2在区间1,4上恰有1个实数解，即gx=0在区间1,4上恰有1个实数解，
令lg2x=t,t∈0,2，
gx=0在区间1,4上恰有1个实数解，等价于方程t2−t+2m−2=0在区间0,2上恰有1个实数解，
即t2−t=2−2m在区间0,2上恰有1个实数解，
令ℎt=t2−t,t∈0,2，由二次函数的性质可知ℎt在0,12单调递减，在12,2单调递增．
ℎ0=0，ℎ12=−14，ℎ2=2，ℎt=t2−t在区间0,2上的值域为−14,2，
因为ℎt=2−2m(m>0)在区间0,2上恰有1个实数解，所以2−2m=−14或0<2−2m≤2，
解得m=89或m>1，
所以m的取值范围为mm>1或m=89．
【解析】(1)由函数fx是偶函数，有f−x=fx，根据等式求实数m的值；
(2)由fx在R上为增函数，且f0=ln2，问题转化为gx=0在区间1,4上恰有1个实数解，利用对数式的运算规则化简函数解析式，通过换元，由二次函数的性质求m的取值范围．
方法点睛：
方程的根或函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令fx=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且fa⋅fb<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
22.【答案】解：(1)依题意可设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
又因为椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2，且PF1的最大值为3，最小值为1，
所以a+c=3,a−c=1，
解得a=2,c=1，
又a2=b2+c2，解得b= 3，
所以椭圆C的 标准方程为x24+y23=1．
(2)由(1)得椭圆C的标准方程为x24+y23=1，易知F21,0,A1−2,0,A22,0，
由题意得直线l不与x轴重合，可设直线l的方程为x=my+1，
Ex1,y1,Dx2,y2，
联立x24+y23=1x=my+1，消x得3m2+4y2+6my−9=0．
Δ=6m2+363m2+4>0恒成立，
y1+y2=−6m3m2+4,y1y2=−93m2+4，
所以my1y2=32y1+y2①，
又直线A1E:y=y1x1+2x+2②，
又直线A2D:y=y2x2−2x−2③，
联立②③得x+2x−2=x1+2y2x2−2y1=my1+3y2my2−1y1=my1y2+3y2my1y2−y1，
将①式代入整理得x+2x−2=my1y2+3y2my1y2−y1=3，
解得x=4，
又因为直线l不与x轴重合，
所以直线A1E与A2D的交点轨迹方程为x=4(y∈R，且y≠0)
【解析】(1)由题意可得a=2,c=1，b= 3，代入即得；
(2)可设直线l的方程为x=my+1m≠0，与椭圆C联立，然后利用韦达定理求出直线A1E和直线A2D参数方程，消去参数可得．
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
(1)设直线方程，设交点坐标为x1,y1,x2,y2
(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算Δ；
(3)列出韦达定理；
(4)将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1x2的形式；
(5)代入韦达定理求解．
1.已知集合A=1,2,3,B={x−1
2.在复平面内，复数1+3i1−i对应的点位于
( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.抛物线y2=4x的焦点坐标为
( )
A. (−1,0)B. (1,0)C. (0,−1)D. (0,1)
4.已知x>1，则x+1x−1的最小值为
( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.已知曲线C:x2+y2+mx+1=0，则“m>2”是“曲线C是圆”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.人口增长问题是一个深受社会学家关注的问题，英国人口学家马尔萨斯发现“人口的自然增长率在一定时间内是一个常数，人口的变化率和当前人口数量成正比”，并给出了马尔萨斯人口模型Nt=N0ert−t0，其中N0为t0年的人口数，Nt为t年的人口数，r为常数．已知某地区2000年的人口数为100万，r=0.02，用马尔萨斯人口模型预测该地区2055年的人口数(单位：万)约为(参考数据：ln3≈1.1)( )
A. 200B. 300C. 400D. 500
7.已知三棱锥S−ABC的四个顶点均在同一球面上，AB=BC= 3,AC=3，且三棱锥S−ABC的体积最大值为3 34，则该球的表面积为
( )
A. 36πB. 24πC. 16πD. 12π
8.已知a2=2b=3,3c=4，则正数a,b,c的大小关系为
( )
A. c
9.下列说法正确的是( )
A. 命题“∀x∈R,x2+1≥0”的否定为“∃x∈R,x2+1<0”
B. 若直线l1:x+y−1=0与l2:mx+2y−3=0平行，则m=2
C. 若向量a=1,2,b=1,0，则a在b上的投影向量为b
D. 已知5位同学的数学成绩为：78,85,96,102,113，则这组数据的第60百分位数为96
10.已知函数fx=3sinx+π5，将fx图象上所有的点向右平移2π5个单位长度，得到函数gx的图象，则下列说法正确的是
( )
A. gx=3sinx−π5
B. gx在区间0,3π上有3个零点
C. 直线x=16π5是gx图象的一条对称轴
D. 若gx−a≤f4π5对任意的x∈−2π15,13π15恒成立，则a≥3 32
11.连续投掷一个质地均匀的正方体骰子两次，并记录每次骰子朝上的点数．记事件A=“第一次朝上的点数为奇数”，事件B=“两次朝上的点数之和不能被2整除”，则下列结论正确的是
( )
A. PA=12B. 事件A和B互斥
C. PA∪B=34D. 事件A和B相互独立
12.下列物体中，能被整体放入底面直径和高均为1(单位：m)的圆柱容器(容器壁厚度忽略不计)内的有
( )
A. 直径为0.99m的球体
B. 底面直径为1.40m，高为0.01m的圆柱体
C. 底面直径为0.01m，高为1.42m的圆柱体
D. 底面边长为0.86m，侧棱长为1.11m的正三棱锥
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=2,1,b=x,4.若a⊥b，则x= ．
14.已知tanα=2，则sin2α+cs2α= ．
15.已知等比数列an的前n项和为Sn，数列1an的前n项和为Tn.若a2a4=116,T5=−11，则S5= ．
16.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线的渐近线上存在点P，使得PF1=2PF2，则双曲线C的离心率的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知Sn为等差数列an的前n项和，a2=2，S5=15．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
在▵ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且csinA+ 3acsC= 3b+c．
(1)求A；
(2)若∠BAC的角平分线AM交BC于点M，且AM=1,a=2，求▵ABC的周长．
19.(本小题12分)
如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，E为DD1的中点．
(1)证明：直线BD1//平面ACE；
(2)若AB=AA1，且∠ABC=π3，求二面角C−AD1−D的余弦值．
20.(本小题12分)
六盘水红心猕猴桃因富含维生素C及K,Ca,Mg等多种矿物质和18种氮基酸，被誉为“维C之王”.某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃品质，从该基地随机摘下100个猕猴桃进行测重，其重量分布在区间60,120内(单位：克)，根据样本数据作出频率分布直方图如下图所示．
(1)用比例分配的分层随机抽样方法，从重量落在区间80,90,90,100的猕猴桃中抽取5个，再从这5个猕猴桃中随机抽取2个，求这2个猕猴桃重量均不小于90克的概率；
(2)已知该基地大约还有6000个猕猴桃，该收购商准备收购这批猕猴桃，提出了以下两种收购方案：方案一：所有猕猴桃均以20元每千克收购；方案二：小于90克的猕猴桃以10元每千克收购，不小于90克的猕猴桃以30元每千克收购；请你就这两种方案，通过计算为该猕猴桃基地选择最佳的出售方案．(同一组中的数据用该组区间的中点值代表，视频率为概率)
21.(本小题12分)
已知函数fx=lnex+1+mx．
(1)若fx是偶函数，求实数m的值；
(2)当m>0时，gx=4lg4x2+lg21x+2m−2，若关于x的方程fgx=ln2在区间1,4上恰有1个实数解，求m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，左、右顶点分别为A1,A2．P为椭圆C上任意一点，且PF1的最大值为3，最小值为1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F2的直线l与椭圆C交于D,E两点(均异于A1,A2)，求直线A1E与A2D交点的轨迹方程．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】直接由交集的概念即可得解．
【详解】由题意已知集合A=1,2,3,B={x−1
2.【答案】A
【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得1+3i1−i的结果，结合复数的几何意义可得答案．
【详解】1+3i1−i=1−i+3i+3=4+2i，
所以复数1+3i1−i对应的点为4,2，位于第一象限．
故选：A．
3.【答案】B
【解析】【详解】解：由抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于x轴正半轴，由2p=4，可得：p2=1，即焦点坐标为1,0．
本题选择B选项．
4.【答案】B
【解析】【分析】根据基本不等式直接求解即可．
【详解】解：因为x>1，所以x−1>0，
所以，x+1x−1=x−1+1x−1+1≥2 x−1⋅1x−1+1=3，当且仅当x−1=1x−1时等号成立，即x=2时等号成立，
所以，x+1x−1的最小值为3
故选：B
5.【答案】A
【解析】【分析】根据圆的定义列出不等式即可求解．
【详解】因为x2+y2+mx+1=0，所以(x+m2)2+y2=−1+m24，
若曲线C的 圆，所以−1+m24>0，所以m>2或m<−2，
所以“m>2”是“曲线C是圆”的充分不必要条件．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】由题意得Nt=100e0.02t−2000，将t=2055代入结合ln3≈1.1即可得解．
【详解】由题意取t0=2000,N0=100，而r=0.02，所以Nt=100e0.02t−2000，
所以N2055=100e0.02×55=100e1.1，又因为ln3≈1.1，所以e1.1≈3，
所以用马尔萨斯人口模型预测该地区2055年的人口数(单位：万)约为N2055=100e0.02×55=100e1.1≈300万人．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】【分析】利用三棱锥体积的最大值求得此时S到平面ABC的距离，利用勾股定理计算出外接球的半径，再由公式求出表面积．
【详解】设三棱锥S−ABC外接球球心为O，
在三角形ABC中，由余弦定理得cs∠ACB=9+3−32⋅3⋅ 3= 32，
由于∠ACB∈0,π，所以∠ACB=π6，
设三角形ABC外接圆半径为r，外心为O1．
由正弦定理得2r=ABsin∠ACB= 312=2 3,r= 3．
由三角形ABC的面积S▵ABC=12×3× 3sinπ6=34 3为定值，
则当三棱锥体积最大时，S到平面ABC的距离最大，
设此时S到平面ABC的距离为ℎ，
所以三棱锥S−ABC的体积最大为13×3 34ℎ=3 34，故ℎ=3，
由图可知，三棱锥体积最大时S,O,O1三点共线且SO1=ℎ=3，
由球心性质可知，OO1⊥平面ABC．
设外接球的半径为R，
在中，OO1=3−R,O1C=r,OC=R，
则3−R2+r2=R2，即3−R2+ 32=R2，解得R=2．
则该球的表面积S=4π⋅22=16π．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】【分析】利用对数及基本不等式比较b，c大小，利用图像性质比较a，b．
【详解】已知a2=2b=3,3c=4，所以a= 3,b=lg23,c=lg34
因为cb=lg34lg23=lg32⋅lg34
利用图像法解决a，b大小是本题关键．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】对于A，由命题否定的定义判断即可；对于B，由直线平行的充要条件即可验算；对于C，由投影向量的计算公式验算即可；对于D，由百分位数的定义判断即可．
【详解】对于A，命题“∀x∈R,x2+1≥0”的否定为“∃x∈R,x2+1<0”，故 A正确；
对于B，若直线l1:x+y−1=0与l2:mx+2y−3=0平行，则1×2−1×m=0，
解得m=2，检验符合，故 B正确；
对于C，若向量a=1,2,b=1,0，
则a在b上的投影向量为a⋅bb⋅bb=1+01×1,0=1,0=b，故 C正确；
对于D，已知5位同学的数学成绩为：78,85,96,102,113，5×60%=3，
所以则这组数据的第60百分位数为96+1022=99，故 D错误．
故选：ABC．
10.【答案】AB
【解析】【分析】根据图象变换的规则即可求出gx的解析式，判断选项 A；解方程gx=0即可判断选项 B；根据正弦函数的对称性可判断选项C；gx−a≤f4π5对任意的x∈−2π15,13π15恒成立，只需gxmax≤a即可，求出gx的最大值即可判断选项 D．
【详解】根据题意可得：gx=3sinx−2π5+π5=3sinx−π5，故选项 A正确；
对于选项B：令gx=0，可得：x=π5+kπ,k∈Z．
因为x∈0,3π，
所以x=π5或x=6π5或x=11π5，故选项 B正确；
对于选项C：因为g16π5=3sin16π5−π5=0，
所以直线x=16π5不是gx图象的一条对称轴，故选项 C错误；
对于选项D：因为gx−a≤f4π5对任意的x∈−2π15,13π15恒成立，f4π5=0，
所以gx≤a对任意的x∈−2π15,13π15恒成立．
当x∈−2π15,13π15时，x−π5∈−π3,2π3，
所以3sinx−π5∈−3 32,3，即gxmax=3．
所以a≥3，故选项 D错误．
故选：AB
11.【答案】ACD
【解析】【分析】根据古典概型的概率计算公式，可判定A正确；根据互斥事件的定义，举例说明，可判定
B不正确；根据事件的关系，结合古典概型的概率计算，可判定C正确；根据独立事件的判定方法，可判定D正确．
【详解】由连续投掷一个骰子两次，记录每次骰子朝上的点数，基本事件共有36种情况，
事件A=“第一次朝上的点数为奇数”，事件B=“两次朝上的点数之和不能被2整除”，
对于A中，事件A=“第一次朝上的点数为奇数”包含18种情况，所以概率为P(A)=12，所以 A正确；
对于B中，例如：事件C=“第一次朝上的点数为3，第二次点数朝上的点数为3”，
事件A和B同时发生，所以事件A和B不是互斥事件，所以B不正确；
对于C中，事件A=“第一次朝上的点数为奇数”包含18种情况，事件B=“两次朝上的点数之和不能被2整除”包含18种情况，其中第一次点数为奇数且点数和能被2整除，包括9种，所以PA∪B=18+18−936=2736=34，所以 C正确；
对于D中，由P(A)=12，P(B)=1836=12，且P(AB)=936=14，
所以P(AB)=P(A)P(B)，所以事件A和B相互独立，所以 D正确．
故选：ACD．
12.【答案】AD
【解析】【分析】对于A，由0.99m<1m，即可判断；对于BC，画出图形，求出1.4
对于B，C，如图所示：
画出底面直径和高均为1的圆柱容器以及高(或底面直径)为0.01m的圆柱体的轴截面，
点E是边长为1的正方形ABCD的对角线AC,BD的交点，点F是高(或底面直径)为0.01m的圆柱体的底面圆心(或母线的中点)，
而▵DGF∼▵DAE，容易知道EF=0.005,DE=AE= 22，
所以DFDE=GFAE，即 22−0.005 22=GF 22，
解得1.4
但是底面直径为1.40m的圆柱体的直径大于题中所给圆柱形的直径，即题中所给圆柱形直径不够“宽”，故 B选项也不符合题意；
对于D，如图所示，
先来看底面圆底面直径和高均为1(单位：m)的圆柱容器的底面圆S的内接正三角形PQT的边长，
由正弦定理有PQ=2×0.5× 32≈1.7322=0.866>0.86，
设O为另外一个底面的圆心，则由勾股定理有PO= 1+14= 52>1.11，
所以底面边长为0.86m，侧棱长为1.11m的正三棱锥能被整体放入底面直径和高均为1(单位：m)的圆柱容器，故D正确．
故选：AD．
关键点睛：判断D选项的关键是求出题中圆柱容器的底面圆S的内接正三角形PQT的边长，以及PO= 1+14= 52>1.11，由此即可顺利得解．
13.【答案】−2
【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示计算参数即可．
【详解】由题意向量a=2,1,b=x,4.若a⊥b，则2x+4=0，解得x=−2．
故答案为：−2．
14.【答案】1
【解析】【分析】本题先求出sinα、csα，再化简sin2α+cs2α代入求值即可．
【详解】解：∵tanα=2，tanα=sinαcsα，sin2α+cs2α=1，
∴ sinα=2 55csα= 55或sinα=−2 55csα=− 55
①当sinα=2 55且csα= 55时，
sin2α+cs2α=2sinα⋅csα+cs2α=2×2 55× 55+ 552=1；
②当sinα=−2 55且csα=− 55时，
sin2α+cs2α=2sinα⋅csα+cs2α=2×−2 55×− 55+− 552=1．
故答案为：1．
本题考查了同角三角函数关系，二倍角公式，是基础题．
15.【答案】−1116
【解析】【分析】由等比数列求和公式以及等比数列性质得S5T5=a12q4=a2a4，结合已知条件即可进一步求解．
【详解】设等比数列an公比为q，则q≠1(否则a2a4=a12=116,T5=5a1=−11，矛盾)，
所以数列1an的通项公式为1an=1a11qn−1，它是以1a1为首项、1q为公比的等比数列，
所以T5=1a11−1q51−1q=q5−1a1q4q−1=−11，
而S5=a11−q51−q，所以S5T5=a12q4=a2a4=116，
所以S5=−1116．
故答案为：−1116．
16.【答案】1,53
【解析】【分析】由题意可得点P在以M5c3,0为圆心，43c为半径的圆上，再结合点P又在渐近线上，故渐近线和圆要有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求得离心率的取值范围．
【详解】设Px,y，则x+c2+y2=4x−c2+y2，化简得x−53c2+y2=169c2，所以点P在以M5c3,0为圆心，43c为半径的圆上，又因为点P在双曲线的渐近线上bx±ay=0，所以渐近线与圆M有公共点，所以53bc b2+a2≤43c，解得5b≤4c，即ca≤53，所以双曲线离心率的取值范围是1,53．
本题主要考查双曲线的 简单几何性质，考查直线和圆、直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．
17.【答案】解：(1)设数列an的公差为d，
则由已知得a1+d=25a1+10d=15，解得a1=1，d=1，
所以an=a1+n−1d=n;
(2)由(1)可得bn=1anan+1=1nn+1=1n−1n+1
所以Tn=b1+b2+⋅⋅⋅+bn=1−12+12−13+⋅⋅⋅+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1．
【解析】(1)根据等差数列的通项公式以及前n项和公式，列出方程组，求得答案；
(2)由(1)可得bn=1anan+1的表达式，利用裂项求和的方法求得答案．
18.【答案】解：(1)在▵ABC中，csinA+ 3acsC= 3b+c，
由正弦定理可化简得sinAsinC+ 3sinAcsC= 3sinB+sinC，
又sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC，
所以sinAsinC+ 3sinAcsC= 3sinAcsC+ 3csAsinC+sinC，
化简得到sinAsinC= 3csAsinC+sinC，
又在▵ABC中，C∈0,π，所以sinC≠0，得到sinA= 3csA+1，
即sinA− 3csA=1，所以2sinA−π3=1，即sinA−π3=12，
又A∈0,π，所以A−π3∈−π3,2π3，得A=π2
(2)由(1)知A=π2，又∠BAC的角平分线AM交BC于点M，且AM=1，
所以S▵ABC=S▵BAM+S▵CAM，得到12bc=12b⋅AM⋅sinπ4+12c⋅AM⋅sinπ4= 24b+c
整理得到2bc= 2b+c①，
又在▵ABC中，b2+c2=a2,a=2，得到b2+c2=4②，
联立①②解得b=c= 2
所以▵ABC的周长为a+b+c=2+2 2．
【解析】(1)根据条件，利用正弦定理边转角，得到sinA= 3csA+1，再利用辅助角公式，得到sinA−π3=12，即可求出结果；
(2)根据条件，利用S▵ABC=S▵BAM+S▵CAM，得到2bc= 2b+c，且有b2+c2=4，联立解出b=c= 2，即可求出结果．
19.【答案】解：(1)如图，连接BD交AC于点O，连接OE．
∵底面四边形ABCD为菱形，∴O为BD的中点．
又∵在▵BDD1中，E为DD1的中点，
∴OE//BD1，
又∵OE⊂平面ACE，且BD1⊄平面ACE
∴BD1//平面ACE；
(2)如图，在直四棱柱中，底面四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，过O作底面ABCD的垂线，
以O为坐标原点，以OC,OD分别为x,y轴，以所作底面ABCD的垂线为z轴，建立如图所示的直角坐标系，
由直四棱柱ABCD−A1B1C1D1可知DD1⊥平面ABCD，则DD1//z轴，
设菱形ABCD的边长为2，
又∵AA1=AB,∠ABC=π3，
∴AA1=AC=2,BD=2 3，
则有C1,0,0A−1,0,0D0, 3,0D10, 3,2，
则AC=(2,0,0),AD1=1, 3,2,AD=1, 3,0，
设平面CAD1的一个法向量为n=x1,y1,z1，
则n⋅AC=2x1=0n⋅AD1=x1+ 3y1+2z1=0，解得x1=0，令y1=2，得z1=− 3，
则n=0,2,− 3；
设平面ADD1的一个法向量为m=x2,y2,z2，
则m⋅AD=x2+ 3y2=0m⋅AD1=x2+ 3y2+2z2=0，令y2=1，得x2=− 3,z2=0，
则m=− 3,1,0．
设二面角C−AD1−D的平面角为α，由图可得α为锐角，则
csα=n⋅mnm=2 7×2= 77．
所以二面角C−AD1−D的余弦值为 77．
【解析】(1)由中位线定理证明线线平行，再由线面平行判定定理可证；
(2)建立空间直角坐标系，利用法向量法求解二面角．
20.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得，落在80,90,90,100的猕猴桃数量之比为2:3，
用比例分配的分层随机抽样方法，从重量落在区间80,90,90,100的猕猴桃中抽取5个，
则在80,90中抽2个，并编号为a1,a2，在90,100中抽3个，并编号为b1,b2,b3，
现从这5个猕猴桃中随机抽取2个，得到样本空间
Ω=a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1,a2,b2,a2,b3,b1,b2,b1,b3,b2,b3，
设事件A=“抽取的2个猕猴桃重量均不小于90克”
则A=b1,b2,b1,b3,b2,b3，
所以PA=310，
即这2个猕猴桃重量均不小于90克的概率310．
(2)根据频率分布直方图可得，
选择方案一获得收入为
W1=0.1×65+0.1×75+0.2×85+0.3×95+0.25×105+0.05×115×6000×201000
=10980，
选择方案二获得利润为
W2=0.1×65+0.1×75+0.2×85×10+0.3×95+0.25×105+0.05×115×30×60001000
=12750，
因为W2>W1，所以选择方案二．
注：因为方案二按重量来分类需花费人力、物力、财力等因素，所以学生考虑到方案一在按重量分类上可以节省人力、物力、财力等因素，所以选方案一，最后一步决策上这1分也给．
【解析】(1)利用分层抽样求得分别在区间80,90,90,100抽取的猕猴桃个数，再利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解；
(2)根据题意，分别求得两个方案的收入情况，从而得解．
21.【答案】解：(1)依题意可得，函数fx=lnex+1+mx为偶函数，则有f−x=fx，
又f−x=lne−x+1−mx=lnex+1−lnex−mx，
所以lnex+1−lnex−mx=lnex+1+mx，
即2mx=−lnex=−x，
解得m=−12．
(2)当m>0时，由fx=lnex+1+mx，
易知fx=lnex+1+mx在R上为增函数，且f0=ln2，
又因为fgx=ln2，所以gx=0，
gx=4lg4x2+lg21x+2m−2=lg2x2−lg2x+2m−2，
因为fgx=ln2在区间1,4上恰有1个实数解，即gx=0在区间1,4上恰有1个实数解，
令lg2x=t,t∈0,2，
gx=0在区间1,4上恰有1个实数解，等价于方程t2−t+2m−2=0在区间0,2上恰有1个实数解，
即t2−t=2−2m在区间0,2上恰有1个实数解，
令ℎt=t2−t,t∈0,2，由二次函数的性质可知ℎt在0,12单调递减，在12,2单调递增．
ℎ0=0，ℎ12=−14，ℎ2=2，ℎt=t2−t在区间0,2上的值域为−14,2，
因为ℎt=2−2m(m>0)在区间0,2上恰有1个实数解，所以2−2m=−14或0<2−2m≤2，
解得m=89或m>1，
所以m的取值范围为mm>1或m=89．
【解析】(1)由函数fx是偶函数，有f−x=fx，根据等式求实数m的值；
(2)由fx在R上为增函数，且f0=ln2，问题转化为gx=0在区间1,4上恰有1个实数解，利用对数式的运算规则化简函数解析式，通过换元，由二次函数的性质求m的取值范围．
方法点睛：
方程的根或函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令fx=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且fa⋅fb<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
22.【答案】解：(1)依题意可设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
又因为椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2，且PF1的最大值为3，最小值为1，
所以a+c=3,a−c=1，
解得a=2,c=1，
又a2=b2+c2，解得b= 3，
所以椭圆C的 标准方程为x24+y23=1．
(2)由(1)得椭圆C的标准方程为x24+y23=1，易知F21,0,A1−2,0,A22,0，
由题意得直线l不与x轴重合，可设直线l的方程为x=my+1，
Ex1,y1,Dx2,y2，
联立x24+y23=1x=my+1，消x得3m2+4y2+6my−9=0．
Δ=6m2+363m2+4>0恒成立，
y1+y2=−6m3m2+4,y1y2=−93m2+4，
所以my1y2=32y1+y2①，
又直线A1E:y=y1x1+2x+2②，
又直线A2D:y=y2x2−2x−2③，
联立②③得x+2x−2=x1+2y2x2−2y1=my1+3y2my2−1y1=my1y2+3y2my1y2−y1，
将①式代入整理得x+2x−2=my1y2+3y2my1y2−y1=3，
解得x=4，
又因为直线l不与x轴重合，
所以直线A1E与A2D的交点轨迹方程为x=4(y∈R，且y≠0)
【解析】(1)由题意可得a=2,c=1，b= 3，代入即得；
(2)可设直线l的方程为x=my+1m≠0，与椭圆C联立，然后利用韦达定理求出直线A1E和直线A2D参数方程，消去参数可得．
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
(1)设直线方程，设交点坐标为x1,y1,x2,y2
(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算Δ；
(3)列出韦达定理；
(4)将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1x2的形式；
(5)代入韦达定理求解．
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