2024威海高三上学期期末考试数学含答案

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二、选择题（每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）。
三、填空题：每小题5分，共20分。
四、解答题：
17.（10分）
解：（1）因为，
所以，2分
可得，3分
因为，所以. 5分
（2）由余弦定理可知，
即，6分
因为，所以，7分
所以，可得，9分
当且仅当时等号成立，所以的最大值为. 10分
18.（12分）
法一：（1）证明：在线段上取点使得，
连接，，
由，，可得，
所以，所以.2分
又，，
所以四边形为平行四边形，3分
所以.
又，平面，平面，
所以平面平面，5分
因为平面，
所以平面.6分
(或在上取点使得，连接，，证明亦可.）
（2）因为四边形为矩形，所以，
又平面平面，平面平面，
所以平面，又，
所以，，两两垂直. 7分
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，8分
设平面的一个法向量为，
则，可得，
令，则； 9分
设平面的一个法向量为，
则，可得，
令，则.10分
因为，11分
所以平面与平面所成角的正弦值为. 12分
法二：（1）证明：因为四边形为矩形，所以，
又平面平面，平面平面，
所以平面，又，
所以，，两两垂直.1分
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，2分
则，设，可得，3分
又平面的一个法向量为，4分
可得，又平面，
所以平面.6分
若，则，
又，，
所以，，，8分
设平面的一个法向量为，
则，可得，
令，则； 9分
设平面的一个法向量为，
则，可得，
令，则.10分
因为，11分
所以平面与平面所成角的正弦值为. 12分
19.（12分）
解：（1）设等差数列的公差为，
当时，，1分
当时，，
得，，
所以，3分
因为，所以，，
因为为等差数列，
所以，4分
所以，
化简得，所以，5分
所以.6分
（2）当时，，
因为，可得，
因为，可得，7分
由（1）可知，当时，，所以，8分
，
当时也符合上式，
所以.9分
法一：因为，10分
所以.12分
法二：因为，10分
所以.12分
20.（12分）
解：（1），.4分
（2）记表示事件“经过次传递后球传到乙手中”，
若发生，则一定不发生，
所以，即，6分
即，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，7分
所以，即.8分
（3）由（2）可知，
则.12分
21.（12分）
解：（1）由，可得，
所以，1分
即，因为，
所以，解得，，3分
所以的标准方程为.4分
由题意知，直线斜率不为，
设，
由 整理得，5分
所以6分
因为，所以，即，7分
则
9分
，11分
所以，又因为有公共点，
所以，，三点共线. 12分
22.（12分）
解：（1）当时，，1分
当时，，当时，，
当时，，当时，，3分
所以的单调递增区间为，；
单调递减区间为，.5分
（2）设，
当时，由于，所以与正负相反，又，
所以是的极大值点当且仅当是的极小值点，6分
，可知，7分
令，，
①当时，，则当时，，即，
所以在上单调递增，因此不是的极小值点；8分
②当时，，当时，，即，
所以在上单调递增，
因此不是的极小值点；9分
③当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因此是的极小值点，满足题意；10分
④当时，，记，可知，
则当时，，即，
所以在上单调递减，因此不是的极小值点.11分
综上可知，. 12分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
C
D
C
D
B
题号
9
10
11
12
答案
AC
ABD
BD
ACD
题号
13
14
15
16
答案