河南省偃师高级中学2023-2024学年高三上学期1月阶段测试数学试题

这是一份河南省偃师高级中学2023-2024学年高三上学期1月阶段测试数学试题，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位,复数z满足,则z的虚部为( )
A．B．C．1D．2
3．已知平面单位向量,,满足,则( )
A．0B．1C．D．
4．已知函数的定义域为B,函数的定义域为,若,使得恒成立,则实数m的取值范围为( )
A．B．C．D．
5．设函数的定义域为D,,,当时,恒有,则称点为函数图象的对称中心．利用对称中心的上述定义,研究函数,可得到( )
A．0B．2023C．4046D．4047
6．函数的图象向右平移个单位长度后,所得的函数为偶函数,则的最小值为( )
A．2B．4C．6D．8
7．等比数列中,,数列,的前n项和为,则满足的n的最小值为( )
A．6B．7C．8D．9
8．已知过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为,过点且斜率为-1的直线与C相交于A,B两点,若P恰好是AB的中点,则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为( )
A．6B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知x,,设,,则以下四个命题中正确的是( )
A．若,则M有最小值B．若,则N有最大值2
C．若,则D．若,则M有最小值
10．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则( )
A．
B．的图象关于直线对称
C．
D．在上的值域为
11．已知正四棱柱底面边长为1,侧棱长为2,点M为侧棱上的动点(包括端点),平面．下列说法正确的有( )
A．异面直线与可能垂直
B．直线与平面可能垂直
C．与平面所成角的正弦值的范围为
D．若且,则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为
12．已知,,若与图像的公共点个数为n,且这些公共点的横坐标从小到大依次为,,…,,则下列说法正确的是( )
A．若,则B．若,则
C．若,则D．若,则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面向量,若与垂直,则实数____________．
14．已知函数,若方程有解,则实数m的取值范围是______________．
15．已知函数(,)有且仅有两个零点,则实数的取值范围是______．
16．已知数列中,,,,数列的前n项和为．若对于任意的,不等式恒成立,则实数t的取值范围是_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知角,(,)的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,点,分别在角,的终边上．
（1）设函数,,求函数的值域;
（2）若点在角的终边上,且线段的长度为,求的面积．
18．（12分）已知数列前n项和为,等比数列的前n项和为,且,,,．
（1）求,;
（2）若数列满足,求数列的前n项和．
19．（12分）如图,在四棱锥中,底面ABCD是矩形,底面ABCD,且,E是PC的中点,平面ABE与线段PD交于点F．
（1）证明:F为PD的中点;
（2）再从条件①,条件②这两个条件中选择一个作为已知,求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．
条件①:三角形BCF的面积为;
条件②:三棱锥的体积为1．
20．（12分）过抛物线的焦点F作斜率分别为,的两条不同的直线,,且与E相交于点A,B,与E相交于点C,D．以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为l．
（1）若,求;
（2）若,求点M到直线l的距离的最小值．
21．（12分）某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况,现有份血液样本(数量足够大),有以下两种检验方式:
方式一:逐份检验,需要检验n次;
方式二:混合检验,将其中k(且)份血液样本混合检验,若混合血样无抗体,说明这k份血液样本全无抗体,只需检验1次;若混合血样有抗体,为了明确具体哪份血液样本有抗体,需要对每份血液样本再分别化验一次,检验总次数为次．
假设每份样本的检验结果相互独立,每份样本有抗体的概率均为．
（1）现有7份不同的血液样本,其中只有3份血液样本有抗体,采用逐份检验方式,求恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率;
（2）现取其中k(且)份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为;采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为．
①若,求P关于k的函数关系式;
②已知,以检验总次数的期望为依据,讨论采用何种检验方式更好?
参考数据:,,,,．
22．（12分）已知函数,为的导函数．
（1）当时,讨论函数的单调性
（2）已知,,若存在,使得成立,求证:．

参考答案
1．答案：C
解析：由题知，，，
，，，，故选C．
2．答案：C
解析:设,a,,则,
因为,所以,则,解得,
所以复数z的虚部为1．
故选:C
3．答案：C
解析:如图,设,,
因为,所以平行四边形OCDB为菱形,
则为正三角形,所以,且,反向,
所以,所以,
因为,
所以,
故选:C．
4．答案：C
解析：函数的定义域为,即,
所以,所以的定义域,
由于,,
所以在区间上恒成立,
由于,当且仅当,时等号成立,
所以,即m的取值范围是．
故选：C．
5．答案：D
解析：定义域为R．
因为,
所以的图象关于点对称．
所以．
故选:D
6．答案：B
解析：,其中,
函数的图象向右平移个单位长度后,得到函数为偶函数,
则当时,,,
即,则,,
,
即,
因为,所以,,
所以,
当,即时,等号成立,
所以的最小值为4．
故选:B
7．答案：A
解析:由题意得,所以,
所以,
令,整理得,解得,
故选:A．
8．答案：D
解析：由过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为,可得椭圆过点,代入方程得．
设,则,
两式作差得,
即,
因为P恰好是AB的中点,所以,又因为直线AB斜率为-1,
所以,将它们代入上式得,
则联立方程解得．
所以椭圆C上一点M到F的距离的最大值为．
故选：D．
9．答案：BC
解析:A:,由,当且仅当,时等号成立,错;
B:,当且仅当,时等号成立,
即,可得,
所以N有最大值2,对;
C:,则,
又x,,则,可得,所以,对;
D:由题设,即,
当且仅当,时等号成立,所以,错．
故选:BC
10．答案：AC
解析：由图像可知，，，
故A正确；
从而，
又由，，
因为，所以，
从而，故C正确；
因为，
所以不是的对称轴，故B错误；
当时，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，，所以，
故，即，
从而，
即在上的值域为，故D错误．
故选：AC．
11．答案：AC
解析：对A,在平面内作,交于点M,
在正四棱柱中,因为平面,平面,
所以,又平面ABM,平面ABM,,
所以平面ABM,又平面ABM,所以．故A正确;
对B,AM,BC不可能平行,故BC与不可能垂直,故B错误;
对C,如图:
连接AC,,平面,
则AB与平面所成角的正弦值的范围等同于与所成角的余弦值的范围,
在直角三角形ABM中,,
当点M由C点向移动时,AM逐渐增大,
在直角三角形ABC中,,
在直角三角形中,,
,则,则,故C正确,
对D,如图:
由题意知MO为的中点,连接BM,DM,AM,,,,
在直角三角形BCM中,,同理,
由题意知,所以,所以,
在正四棱柱中,因为平面,平面,
所以,又平面ABM,平面ABM,,
所以平面ABM,又平面ABM,所以,同理,
又平面,平面,,
所以平面,所以平面即平面,
三角形即平面截正四棱柱所得截面的多边形,
其周长为,故D错误．
故选:AC．
12．答案：BC
解析:对于A,当时,如下图,
则,,所以,又图像关于对称,
结合图像有,即有,故A错误;
对于B,当时,如下图,
易知在,且,与图像相切,
由当时,,则,,
故,从而,
所以,故B正确;
对于C,令,显然有,即是方程的一个根,又易知,是偶函数且,因为,所以时,没有零点,令,则,当时,,又过原点,当时,是在原点的切线,如图,
所以时,,故C正确;
对于D,当时,由,
与的图像在y轴右侧的前1012个周期中,每个周期均有2个公共点,共有2024个公共点,故D错误．
13．答案：-1
解析：因为与垂直,
所以,即,,解得．
故答案为：-1．
14．答案：
解析：由题意得：有解
令,则
有解,即有解,显然无意义
,令
,当且仅当,即时取等,
故答案为：．
15．答案：
解析：令,得,
由题意方程在上有且仅有两个实根,
由,得,
所以,解得,
所以实数的取值范围是．
故答案为:．
16．答案：
解析：由得,
则有,化简得,即,
所以,
所以,
所以不等式恒成立,则有．
故答案为：．
17．答案：（1）
（2）
解析:（1）的终边过点,,．
,．
则,
,,,,
即的值域是．
（2）的终边过点,
,．
,,．
由余弦定理可得,,
,解得．
,
C为OB的中点,
则的面积
18．答案：（1）,
（2）
解析:（1）由,可得;
当时,
,
上式对也成立,
所以,;
设等比数列的公比为q,,
由,即,
,即,
解得,,
所以,
,
（2）
设数列的前n项和为,数列的前n项和为,
由,
,
两式相减可得,
化简可得,
所以．
19．解析:（1）由底面ABCD是矩形,则,而面PCD,面PCD,
所以面,
又E是PC的中点,面ABE与线段PD交于点F,即面面,
而面ABE,则,故,
中EF为中位线,故F为PD的中点;
（2）由底面ABCD,面ABCD,则,又,
由,面PCD,则面PCD,
由面PCD,故,即为直角三角形,且;
由面PAD,则面面ABCD,同理有面面ABCD;
又DA,面ABCD,故,,又,
所以PD,DA,DC两两垂直,可构建如下空间直角坐标系,
选①,则,故,而,
选②,由,而,,所以;
此时,,,则,
又是面PAD的一个法向量,若直线BE与平面PAD所成角为,
所以．
20．答案：（1）24
（2）
解析:（1）依题意,抛物线的焦点为,且其在抛物线内部,设直线的方程为,
由,得,
设A,B两点的坐标分别为,,则,是上述方程的两个实数根,
所以,
所以点M的坐标为,,
同理可得N的坐标为,,
于是,
又,所以．
（2）结合（1）,
由抛物线的定义得,,
所以,
所以圆M的半径,
所以圆M的方程为
化简得,
同理可得圆N的方程为,
于是圆M与圆的公共弦所在直N线l的方程为,
又,,则直线l的方程为,
所以点M到直线l的距离,
故当时,d取最小值．
21．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）设恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件A,
事件A分为两种情况,一种是前三次检验中,其中两次检验出抗体,第四次检验出抗体,二是前四次均无抗体,
所以,
所以恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为,
（2）①由已知得,的所有可能取值为1,,
所以,,
所以,
若,则,
所以,,
所以,得,
所以P关于k的函数关系式（且）
②由①知,,
若,则,所以,得,
所以(且)
令,则,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
因为,,
,
所以不等式的解是且,
所以且时,,采用方案二混合检验方式好,
且时,,采用方案一逐份检验方式好,
22．解析：（1）当时,,,
,
当时,在区间上恒大于0,此时函数的单调递增区间是;
当时,设,其中,
当,,函数单调递增,
当,,函数单调递减,
当时,,
当时,,此时恒成立,函数的单调递增区间是,
当时,,
当且,
所以在区间上恒大于0,即函数的单调递增区间是,
综上可知,时,函数的单调递增区间是,
当时,函数的单调递减区间是,函数的单调递减区间是;
（2）不妨设,因为,
则,
即,
得,
由,
则,
所以,
,
设,构造函数,
,
所以在上为增函数,
所以,即,
又,,,
所以．