福建省厦门市2023-2024学年高一上学期1月期末质量检测数学试题（Word版附解析）

这是一份福建省厦门市2023-2024学年高一上学期1月期末质量检测数学试题（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，已知，，，则，若命题，已知函数，若，则等内容，欢迎下载使用。
满分：150分考试时间：120分钟
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知，则（ ）
A.2B.C.3D.4
3.已知，为第二象限角，则（ ）
A.B.C.D.
4.已知，，，则（ ）
A.B.C.D.
5.若命题：，是假命题，则（ ）
A.B.C.或D.
6.已知定义在上的奇函数满足①；②，，且，，则的解集为（ ）
A.B.
C.D.
7.已知函数，若，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9.下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ）
A.B.C.D.
10.函数在区间内存在零点的充分条件可以是（ ）
A.B.C.D.
11.已知实数，，满足且，则（ ）
A.B.
C.D.
12.已知表示不超过的最大整数，例如：，.定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）
A.
B.当时，
C.在区间上单调递增
D.关于的方程在区间上恰有23个实根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的圆心角为______.
14.已知函数的定义域为，，，，，，…，.写出满足上述条件的一个函数：______.
15.已知函数，若，则的最小值为______.
16.水星是离太阳最近的行星，在地球上较难观测到.当地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角达到最大时，称水星东（西）大距，这是观测水星的最佳时机（如图1）.将行星的公转视为匀速圆周运动，则研究水星大距类似如下问题：在平面直角坐标系中，点，分别在以坐标原点为圆心，半径分别为1，3的圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动，角速度分别为，.当达到最大时，称位于的“大距点”.如图2，初始时刻位于，位于以为始边的角的终边上.
图1图2
（1）若，当第一次位于的“大距点”时，的坐标为______；
（2）在内，位于的“大距点”的次数最多有______次.（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知函数.
（1）若的解集为，求，；
（2）若，，，求的最小值.
18.（12分）
已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值.
19.（12分）
已知函数.
（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）当时，恒成立，求实数的最大值.
20.（12分）
已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若方程在区间上有三个实根，，，求的值.
21.（12分）
在常温下，物体冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么分钟后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.知空气的温度为，现用某品牌电热水壶烧600毫升水，2分钟后水烧开（温度为），再过30分钟，壶中开水自然冷却到.假设烧水时水的温度是关于时间的一次函数，水的初始温度与空气的温度一致.
（1）从开始烧水算起，求壶中水的温度（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数解析式；
（2）电热水壶在保温模式下会自动检测壶中水温，若水温高于，保温管不加热；若水温不高于，保温管开始加热，直至水温达到才停止加热，保温管加热时水温的上升速度是正常烧水时的.水烧开后，立即将电热水壶设定为保温模式.从开始烧水算起，求96分钟后壶中水的温度.
22.（12分）
已知函数.
（1）解不等式；
（2）讨论函数的零点个数.
厦门市2023-2024学年度第一学期高一年级质量检测
数学试题参考答案与评分标准
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.B2.B3.C4.D5.A6.A7.D8.B
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9.BD10.AB11.ACD12.ACD
第12题提示：对于选项C：的单调递增区间为，
当时，，，
故在区间上单调递增，故选项C正确；
对于选项D：当，，，，“=”不同时成立，原方程无实根；
当时，画出函数的图象，如图12-1，
12-112-2
因为，
要证，只需证，
令，则，只需证，如图12-2可知成立.
所以方程在区间上恰有2个实根，
所以方程在区间上恰有个实根，故选项D正确.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.14.（答案不唯一，如）
15.416.① ②6
第16题提示：（1）当时，经过时间，，，
当位于的“大距点”时，与小圆相切，此时为直角三角形，
所以，因为，所以，
因为是第一次位于的“大距点”，所以，
所以，所以，.
（2）经过时间，，，
对于任意，当位于的“大距点”时，
，两点坐标满足，即.
当时，求“大距点”个数的问题转化为直线与在的交点个数问题.
若与有7个交点，则第1个交点到第7个交点间隔恰好3个周期，
共长度等于36，因为，所以内不可能有7个交点.
又当时，如图所示，与有6个交点，故最多有6次位于的“大距点”.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.本题考查二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系、基本不等式等基础知识；考查运算求解、推理论证等能力；考查函数与方程、化归与转化等思想.满分10分.
解：（1）因为的解集为，
所以，是方程的两根，
所以，解得，.
（2）因为，所以.
因为，，
所以.
当且仅当，即时，等号成立.
所以当，时，的最小值为9.
18.本题考查三角函数图象与性质、图象变换等数学知识；考查运算求解、推理论证等数学能力；考查数形结合等数学思想；考查数学运算、直观想象等数学核心素养.满分12分.
解：（1）由图知：，
因为，所以.
因为，所以，
所以，即.
因为，所以，所以.
（2）的图象向右平移个单位长度后得.
因为，令，
当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值1.
19.本题考查函数的单调性、奇偶性、最值等数学知识；考查推理论证、运算求解等数学能力；考查转化与化归、函数与方程等数学思想；考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养.满分12分.
解法一：（1）在区间上单调递减.
证明：，，且，
则，
因为，所以，，
又，，
所以，即，
所以在区间上单调递减.
（2）的定义域为，因为，
所以为偶函数.
由（1）可知在上单调递减，所以在区间上单调递增，
所以在区间上的最小值为.
因为恒成立，所以恒成立，
所以，解得，
所以的最大值为.
解法二：（1）同解法一
（2）因为，所以，
所以，
所以，
所以当时，的最小值为.
因为恒成立，所以，
所以的最大值为.
20.本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质等数学知识；考查推理论证、运算求解等数学能力；考查数形结合、转化与化归等数学思想；考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养.满分12分.
解法一：（1）
令，由得，
即，
所以的单调递增区间为，.
（2）由得，
所以在区间上有三个实根，，等价于在区间上有三个实根，，，
由对称性得，，所以，
因为，，所以，
所以
.
解法二：（1）同解法一
（2）由，得，
所以在区间上有三个实根，，等价于在区间上有三个实根，，，
由周期性，有，
因为，，所以，
.
21.本题考查指数运算、指数函数模型的应用等数学知识；考查逻辑推理、运算求解等数学能力；考查函数与方程、转化与化归等数学思想；考查数据分析、数学建模等数学核心素养.
解：（1）由题意知，空气的温度为，水温从自然冷却到用时30分钟，
所以，即，所以，
当时，依题意设，则，解得，
所以，
当时，依题意得，，即，
综上，
（2）由，解得，
即从开始烧水算起，水温从升到，再冷却到，用了62分钟，
因为，所以保温管加热过，
因为保温管加热时水温上升速度是正常烧水时的，
所以保温管加热时，水温每分钟升高，
所以水温从升至，所用时间为分钟，
假设水温从降至需要分钟，
则，即，
因为，所以，
即水温从冷却至所用时间超过30分钟，
因为，
所以从开始烧水算起，96分钟内保温管只加热过1次，
所以当时，，
所以当时，，
所以从开始烧水算起，96分钟后壶中水的温度为.
22.本题考查函数的单调性、奇偶性、函数的零点、不等式等数学知识；考查推理论证、运算求解等数学能力；考查转化与化归、函数与方程等数学思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养.
解：（1）的定义域为，
因为，所以是奇函数.
因为是增函数，所以是增函数，
由得，即，
所以，解得，
即原不等式的解集为.
（2）由得，
①当，即时，等式成立，
所以为的一个零点.
②当，即时，
即
令，则，
因为，所以为偶函数，
当时，令，在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
设，则在上单调递减，在上单调递增，
，，
又因为，，
所以当时，方程无解，所以没有零点；
当时，方程的解，此时有2个解，
所以有2个零点；
当时，方程有两个解，不妨设为，，且，
此时有4个解，所以有4个零点；
当时，方程有一个解，且，
此时有2个解，所以有2个零点.
综上所述：当时，有1个零点；当或时，有3个零点；当时，有5个零点.