浙江省绍兴市诸暨市2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷

这是一份浙江省绍兴市诸暨市2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若函数（，）的图象过点和，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知i是虛数单位，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知，为单位向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．的展开式中（即分子a的指数和分母b的指数相同）项的系数为（ ）
A．B．15C．D．20
6．若直线l与三次函数有三个公共点且公共点的横坐标成等差数列，则直线l （ ）
A．经过定点B．不经过定点C．斜率为定值D．斜率可为任意实数
7．小张同学将一块棱长为2的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，都有，若恰好有4个点同在一个圆心在x轴上半径为、的圆内，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9．在正方体中，E为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点P为中点，则面
B．若点P为中点，则面
C．若点P为AC中点，则面
D．若点P为中点，则面
10．已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知双曲线上两点M，N关于x轴对称，A，B分别为C的左右顶点，若直线MA和NB交于点P，则（ ）
A．直线MA和MB的斜率之积为定值B．直线MA和NB的斜率之积为定值
C．点P在椭圆上D．面积的最大值为ab
12．在2×2的红色表格中，有一只会染红黄蓝三种颜色的电子蛐蛐从A区域出发，每次跳动都等可能的跳往相邻区域，当它落下时会将该区域染成新的颜色（既与该区域原来的颜色不同，也与蛐蛐起跳时区域的颜色不同）．记蛐蛐第n跳后表格中的不同染色情况种数为a，（第一次跳后有如图四种情况，即），则（ ）
A．B．，恒成立
C．蛐蛐能将表格中的三块染成蓝色D．蛐蛐能将表格中的四块染成黄色
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．设等比数列的公比为q，为前n项和，若，，则______．
14．一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边长BO均为32cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当时，称点P为“黄金视角点”，作，垂足C在OB的延长线上，当cm，时，______．
15．将正整数1~10由校到大排列1，2，…，m，…，10，从中随机抽取两个数，这两个数其中一个在m前面，一个在m后面的概率为，则______．
16．已知动点P在抛物线上，抛物线焦点为F，准线与x轴交于点E，以E，F为焦点的椭圆和双曲线皆过点P，则椭圆和双曲线离心率之比的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17．已知为等比数列，前n项和，且，，，成等差数列．
（1）求和；
（2）若，求数列的前n项和．
18．如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，，N是线段PC的中点，，．
（1）求点N到平面PAB的距离；．
（2）若二面角的余弦值为，求四棱锥体积的大小．
19．在中，已知．
（1）若，求的值；
（2）已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且，，求的面积．
20：已知点在椭圆上，过右焦点的两相互垂直的弦中点分别记为M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线MN经过的定点坐标．
21．（本题12分）为丰富课余生活，某班组织了五子棋大赛．下表统计了该班学生近期课间与其他班学生的200场比赛的胜负与先后手列联表（不记平局，单位：场）．最后甲乙两人晋级决赛，决赛规则如下：五局三胜，没有平局，其中第一局先后手等可能，之后每局交换先后手．已知甲先手胜乙的概率为后手胜乙的概率为．
（1）依据的独立性检验，能否认为五子棋先后手与胜负有关联？
（2）在甲第一局失败的的条件下，求甲最终获胜的概率．
附：
22：已知函数，其中且．
（1）当时，求曲线在处的切线方程．
（2）若对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围．
诸暨答案
1．D
解析：，，，故选D．
2．A
解析：过点的，过点得，故选A
3．B
解析：，得，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B
4．C
解析：，，又故选C
5．B
解析：通项公式，由可得，故，系数为，故选B
6．A
解析：设这三个交点的坐标分别为，，由题意可得，由于三次函数的图像是中心对称图形，由可知，为对称中心，即直线l经过定点——三次函数的对称中心故选A．
7．C
解析：设正四面体的棱长为a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，
即，所以，又因为正四面体外接球的半径，，故选C．
8．C
解析：．因为都有，所以这4个点为的最值点由恰好有4个点在圆内，可得，解得，选C．
9．AC
解析：
如图，取AB中点M，中点N，连接EM，EN，MN，则显然有平面平面，则只需点P在平面EMN上，就有面，所以，当点P为中点时，有面，A正确，B错误；
当点P为AC中点，则，，则面，C正确；D错误；
故选AC
10．ACD
解析：
由已知得
，A正确：
，B错误；
，C正确；
，D正确：
故选ACD
11．ABC
解析：设点，，则有，所以直线MA和MB的斜率之积，A正确；
直线MA和NB的斜率之积，B正确；
因为直线MA和NB交于点P，由椭圆第三定义及，可知点P在椭圆上，C正确；
由C可知面积的，当点P在，y轴时取得最大值，但此时直线PA，PB与双曲线渐近线平行，与双曲线仅有一个交点，不存在点M，N故取不到最大值，D错误；
故选ABC
12．AC
解析：当时，对第一个表格，往左跳，区域染成蓝色，或往下跳，区域染成蓝色，两种情况，其他表格亦如此，故，A正确；
表格最多不超过种不同的染色情况，故不可能恒成立，B错误；
所以C正确；
因此三块都是黄色也可能，但当三块染成黄色后，不可能第四块还是黄色，因为要和起跳时区域不一样，D错误．
故选：AC．
13．8
解析：，得，于是，答案：8．
14．
解析：过O作交DP于M，过M作交PC于C，则，，，于是．答案：．
15．4或7
解析：由题意，解得或7．
故答案为：4或7．
16．
解析：由题意椭圆和双曲线离心率之比．
令，设，则，因为，，
所以，
因为，
所以，故，又，所以．
故答案为：．
17．
（1）解析：
因为，，成等差数列，所以，又，即，
可列出方程，解得，
所以，．
（2）解析：
由（1）得，所以，
．
18．
（1）解析：
因为，
所以，所以平面ABP，
所以点C到平面PAB的距离，又因为BN是线段PC的中点，所以点N到平面PAB的距离．
（2）解法一：
建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，，所以，
又因为平面APD，则，所以，
所以．
解法二：
如图，作NO垂直AC于O，取AD中点M，连结MO，MN，
易知是二面角余角，
所以中，，
所以，所以．
19．
（1）解析1：
或
（2）解析1：
又
又
20．
（1）解析1：由题意得：
（2）解析1：若两条弦分别与x与，y与平行，此时直线MN中x与，故定点在x与上．否则设过右焦点的直线记为：交椭圆于两点，，
则，4．

同理：，
若，解得，
否则
故
其中：中直线过定点
21．
（1）解析：
故可以认为五子棋先后手与胜负有关联．
（2）解析：
设事件A：甲第一局失败；事件B：第一局甲先手；事件C：甲获胜
；．
分两种情况讨论：
甲第一局先手且失败，但最终获胜：
共4局比赛：．
共5局比赛：
甲第一局后手且失败，但最终获胜：
共4局比赛：
共5局比赛：．
故甲在第一局失败的情况下获胜的概率．
综上．
22．
解析：
（1）由题意知，当时，，
又因为，，
即得曲线在处的切线方程为．
（2）法一：
因为，
又因为，
所以随a增大而减小，当时，，
下证充分性：
由，，
令，
设，，
则，所以，
由，
所以在单调递减，在单调递增
所以
，
所以当时，恒成立．
（2）法二：由题意可知，，又由，可知在上递增，
且．
（i）当时，即，此时存在，使得在上递减，
在．上递增，
所以
①当时，
令，
所以可得．．
②当，再令，此时，
，
所以可得，．
（ii）当时，即，则存在，使得，在上递减，
在上递增，所以，不成立．
综上（i），（ii）知，．先后手
胜负
合计
胜
负
先手
60
40
100
后手
40
60
100
合计
100
100
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828