第三章 圆锥曲线（单元综合测试）-高二数学同步教学题型讲义（人教A版选择性必修第一册）

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第三章 圆锥曲线 综合测试第I卷（选择题）一、单选题1．已知椭圆C：的一个焦点为（2，0），则椭圆C的离心率为（    ）A． B．C． D．1【答案】C【分析】根据椭圆方程可知值，根据焦点坐标得到值，即可求出代入离心率公式求解.【详解】由已知可得，，则，所以，则离心率．故选：C.2．双曲线的渐近线方程是（      ）A． B．C． D．【答案】C【分析】将双曲线化为标准方程，再根据渐近线的方程求解即可【详解】由题意，的渐近线方程为故选：C3．已知抛物线（）的焦点为F.若直线与C交于A，B两点，且，则（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】将代入，求出点、的坐标，利用弦长求出，进而求得结果.【详解】将代入，解得，则、，所以，解得，则.故选：C.4．直线l交双曲线 于A、B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】设出点A，B的坐标，利用“点差法”求出直线l的斜率，再验证作答.【详解】设，，因点A，B在双曲线 上，则，，两式相减得：，因P为AB中点，则，，于是得＝1，即直线l的斜率为1，此时，直线l的方程为：，由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线 交于两点，所以直线l的斜率为1.故选：D5．已知定点，点为拋物线上一动点，到轴的距离为，则的最小值为（    ）A．4 B．5 C． D．【答案】A【分析】设焦点为，到准线的距离为，根据抛物线的定义，可得，故将变为,求得答案.【详解】设焦点为，到准线的距离为，则，所以，当且仅当P,M,F三点共线时取等号，故选：A．6．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的定义及求出，利用勾股定理可求结果.【详解】如图，设，则．又，所以，所以．又，所以，由，得，则，而，则，化简得，所以．7．已知椭圆1（a＞b＞0）与双曲线1（m＞0，n＞0）具有相同焦点F1、F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则3e12+e22的最小值是（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】设|PF1|＝s，|PF2|＝t，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s，t，再由余弦定理，可得a，m与c的关系，结合离心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值．【详解】设|PF1|＝s，|PF2|＝t，P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得s+t＝2a，s－t＝2m，解得s＝a+m，t＝a－m，在三角形F1PF2中，∠F1PF2，∴，可得，即有，即，可得则3e12+e22()(3e12+e22)(6)(6+2)＝3，当且仅当，即，取得最小值3．故选：B．8．已知点，若曲线上存在点P满，则下列选项一定正确的是（　　）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的定义知，点在双曲线的右支上，求得双曲线的方程为和渐近线方程为，转化为曲线与双曲线相交，得到，即可求解.【详解】由题意，点且，根据双曲线的定义知，点在双曲线的右支上，且，所以，所以双曲线的方程为，其渐近线方程为，又点在曲线，即，即点在曲线，若曲线上存在点满，即曲线与双曲线相交，所以，即.故选：D.二、多选题9．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ）A．存在P使得 B．的最小值为C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值【答案】ABC【分析】设椭圆短轴顶点为根据得的最大角为钝角即可判断A；记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得，进而计算面积判断C；设，直接求解即可判断D.【详解】解：设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，，所以，，，，，对于A选项，由于，，所以的最大角为钝角，故存在P使得，正确；对于B选项，记，则，由余弦定理： ，当且仅当时取“=”，B正确；对于C选项，由于，故 ，所以，C正确；对于D选项，设，则，，于是,故错误.故选：ABC10．已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ）A．的准线方程为B．直线与相切C．若，则的最小值为D．若，则的周长的最小值为11【答案】BCD【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D.【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；设点，所以，所以，故C正确；如图过点作准线，交于点，，，所以，当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；故选：BCD11．已知，是双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线C交于，M、N两点，且，则下列说法正确的是（    ）A．是等边三角形 B．双曲线C的离心率为C．双曲线C的渐近线方程为 D．点到直线的距离为【答案】ABCD【分析】先利用焦点三角形的性质求出，再求出，即可判断出A选项；在利用即可判断B和C；再利用点到直线的距离公式即可判断D.【详解】设，，则，由双曲线的定义的得所以，，所以是等边三角形，选项A正确；在中，，即，，所以选项B正确，由得，所以双曲线C的渐近线方程为所以选项B正确，渐近线方程为，所以选项C正确，点到直线的距离为，所以选项D正确．故选：ABCD．12．已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为，点D,G满足，，且点在直线AB上，若以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（    ）A．当时，点的轨迹为圆B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为C．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为D．当时，面积的最大值为3【答案】BCD【分析】根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为的圆B，点D为线段AB的中点，点为线段的中垂线与直线AB的交点，则，利用图形结合圆锥曲线定义理解分析．【详解】根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为的圆B，点D为线段AB的中点，点为线段的中垂线与直线AB的交点，则当时，线段为圆B的弦，则的中垂线过圆心B，点即点B，A错误；当时，如图1，点在线段AB上，连接则∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的椭圆，即则椭圆的离心率，B正确；当为椭圆短轴顶点时，面积的最大若时，则，最大面积为，D正确；当时，过点作圆的切线，切点为若点在劣弧（不包括端点）上，如图2，点在BA的延长线上，连接则∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的左半支若点在优弧（不包括端点）上，如图3，点在AB的延长线上，连接则∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的右半支则点的轨迹为双曲线∴，渐近线方程为，C正确；故选：BCD．第II卷（非选择题）三、填空题13．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________.【答案】【分析】求出抛物线的焦点，根据可求的值，从而可求渐近线方程.【详解】∵抛物线的焦点是（2，0），∴，，∴，∴．所以双曲线的渐近线方程为.故答案为: .14．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为______.【答案】2【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可.【详解】双曲线 的一条渐近线不妨设为: ,，圆 的圆心 , 半径为2，双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，可得圆心到直线的距离为，等式两边同时平方即有 ， 可得 ， 即 .故答案为：2.15．已知椭圆是椭圆上关于原点对称的两点，设以为对角线的椭圆内接平行四边形的一组邻边斜率分别为，则______.【答案】【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性，斜率坐标公式计算作答.【详解】因是椭圆上关于原点对称的两点，不妨设，则，且，又是椭圆内接平行四边形，则点关于原点对称，不妨设，则，且，直线斜率分别为：，因此，而，即，所以.故答案为：16．过抛物线，的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于__________.【答案】60°或120°【分析】利用抛物线的性质以及图形中的几何关系推导出的值即可得出结论.【详解】如图是抛物线的准线，作，，为垂足，设，则，由抛物线定义知，，过作，垂足为，则易得，所以，直角三角形中，，，此时直线倾斜角为60°，由对称性，直线倾斜角也可为120°.故答案为：60°或120°四、解答题17．设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且．(1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率；(2)求的面积；(3)求点的坐标．【答案】(1)长轴长为，短轴长为，焦点为，，离心率为(2)(3)或或或【分析】（1）由椭圆方程可求得，由此可依次求得结果；（2）利用椭圆定义和勾股定理可构造方程求得，由此可求得三角形面积；（3）利用面积桥可求得点纵坐标，代入椭圆方程可得点横坐标，由此可得结果.（1）由椭圆方程得：，，则，椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点坐标为，，离心率.（2）由椭圆定义知：，，，即，解得：，.（3）设，则，解得：，，解得：；点坐标为或或或.18．已知抛物线上一点到焦点的距离为4.(1)求实数的值；(2)若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由抛物线的焦半径公式可知，由此即可求出答案；（2）由（1）可知焦点坐标为，则可设直线为，联立直线与抛物线，则可得，再利用，即可求出直线.（1）由题意可知：，解得：.（2）由（1）知抛物线，则焦点坐标为，由题意知直线斜率不为0，设直线为：，联立直线与抛物线：，消得：，则则所以，解得，所以直线为：或19．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到，再由点到线的距离公式求出，最后根据计算可得；（2）设，，直线的斜率为，利用点差法计算可得；(1)解：双曲线的渐近线为，即，所以，又焦点到直线的距离，所以，又，所以，，所以双曲线方程为(2)解：设，，直线的斜率为，则，，所以，，两式相减得，即即，所以，解得，所以直线的方程为，即，经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，所以直线的方程为.20．已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点的动直线与椭圆交于两点，为轴上的一点，设直线和的斜率分别为和，若为定值，求点的坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得到椭圆的下顶点为和椭圆过点求解；（2）设点坐标为，当直线斜率存在时，设其方程为，与联立，由，结合韦达定理求解；当直线斜率不存在时验证即可.（1）解：由题意，椭圆的下顶点为，故.由对称性，椭圆过点，代入椭圆方程有，解得：.故椭圆的标准方程为：.（2）设点坐标为.当直线斜率存在时，设其方程为，与联立得：.设，则.，，，为定值，即与无关，则，此时.经检验，当直线斜率不存在时也满足，故点坐标为.21．已知圆，圆，动圆与圆内切，与圆外切.为坐标原点.(1)若求圆心的轨迹的方程.(2)若直线与曲线交于、两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.【答案】(1)(2)，【分析】（1）设动圆的半径为，由圆与圆的位置关系分析可得，由椭圆的定义分析可得轨迹是以，为焦点的椭圆，由椭圆的定义分析可得轨迹的方程，即可得答案；（2）设，，联立直线与椭圆的方程可得，利用根与系数的关系可以表示的值，进而可以表示面积，由基本不等式的性质分析可得答案．（1）解：设动圆的半径为，依题意有，，．所以轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，所以，当点坐标为椭圆右顶点时，不符合题意，舍去．所以轨迹的方程．（2）解：设，，联立直线与椭圆的方程，可得，所以，，，得，设原点到直线的距离为，所以，所以，令，则，所以，当且仅当时，等号成立，即当时，面积取得最大值，此时直线方程为．22．设分别是圆的左､右焦点，M是C上一点，与x轴垂直.直线与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为(1)求椭圆C的离心率.(2)设是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A､B两点，过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得的长度为定值？并证明你的结论.【答案】(1)(2)存在，证明见解析【分析】（1）由题意，表示点的坐标，根据斜率与倾斜角的关系，可得出的等量关系，再根据的性质，可得齐次方程，即可得答案；（2）根据椭圆上顶点的性质，可得的值，进而得到椭圆的标准方程，设出直线的方程，并联立且消元整理一元二次方程，写韦达定理，根据垂直，解得截距的值，得到直线过定点，根据圆的性质，直径所对的圆周角为直角，半径为定值，可得圆心便是答案.（1）由题意知，点在第一象限.是上一点且与轴垂直，的横坐标为.当时，，即.又直线的斜率为，所以，即，即，则，解得或（舍去），即.（2）已知是椭圆的上顶点，则，椭圆的方程为，易得直线AB的斜率必然存在，设直线的方程为，由可得所以，又，.，化简整理有，得或.当时，直线经过点，不满足题意；当时满足方程中，故直线经过轴上定点.又为过点作线段的垂线的垂足，故在以为直径的圆上，取的中点为，则为定值，且