人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置一课一练

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考点一：圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为 ，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
考点二：圆与圆相交公共弦求法：两圆方程相减
题型目录
题型一：圆与圆的位置关系
题型二：圆与圆相交公共弦问题
题型三：两圆公切线问题
题型四: 有关圆的轨迹方程
题型五：与圆有关的最值
典型例题
题型一：圆与圆的位置关系
【例1】（2022·全国·高二课时练习）“a＝3”是“圆与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】当两圆外切时，a＝－3或a＝3；当两圆内切时，a＝1或a＝－1．再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】解：若圆与圆相切，
当两圆外切时，，所以a＝－3或a＝3；
当两圆内切时，，所以a＝1或a＝－1．
当时，圆与圆相切，
所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分条件．
当圆与圆相切时，不一定成立，
所以“a＝3”是“圆与圆相切”的不必要条件．
所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分不必要条件．
故选：A
【例2】（北京高二期末）已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（ ）
A．外离B．外切C．内含D．内切
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径为
圆的圆心为，半径为
所以，所以两圆不可能内含，故选C
【例3】（山东聊城市·高二期末）已知圆与圆没有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】圆，表示以为圆心，半径的圆；
所以圆，，圆心，半径为
所以，由于两圆没有公共点，则或者，解得或者，故选C
【例4】（2021·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（ ）
A．12B．11C．10D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得点轨迹，转化为有交点问题
【详解】
，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
又P在圆C上，所以两圆有交点，则，而，
得．
故选：B
【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意求出的距离，得到 P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案．
【详解】由题可知圆O 的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆 O 的两条切线，
切点分别为A，B，使得，则，
在中，，
所以点 在圆上，
由于点 P 也在圆 M 上，故两圆有公共点.
又圆 M 的半径等于1，圆心坐标，
，
∴，
∴.
故选：D.
【题型专练】
1.（浙江高二期末）圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切B．相切C．相交D．外离
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径为
圆的圆心为，半径为
所以，所以两圆相交，故选C
2.（2022·全国·高二课时练习）（多选）若圆与圆没有公共点，则实数a的值可能是（ ）
A．7B．C．－2D．1
【答案】AD
【分析】首先求出两圆的圆心和半径，然后由条件可得两圆相离或内含，由此可建立不等式求解.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径．
因为两圆没有公共点，所以两圆相离或内含，所以或，
所以或，解得或或0＜a＜2．
故选：AD
3.（江西上高二中高二其他模拟（文））已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．内含
【答案】B
【解析】圆，即，表示以为圆心，因为圆关于直线对称。所以圆心在直线上，即，解得，所以圆，，圆心，半径为
圆，，圆心，半径为
所以，所以两圆相外切，故选B
4.（2022·山东聊城·二模）已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】
【分析】设，轨迹可得点P的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.
【详解】
设点，则，
且，由，得
，
即，
故点P的轨迹为一个圆心为、半径为的圆，
则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为，
有，所以两圆相交，满足这样的点P有2个.
故选：B.
5．（全国高二（文））已知圆的标准方程是，圆：关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．内含
【答案】C
【解析】圆，表示以为圆心，半径的圆；因为圆关于直线对称。所以圆心在直线上，即，解得，
所以圆，，圆心，半径为
所以，所以
所以两圆相交，故选C
6．（四川凉山彝族自治州·高二期末（文））已知圆和圆，若圆和有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】圆，表示以为圆心，半径的圆；
所以圆，，圆心，半径为
所以，由于两圆有公共点，则，解得
所以两圆相交，故选C
7．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆，圆，则“”是“圆与圆相交”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两圆相交可求得，由此可判断和推理关系，即可得出答案.
【详解】
圆的标准方程为，故，
若圆与圆相交，则有，
即，解得，推不出，
当，满足，
故“”是“圆与圆相交”的充分不必要条件，
故选：A．
题型二：圆与圆相交公共弦问题
【例1】（湖南湘潭市）已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】圆与圆两式相减得公共弦所在直线的方程为，因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，则故选：A
【例2】（2022·全国·高二课时练习多选题）圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．公共弦AB所在直线的方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】AD
【分析】对于AB，两圆方程相减消去二次项可求得公共弦AB所在直线的方程，对于C，求出圆心到公共弦的距离，然后利用弦心距，弦和半径的关系可求出公共弦的长，对于D，点P到直线AB距离的最大值为
【详解】由与作差可得，
即公共弦AB所在直线的方程为，故A正确，B错误；
对于C，圆心到直线的距离为，圆的半径，
所以，故C错误；
对于D，点P为圆上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为，故D正确.
故选：AD.
【例3】（2022·河南·二模（文））已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，
两式相减得公共弦所在直线方程为：，
分别取，得，解得，即
故选：A
【题型专练】
1．（2021·福建·南靖县第一中学高二期中）下列说法正确的是（ ）
A．过点且在、轴截距相等的直线方程为
B．过点且垂直于直线的直线方程为
C．过两圆及的交点的直线的方程是
D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是
【答案】BC
【分析】求出直线的方程，可判断A选项；利用两直线垂直求出直线的方程，可判断B选项；求出相交弦所在直线的方程，可判断C选项；利用直线与圆的位置关系以及数形结合思想求出的取值范围，可判断D选项.
【详解】对于A选项，当直线过原点时，设直线的方程为，则有，此时所求直线方程为，
若直线不过原点，设所求直线方程为，则，此时所求直线方程为，
所以，过点且在、轴截距相等的直线方程为或，A错；
对于B选项，直线的斜率为，
所以，过点且垂直于直线的直线方程为，即，B对；
对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
，，故两圆相交，
将两圆方程作差得，
所以，过两圆及的交点的直线的方程是，C对；
对于D选项，由可得，得，
所以曲线表示圆的上半圆，
直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示：
当直线与半圆相切且切点位于第二象限时，
则，解得；
当直线过点时，则，解得.
由图可知，直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是，D错.
故选：BC.
2.（天津市南仓中学高二期末）已知圆和圆的公共弦长为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圆与圆两式相减得公共弦所在直线的方程为，因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，则，解得因，故选：A
题型三：两圆公切线问题
【例1】（2022·全国·高二课时练习）设圆，圆，则圆，的公切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【分析】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．
【详解】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．
故选：B．
【例2】（2022·贵州·遵义四中高二期末）已知点，则满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，将所求转化为求圆与圆的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.
【详解】
以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，如图所示，
由题意，满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数
即为圆与圆的公切线条数，
因为，所以两圆外离，
所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线有4条.
故选：D
【例3】（2022全国新高考1卷）写出与圆EQ x\S(2)＋EQ y\S(2)＝1和EQ (x－3)\S(2)＋EQ (y－4)\S(2)＝16都相切的一条直线的方程_______．
【答案】或或
【解析】
【分析】
先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
【题型专练】
1．（2022·贵州黔东南·高二期末（文））若圆与圆有3条公切线，则正数（ ）
A．3B．3C．5D．3或3
【答案】B
【分析】由题可知两圆外切，然后利用两点间的距离公式即得.
【详解】由题可知两圆外切，又圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为4，
，
∴，又，
∴.
故选：B.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知圆与圆有四条公切线，则实数a的取值可能是（ ）
A．－4B．－2C．D．3
【答案】AD
【分析】根据题意可知，两圆外离，即圆心距大于两圆半径之和，解不等式即可得解．
【详解】圆心，半径，圆心，半径．因为两圆有四条公切线，所以两圆外离．又两圆圆心距，所以，解得或．
故选：AD．
3.（2022·全国·高二课时练习）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（ ）
A．y＝0B．3x－4y＝0C．D．
【答案】ACD
【分析】先判断两圆的位置关系可知，两圆相离，公切线有四条，然后由圆的方程可知，两圆关于原点O对称，即可知有两条公切线过原点O，另两条公切线与直线MN平行，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出直线方程，从而解出．
【详解】圆M的圆心为M（2，1），半径．圆N的圆心为N（－2，－1），半径．圆心距，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离，解得k＝0或，对应方程分别为y＝0，4x－3y＝0．另两条切线与直线MN平行，而，设切线方程为，则，解得，切线方程为，．
故选：ACD．
4．（2022·广东广州·高二期末）写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________.
【答案】或或
【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.
【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，
圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线，
易得切线的方程为，
因为，且，所以，设，即，
则到的距离，解得（舍去）或，所以，
可知和关于对称，联立，解得在上，
在上任取一点，设其关于的对称点为，
则，解得，
则，所以直线，即，
综上，切线方程为或或.
故答案为：或或.
题型四: 有关圆的轨迹方程
【例1】（广东）已知动点M与两个定点，的距离的比为，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
【答案】，以为圆心2为半径的圆
【解析】设点.则，化简得：
为以为圆心2为半径的圆.
【例2】已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．
求：(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
【答案】（1）x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)（2）(x－2)2＋y2＝1(y≠0)
【解析】(1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，y＝eq \f(y0＋0,2)，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
用向量数量积的坐标运算表示已知等式化简即得轨迹方程，由方程可判断轨迹．
【详解】
，
，
化简得：，所以，点P的轨迹为圆：
故答案为：
【例4】（2022·全国·高二期中）当点A在曲线上运动时，连接A与定点，则AB的中点P的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设出点A、P坐标，根据中点坐标公式得到其关系，借助A点在已知曲线上代入可得.
【详解】
设，
则由中点坐标公式可得，代入得
整理得P的轨迹方程为.
故答案为：
【题型专练】
1．（全国高二课时练习）方程y＝表示的曲线是（ ）
A．一个圆 B．两条射线 C．半个圆 D．一条射线
【答案】C
【解析】由得，即，∴曲线表示圆x2＋y2＝36在x轴上方的半圆．故选：C.
2．（上海高二专题练习）已知圆过三个点，， ．
（1）求圆的方程；
（2）过原点的动直线与圆相交于不同的、两点，求线段的中点 的轨迹．
【答案】（1）；（2）的轨迹是以为圆心，为半径的圆（点在圆内，不与边界重合）．
【解析】（1）设圆方程为，
则，解得 ，
所以圆方程为，即；
（2）由（1），设，则由 得，，即 ，，．
又在圆内部，所以的轨迹是以为圆心， 为半径的圆（点在圆内部）．
3．（上海）圆C过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）直线的斜率，
所以的垂直平分线m的斜率为1.
的中点的横坐标和纵坐标分别为，.
因此，直线m的方程为.即.
又圆心在直线上，所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组
，解得
所以圆心坐标为，又半径，
则所求圆的方程是.
（2）设线段的中点，
M为线段的中点，则，解得
代入圆C中得，
即线段中点M的轨迹方程为.
4．（江苏）在半面直角坐标系中，如果点P的坐标满足，其中为参数，．证明：点P的轨迹是圆心为，半径为r的圆．
【答案】证明见解析.
【解析】由可得，所以点的轨迹是圆心为，半径为的圆.
题型五：与圆有关的最值
【例1】（2022·全国·高二课时练习）过､两点的所有圆中面积最小的圆方程是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
过､两点的所有圆中面积最小的圆是以AB为直径的圆，由此可求得答案.
【详解】
由题意知､的中点为 ,
因为过､两点的所有圆中面积最小的圆是以AB为直径的圆，
此时圆的半径最小，
故该圆方程为：，
故答案为：
【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则
(1)eq \f(y,x)的最大值和最小值分别为________和________；
(2)y－x的最大值和最小值分别为________和________；
(3)x2＋y2的最大值和最小值分别为_______和_______．
【答案】（1）eq \r(3) -eq \r(3) （2）－2＋eq \r(6)，－2－eq \r(6).（3）7＋4eq \r(3) 7－4eq \r(3)
【解析】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， eq \r(3)为半径的圆．
(1)eq \f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3).所以eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3).
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，解得b＝－2±eq \r(6)，所以y－x的最大值为－2＋eq \r(6)，最小值为－2－eq \r(6).
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3).
（3）
【例3】（2022·浙江宁波·高一期中）已知复数z满足（i为虚数单位），则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【解析】令，x，，则，
即，表示点与点距离为1的点集，
此时，表示圆
上点到原点距离，所以的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，
而圆心到原点距离为，且半径为1，
所以圆上点到原点的距离的最大值为．
故选：B．
【题型专练】
1．（全国高二课时练习）若，则的取值范围为
【答案】
【解析】因为，所以所以
如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,

的几何意义是点与点连线的斜率
如图，，
，
所以的取值范围为故选：D
2.(保定质检)已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．
【答案】 2eq \r(5)
【解析】因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，
故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r＝eq \r(5)的圆．
设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n＝－2，))故A′(－4，－2)．
连接A′C交圆C于Q，由对称性可知
|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq \r(5).
3.（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文））世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，对应的点的轨迹为圆；
的几何意义为点到点的距离，
.故选：C.
4.已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求eq \f(y－3,x＋2)的最大值和最小值．
【答案】（1）6eq \r(2) 2eq \r(2)（2）2＋eq \r(3)，2－eq \r(3).
【解析】(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2eq \r(2).
又|QC|＝eq \r(2＋22＋7－32)＝4eq \r(2)，∴|MQ|max＝4eq \r(2)＋2eq \r(2)＝6eq \r(2)，
|MQ|min＝4eq \r(2)－2eq \r(2)＝2eq \r(2).
(2)可知eq \f(y－3,x＋2)表示直线MQ的斜率k.
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
∵直线MQ与圆C有交点，
∴eq \f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq \r(2)，
可得2－eq \r(3)≤k≤2＋eq \r(3)，
∴eq \f(y－3,x＋2)的最大值为2＋eq \r(3)，最小值为2－eq \r(3).
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0