高二数学下学期期中模拟试题02（数列、导数、计数原理）-高二数学同步教学题型讲义（人教A版选修）

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．等比数列中，，则（ ）
A．-4B．2C．4D．4
【答案】C
【分析】利用等比数列的性质直接求解.
【详解】等比数列中，所以.
又，所以或.
因为，所以.
因为，所以4.
故选：C
2．已知展开式的常数项为76，则（ ）
A．1B．61C．2D．
【答案】A
【分析】由，利用二项式定理求其展开式，再求各部分的展开式，确定展开式的常数项表达式，列方程求.
【详解】因为，
所以，
的展开式的通项为，，
当时为常数项，常数项为，
的展开式的通项为，，
展开式没有常数项，
的展开式的通项为，，
展开式没有常数项，
的展开式的通项为，，
当时为常数项，常数项为，
的展开式的通项为，，
展开式没有常数项，
的展开式没有常数项，
又为常数，
所以常数项为，
所以，又，
解得．
故选：A.
3．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：，贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小明期待想去影院看的．小明同学家附近有甲､乙两家影院，小明第一天去甲､乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小明同学（ ）
A．第二天去甲影院的概率为0.44
B．第二天去乙影院的概率为0.44
C．第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为
D．第二天去了乙影院，则第一天去甲影院的概率为
【答案】D
【分析】先表示基本事件，根据题中概率及贝叶斯概率公式进行逐一判断即可.
【详解】设:第一天去甲影院，:第二天去甲影院，
:第一天去乙影院，:第二天去乙影院，
所以，，，
因为，
所以，
所以有,
因此选项A不正确；
，因此选项B不正确；
，所以选项C不正确；
，
所以选项D正确，
故选：D
4．阳春三月，草长莺飞，三个家庭的3位妈妈和1位爸爸带着3位女宝宝和2位男宝宝共9人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，宝宝不排最前面也不排最后面，为了方便照顾孩子，每两位大人之间至多排2位宝宝，由于男宝宝喜欢打闹，由这位爸爸照看且排在2位男宝宝之间.则不同的排法种数为（ ）
A．216B．288
C．432D．512
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合插空法、捆绑法列式计算作答.
【详解】求不同的排法种数这件事需要5步：
先排3位妈妈，有种方法；
把这位爸爸与2位男宝宝按爸爸在2位男宝宝之间，视为一个整体插入3位妈妈排列形成的中间2个间隙，有种方法；
下面分为两类：①再任取2位女宝宝排在2位没有宝宝的妈妈间，有种方法；
然后把余下的女宝宝排在男宝宝与妈妈的2个间隙中，有种方法；
最后排2位男宝宝，有种方法，
由分步乘法计数原理得：不同的排法种数为；
②再任取2位女宝宝排在男宝宝和妈妈间，有种方法；
然后把余下的女宝宝排在没有宝宝的妈妈中间，有种方法；
最后排2位男宝宝，有种方法，
由分步乘法计数原理得：不同的排法种数为；
所以不同的排法共有种.
故选：C
【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
5．小明与小红两位同学计划去养老院做义工．如图，小明在街道E处，小红在街道F处，养老院位于G处，小明与小红到养老院都选择最短路径，两人约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：小明经过H；事件C：从F到养老院两人的路径没有重叠部分（路口除外），则下面说法正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）．
A．3B．2C．1D．0
【答案】A
【分析】根据组合知识结合古典概型概率公式及条件概率的求法逐项分析即得.
【详解】小明到养老院能选择的最短路径条数为条；
小明到F的最短路径走法有条，再从F到养老院的最短路径有条，小明经过F到养老院能选择的最短路径条数为条，
所以，故（1）正确；
小明从H到养老院的最短路径有条，即，
从H到F的最短路径有条，从F到养老院的最短路径有3条，即，所以，故（2）正确；
又，
所以，故（3）正确．
故选：A.
6．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将恒成立转化为的导函数大于1在上恒成立，即，然后求最值即可.
【详解】因为，所以，即，
因为恒成立，
所以函数在上任意两点连线的斜率大于1，则的导函数大于1在上恒成立，
所以，整理得，所以，
因为二次函数开口向下，对称轴为，
所以在上单调递减，
所以.
故选：A.
7．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且于点M，AB的垂直平分线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为，则（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】设出直线AB的方程，联立抛物线方程，表达出点坐标，作出辅助线，求出，得到四边形DMFN为平行四边形，利用面积列出方程，求出.
【详解】由题意知，直线AB的方程为．
设，由，得，
所以，所以，
由，得．
如图所示，作轴于点E，则．
因为，
故，，
又，故，
又，得四边形DMFN为平行四边形．
所以其面积为，解得．
故选：A
8．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数研究的单调性及最值，得出，即，再进一步计算和放缩得到结果.
【详解】令，，所以在上单调递减，又，所以，即.
令，则，则，即，
所以.
由，得，
所以，
综上.
故选：.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的前10项和为
【答案】BCD
【分析】先根据题干条件算出等差数列的通项公式，然后逐一分析每个选项即可.
【详解】根据等差中项，，解得，，解得，设等差数列的公差为，则，于是等差数列的通项公式为：，故A选项错误；
根据等差数列前n项和公式，，B选项正确；
根据B选项可知，，最大值在取得，故C选项正确；
，故的前10项和为：，D选项正确.
故选：BCD
10．如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为，用表示小球落入格子的号码，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】分析得到，进而利用二项分布求概率公式求出相应的概率，利用二项分布求期望和方差.
【详解】设“向右下落”， “向左下落”，则，
因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，
所以，于是，同理可得：，A正确，B错误；
由二项分布求期望及方差公式得：，，C错误，D正确.
故选：AD
11．已知是抛物线的焦点，，是抛物线上相异两点，则以下结论正确的是（ ）
A．若，那么
B．若，则线段的中点到轴的距离为
C．若是以为直角顶点的等腰三角形，则
D．若，则直线的斜率为
【答案】BCD
【分析】对于选项A，B，根据抛物线定义与性质判断选项A，B；
对于选项C，D，用直线的倾斜角为表示，进一步计算判断C，D选项.
【详解】对于A，只有当直线过焦点时，根据抛物线性质得，此题不一定过焦点，故A错误.
对于选项B，，根据抛物线性质得：，即，设中点横坐标为则线段的中点到轴的距离为，故B正确.
对于选项C，D，用直线的倾斜角为表示，
如图，过点作轴，垂足为，作垂直于准线的直线，垂足为.
设直线的倾斜角为.，则，即，同理可得.
若是以为直角顶点的等腰三角形, 或，
当时，
当时，故C正确.
对于选项D，得：（A上B下）或（B上A下）解得：或则直线的斜率为，故D正确；
故选：BCD
【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论
设是过抛物线的焦点的弦，若，，则：
（1），；
（2）若点在第一象限，点在第四象限，则，，
弦长，（为直线的倾斜角）；
（3）；
（4）以为直径的圆与准线相切；
（5）以或为直径的圆与轴相切.
12．关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．是的极小值点
B．函数图像上的点到直线的最短距离为
C．函数有且只有1个零点
D．不存在正实数k，使成立
【答案】AB
【分析】对A：求导，利用导数求极值点；对B：结合导数的几何意义分析运算；对C：求导，利用导数分析零点问题；对D：结合选项C中的结论分析判断.
【详解】对A：函数的定义域为，，
当时，；当时，；
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，故A正确；
对B：设直线与函数的图像相切，切点坐标为，
由，可得，解得，
所以，即切点为，
则切点到直线的距离为，
即函数图像上的点到直线的最短距离为，故B正确；
对C：因为，所以，
当时，；当时，；
故函数在上单调递减，在上单调递增，则，
所以函数不存在零点，故C不正确，
对D：由选项C可知：，即恒成立，
所以存在正实数k，使恒成立，故D错误．
故选：AB．
【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数研究函数的极值、导数的几何意义、零点问题和不等式问题等，基础性与综合性并举，对考生的逻辑推理能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力等思维能力要求比较高．注意极值点和零点都是数，不是点，不要混淆．对于选项B，注意数形结合，将直线平移，使之与曲线相切，求出切点，再利用点到直线的距离公式求解．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若，则______．
【答案】
【分析】令可得，分析可知为展开式中的系数，然后利用二项式定理可求得的值.
【详解】令可得，则，
所以，，
所以，为展开式中的系数，
的展开式通项为，
所以，.
故答案为：.
14．口袋中放有大小相等的2个白球和1个黑球，有放回地每次摸取1个球，定义数列：若第次摸到白球，；若第次摸到黑球，.设为数列的前项和，则的概率为______.
【答案】
【分析】题意说明共摸球七次，只有两次摸到白球，利用独立事件的概率公式求解即可
【详解】由题意说明共摸球七次，只有两次摸到白球，
因为每次摸球的结果之间没有影响，摸到白球的概率是，摸到黑球的概率为，
所以只有两次摸到白球的概率为，
故答案为：
15．已知双曲线的左焦点为，过作的渐近线的垂线，垂足为，直线与的交点为，且，则的离心率为______．
【答案】
【分析】设双曲线的右焦点为，由题意求出，在中，由余弦定理，得，代入化简即可求出的离心率.
【详解】解：由知，点在双曲线的右支上，且．
根据双曲线的对称性，不妨设点在第二象限．设为坐标原点，
则直线的方程为．因为，
所以点到直线的距离为．
因为，所以，所以．
由，知．设双曲线的右焦点为，连接．
由双曲线的定义可知．
在中，由余弦定理，得
．整理，
得，即，
即，则，得，
所以的离心率．
故答案为：.
16．已知函数，若不等式有且仅有1个整数解，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【分析】在同一直角坐标系中，作出函数与直线的图象，根据恒过点和有且仅有一个整数解得不等式，从而解得a的取值范围．
【详解】易知的定义域为，由有且仅有1个整数解，
所以不等式有且仅有1个整数解．
设，则，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数．
又，则当时，；当时，．
设，则直线恒过点，在同一直角坐标系中，作出函数与直线的图象，如图所示，
由图象可知，，
要使不等式有且仅有1个整数解，
则，解得，实数a的取值范围为．
故答案为: ．
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，三棱柱中，，，侧面为菱形
(1)求证：平面平面；
(2)若，，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质，结合线面垂直、面面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据面面垂直的判定定理和性质定理，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）由，，故，且，
所以，又，又，平面，
所以平面，而平面，则.
因为四边形是菱形，所以，
由，平面，于是平面.
又平面，因此平面平面；
（2）因为，四边形是菱形，所以是正三角形.
取BC的中点O，连接，则，
由（1）知：平面，平面，所以平面平面ABC.
又平面平面，平面，所以平面ABC.
以O为坐标原点，OC，所在直线分别为y，z轴，在面ABC内过O且与AB平行的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，.
易知平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则，令，
则.
设二面角的大小为，则，而，
所以，二面角正弦值为.
18．已知函数.
(1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；
(2)若函数在定义域内是减函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由函数在处的切线与直线垂直，列方程求出实数的值；
（2）函数在定义域内是减函数，转化为在上恒成立，通过参变分离，构造新函数，求出函数的最大值，可得实数的取值范围．
【详解】（1）由题意，在处的切线与直线垂直，
则切线斜率，
，，解得；
（2）函数在定义域内是减函数，
则在上恒成立，且函数不为常函数，
分离参变量可得：，
构造，
，令，解得
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，
实数的取值范围是．
19．已知数列满足，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由题意先求出，再根据，得，从而可得，再利用构造法求出的通项，从而可得的通项公式；
（2）分为偶数和奇数两种情况讨论，再结合分组求和法即可得解.
【详解】（1），得，
因为，即，解得，
由，得，
又，
故，所以，即，
所以，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
则，故，
所以；
（2）当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
综上所述，.
20．2022年河南､陕西､山西､四川､云南､宁夏､青海､内蒙古8省区公布新高考改革方案，这8省区的新高中生不再实行文理分科，今后将采用“3+1+2”高考模式.“3+1+2”高考模式是指考生总成绩由全国统一高考的语文､数学､外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分.“3”是三门主科，分别是语文､数学､外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门，按原始分计入成绩；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门，但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分.
(1)若按照“3+1+2”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”的概率；
(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试､满分450分，并给前640名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布.
①考生甲得知他的成绩为260分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为210分，290分以上共有91人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；
②考生丙得知他的实际成绩为425分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为240分，360分以上共有91人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪.
附：，，.
【答案】(1)
(2)①甲同学能够获得荣誉证书，理由见解析；②答案见解析
【分析】（1）根据排列组合计算个数，利用古典概型的概率公式即可求解，
（2）①根据以及可得，进而得，即可利用正态分布的概率计算前640名学生成绩的最低分，由此可判断甲同学是否获奖，
②利用正态分布可得，即可根据统计学中的原则进行判断.
【详解】（1）设事件：选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”，
从物理､历史里选一门，生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门的方案有种等可能情况，
事件即从剩余生物学､思想政治､化学三个科目中选择一个有种等可能情况，
所以.
（2）设此次网络测试的成绩.
①由题意可知，
因为，且，
即，，
所以.而，
，
所以前640名学生成绩的最低分低于，
而考生甲的成绩为260分，所以甲同学能够获得荣誉证书.
②（结果是开放的，只要学生的统计理由充分，即可得分，以下两种理由供参考）
若考生乙所说为真，则，
，
而，所以，
从而.
理由1：根据统计学中的原则，即认为为小概率事件，即丙同学的成绩为425分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假.
理由2：，4000名学生中成绩大于420分的约有人，这说明4000名考生中，也会出现约5人的成绩高于420分的“极端”样本，由于样本的随机性，丙同学的成绩为425分也有可能发生，所以可认为乙同学所说为真.
21．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在C上.
(1)求C的方程；
(2)若圆的切线l与C交于点A，B，证明为定值，并求出定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定值为
【分析】(1)利用对称性可以判断经过，两点，与的纵坐标相同可以判断在上，进而求出结果；
(2)先讨论切线的斜率不存在时，求出，再讨论切线的斜率存在时，利用相切得到，进而联立直线与椭圆可以判断，从而求出结果.
【详解】（1）由，两点关于轴对称，可得经过，两点.
与的纵坐标相同，且都位于第一象限，不可能都在上，所以不在上.
所以在上.
则，解得，
故的方程为.
（2）当切线的斜率不存在时，得.
当时，可得，.
，则.
当时，同理可证.
当切线的斜率存在时，设.
因为与圆相切，
所以圆心到的距离为，
即，
联立得.
设，，则，.
.
由，得，则.
综上，若圆的切线与交于点A，B，则，
所以由等面积法可得，
所以为定值，定值为.
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
22．已知函数.
(1)求函数的零点个数；
(2)若，且，求证：.
【答案】(1)1个
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，判断其单调性，结合零点存在定理，即可得出结论；
（2）将化为，则要证明原不等式成立，只需证明，结合（1）的结论，可得，令，即可证明，从而证明原不等式成立.
【详解】（1）由得，
设，且，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，即，仅当时取等号，
故时R上的单调增函数，
又，
故在上有唯一的零点，即在R上有唯一的零点，
即函数的零点个数为1个.
（2）因为，
故要证明：，，
即，
只需证：，即需证：，
即证：，
由（1）可知为R上的单调增函数，
故当时，，即，即，
故 ，即，
令，即，
故成立.
【点睛】关键点睛：第二问要证明成立，关键在于将等价变形为，从而只需证明，这里实际上是利用的累加法，即可解决问题.