第13讲 导数的最值四种题型总结-高二数学同步教学题型讲义（人教A版选择性必修第二册）

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第13讲 导数的最值四种题型总结 【考点分析】考点一：函数的最值一个连续函数在闭区间上一定有最值，最值要么在极值点处取得，要么在断点处取得。求函数最值的步骤为：①求在内的极值（极大值或极小值）；②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【题型目录】题型一：利用导数求函数的最值（不含参）题型二：根据最值求参数题型三：根据最值求参数范围题型四：含参数最值讨论问题【典型例题】题型一：利用导数求函数的最值（不含参）【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上可导，则“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为，充分性成立；利用可验证出必要性不成立，由此得到结论.【详解】为开区间    最小值点一定是极小值点    极小值点处的导数值为充分性成立当，时，，结合幂函数图象知无最小值，必要性不成立“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的充分不必要条件故选：【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为，但导数值为的点未必是极值点.【例2】（2022·全国·高二课时练习）函数在上的最大值、最小值分别是A． B． C． D．【答案】D【分析】求得导函数，令即可求得极值点．再代入端点值即可求得最大值与最小值．【详解】函数所以，令解方程可得由表格可知，函数在上的最大值为，最小值为所以选D【点睛】本题考查利用导数求函数在某区间内的最大值与最小值，注意函数端点处对函数最值的影响，属于基础题．【例3】(2022江苏单元测试)函数在[0，2]上的最大值是( )A． B． C．0 D．【答案】A【解析】由，得，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以，故选：A【例4】（2022·全国·高二课时练习）设，在上，以下结论正确的是 （    ）A．的极值点一定是最值点 B．的最值点一定是极值点C．在上可能没有极值点 D．在上可能没有最值点【答案】C【分析】结合极值点、最值点的概念对所给选项进行分析即可.【详解】由已知，，由，得或时；由，得时，所以在上单调递增，在，上单调递减.对于选项A，取 ，易知的极值点为，且，而，所以不是最小值点，故A错误；对于选项B，取，则在上单调递减，故是最值点，但不是极值点，故B错误，C正确；对于选项D，由连续函数在闭区间上一定存在最值，知选项D错误.故选：C【点睛】本题考查函数的极值点、最值点概念的辨析，考查学生对极值点、最值点的理解，是一道容易题.【例5】已知函数，，则函数的最大值为（       ）A．0 B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据函数的导函数的正负性判断函数在已知区间的单调性，结合余弦函数的性质进行求解即可.【详解】∵，∴当时，单调递增，当时， 单调递减，∴.故选：C.【例6】（2022·全国·高二课时练习）已知函数在x=2处取得极小值，则在上的最大值为______．【答案】【分析】根据函数在x=2处取得极小值可得，求得a的值，继而判断函数在上的极值情况，计算端点处函数值并进行比较，可得答案.【详解】因为，所以，由题意可得，解得，则，，令，可得x=1或x=2，当x在上变化时，与的变化情况如下表：所以函数的极大值为，极小值为，又因为，且，所以，所以，故答案为：【例7】（2022·山东·滕州市第一中学新校高三阶段练习）已知函数(1)当时，求在上的值域；【答案】(1)【分析】（1）由，可知单调递增，从而 可求得值域；（1）由题意知，，时，，，时，恒成立，所以单调递增，∴，即所以的值域为.【例8】（2022·江苏省响水中学高二阶段练习）已知函数．(1)求函数在区间上的最小值；【答案】(1)0【分析】（1）先对函数求导得，令，求导后判断其单调性，结合零点存在性定理可求出原函数的单调性，从而可求出其最小值，（1）因为，所以．记．则，所以为上的单调减函数．又，，所以存在唯一的实数，使得．所以当时，；当时，，所以函数在单调递增，在单调递减，因为，，所以，【题型专练】1．（2022·全国·高二课时练习）（多选）下列结论中不正确的是（    ）.A．若函数在区间上有最大值，则这个最大值一定是函数在区间上的极大值B．若函数在区间上有最小值，则这个最小值一定是函数在区间上的极小值C．若函数在区间上有最值，则最值一定在或处取得D．若函数在区间内连续，则在区间内必有最大值与最小值【答案】ABC【分析】根据极值与最值的关系判断即可.【详解】若函数在区间上有最值，则最值可能在极值点或区间端点处取得，故A，B，C都不正确；函数在闭区间上一定有最值，故D正确.故选：ABC.2.(2022全国课时练习)函数y＝的最大值为( )A．e－1 B．e C．e2 D．10【答案】A【解析】令 当时， ；当 时 ， 所以函数得极大值为 ，因为在定义域内只有一个极值，所以故选：A.3．（2023陕西安康市教学研究室一模（文））函数在上的最小值为___________．【答案】【分析】利用导数确定单调性即可求解最值.【详解】因为，当时,，所以在上单调递增，所以．故答案为：4.函数在上的最大值为（　　）A． B．π C． D．【答案】B【解析】【分析】利用导数研究的单调性，进而求其最大值.【详解】由题意，在上，即单调递增，∴.故选：B5．（2022山东淄川中学高二阶段练习（文））定义在闭区间上的连续函数有唯一的极值点，且，则下列说法正确的是A．函数的最大值也可能是 B．函数有最小值，但不一定是C．函数有最小值 D．函数不一定有最小值【答案】C【分析】根据函数的极值与最值的定义即可求解.【详解】∵定义在闭区间上的连续函数有唯一的极值点，且，∴函数在区间上单调递减，在上单调递增，∴当时，函数有极小值，也为最小值．故选：C．6.（2022·河南郑州·三模（文））在区间上的最小值是（       ）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】【分析】求导函数，分析其导函数的符号，得出原函数的单调性，从而可求得最小值．【详解】因为，所以，令，解得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数在上的最小值为，故选：B．7．（2022·浙江省诸暨市第二高级中学高二期中多选题）下列说法错误的是（    ）A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大;B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值;C．对于，若，则无极值;D．函数在区间上一定存在最值.【答案】ABD【分析】对于A，利用函数极值的概念判断，对于BD，利用函数最值的概念判断，对于C，对函数求导后，可知，从而可求出的范围【详解】对于A，因为函数的极值是它附近的函数值比较，是一个局部概念，所以函数在闭区间上的极大值不一定比极小值大，所以A错误，对于B，因为函数在闭区间上的最大值在极大值或端点处取得，所以函数在闭区间上的最大值不一定是极大值，所以B错误，对于C，由，得，当时，，所以，所以在上递增，所以无极值，所以C正确，对于D，若函数在区间上是增函数或减函数，由于端点处函数值无意义，所以函数在区间上没有最大值和最小值，所以D错误，故选：ABD8.（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最大值【详解】解：由，得，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，因为，所以函数的最大值为，故选：B题型二：根据最值求参数【例1】（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数（为常数），在区间上有最大值，那么此函数在区间上的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得导数，得出函数的额单调性，结合函数单调性和端点的函数值，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，令，即，解得或（舍去）．当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时取最小值，而，即最大值为，所以，所以此函数在区间上的最小值为故选：B.【例2】（2021·全国·高三专题练习）已知函数（），，的最大值为3，最小值为，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用导数求出函数的单调性，得到的最小值为，最大值为，解方程组即得解.【详解】．令，得或（舍去）．当时，，当时，，故为极小值点，也是最小值点．∵，，，∴的最小值为，最大值为，∴，解得，∴．故选：C【例3】（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数的最小值为0．(1)求实数的值；【答案】(1)；【分析】（1）求导函数，导函数为增函数，由题意在定义域内有实数解，即，而，由此得出关于的方程，引入新函数，利用导数证明此方程只有唯一解，从而可得结论；（1），显然在定义域内是增函数，有最小值，则有实数解，时，，，，，，令，，时，，递减，时，，递增，所以，因此由得；【例4】（2022·全国·高三阶段练习）已知和有相同的最大值.（）(1)求的值；【答案】(1)【分析】（1）分别用导数法求出与的最大值，由最大值相等建立等式即可求解；（1）的定义域为，且，，当时，，递增；当时，，递减；所以，的定义域为，且，当时，，递增；当时，，递减；所以，又和有相同的最大值，所以，解得，又，所以；【例5】（2023天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习）已知函数．(1)若f(x)在(–1，f(–1))处的切线方程为，求a，k的值；(2)求f(x)的单调递减区间；(3)若f(x)在区间[–2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【答案】(1)(2)和(3)【分析】（1）利用切点和斜率求得.（2）利用导数求得的单调递减区间.（3）分析在区间上的极值以及区间端点的函数值，结合最大值为求得，进而求得最小值.(1)因为，所以，由题设可得，解得.(2)令，解得或，所以函数f(x)的单调递减区间为和．(3)因为，所以．因为在上，所以f(x)在[– 1，2]上单调递增，又由于f(x)在[– 2，– 1]上单调递减，因此f(2)和f(– 1)分别是f(x)在区间[– 2，2]上的最大值和最小值．于是有22+a=20，解得．故.因此，即函数f(x)在区间[– 2，2]上的最小值为– 7．【题型专练】1．（2022江苏高二专题练习）若函数在区间上的最大值是4，则m的值为(    )A．3 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】利用导函数求出在上的单调性，然后结合已知条件即可求解.【详解】，令，解得或，当时，；当时，或，故在和上单调递增，在上单调递减，从而在上单调递减，在上单调递增，又，，则，所以在区间上的最大值为，解得．故选：B．2．（2022全国高二课时练习）已知函数（a是常数）在上有最大值3，那么它在上的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求导得到函数的单调区间得到函数最大值为，再比较端点值的大小得到最小值.【详解】，由得或，故函数在上单调递增；由得，故函数在上单调递减，故函数的最大值为．故．又，，故当时，函数取得最小值为-37．故选：D.3．（2020·河北·张家口市第一中学高二期中）若函数在区间上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为（    ）A．-5 B．7 C．10 D．-19【答案】A【分析】利用导数判断函数的单调性，根据最值，即可求得，再求函数在该区间的最小值.【详解】，，当时，，函数单调递减，所以函数的最大值是，得，函数的最小值是.故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若区间的最小值为且最大值为1，则的值可以是（    ）A．0 B．4 C． D．【答案】AB【分析】先求导，分类讨论利用导数法研究函数的最值，即可求解【详解】，令，解得或.①当时，可知在上单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为.此时，满足题设条件当且仅当，，即，.故A正确.②当时，可知在上单调递减，所以在区间的最大值为，最小值为.此时，满足题设条件当且仅当，，即，.故B正确.③当时，可知在的最小值为，最大值为b或或，，则，与矛盾.若，，则或或，与矛盾.故C､D错误.故选：AB5．（2022·广东梅州·高二阶段练习）已知函数．(1)若函数的最大值是，求实数的值；【答案】(1)1【分析】（1）求出函数的导函数，对分两种情况讨论得到函数的单调性，结合，求出参数的值；(1)解：因为的定义域为，由题意  由．当时，，，则函数在上单调递增，故当时，，不合乎题意；当时，由，可得．当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减则，故，解得．6．（2022·全国·高二期末）已知函数的最小值为．(1)求的值；【答案】(1)【分析】（1）利用导数求得函数的单调区间可得，计算可得结果.(1)由题可知.令，解得；令，解得.所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.7．（2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习（理））设函数的导数满足，.(1)求的单调区间；(2)在区间上的最大值为，求的值.(3)若函数的图象与轴有三个交点，求的范围.【答案】(1)递增区间为，递减区间为，(2)(3)【分析】（1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出，的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求的单调区间；（2）利用导数求出函数在区间上的最大值，建立方程关系即可求的值.（3）根据的单调性求得极值，令极大值大于，极小值小于，解不等式即可求的范围.（1）由可得，因为，，所以，解得：，，所以，，由即可得：，由即可得：或，所以的单调递增区间为，单减区间为和.（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，，，则在区间上的最大值为，所以.（3）由（1）知当时，取得极小值，当时，取得极大值，若函数的图象与轴有三个交点，则得，解得，即的范围是.题型三：根据最值求参数范围【例1】（2022·重庆十八中高二期末）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求导，求得其最小值点，再根据在区间上有最小值，由最小值点在区间内求解可得.【详解】因为函数，所以，当或时，，当时，，所以当时，取得最小值，因为在区间上有最小值，且所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：C【例2】（2022·山西运城·模拟预测（理））已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】先利用导数判断出函数的极值点，建立不等式，即可求出的取值范围.【详解】，，当时，，单调递减；当或时，，单调递增，∴在处取得极小值，在处取得极大值.令，解得或，又∵函数在上存在最小值，且为开区间，所以，解得.即的取值范围是.故答案为：.【例3】（2022·全国·高三专题练习（文））若函数在上有最大值，则a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导分析，并分析函数的单调性，得在处取到极大值，根据条件可知，代入函数解不等式即可．【详解】由得，当时，；当时，；当时，；所以在和上单调递增，在上单调递减，故在处取到极大值，又因为在上有最大值，且所以，则解得故选：A【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知函数无最大值，则实数a的取值范围是(    )A． B． C． D．【答案】D【分析】令，求导研究其单调性和极值，作出和y＝－2x的图像，数形结合即可得到f(x)无最大值时，a的取值范围.【详解】令，则，令，解得或；令，解得，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，g(－1)＝2，g(1)＝－2，据此，作出和y＝－2x的图像，由图可知，当x＝a＜－1时，函数f(x)无最大值.故选：D.【点睛】本题关键是利用导数求出g(x)单调性，求出其极值点和极值，以便准确作出其图像，然后数形结合即可求解.【例5】（2022·全国·高二单元测试）若函数在上有最小值，则实数a的值可能是（    ）.A． B． C．0 D．1【答案】ABC【分析】利用导数研究函数的性质可得为函数的极小值点，为极大值点.根据题意可知函数的极小值点必在区间内，即且，解不等式组即可.【详解】令，解得，所以当时，当时，所以为函数的极小值点，为函数的极大值点.因为函数在区间上有最小值，所以函数的极小值点必在区间内，即实数a满足，且.由，解得.不等，即，有，，所以，即.故实数a的取值范围是.故选：ABC.【题型专练】1．（2022·重庆·高二阶段练习）函数在区间上有最小值，则m的取值范围是(    )A． B． C． D．【答案】B【分析】根据f(x)的导数求f(x)的单调性和极值，作出f(x)简图，数形结合即可求m的范围.【详解】，易知在，单调递增，在单调递减，又，，，，故f(x)图像如图：函数在区间上有最小值，则由图可知.故选：B.2．（2022重庆高二期末）若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出函数的导数，分析函数的单调性，可得在处取得最小值，由题意可得，从而可求实数的取值范围【详解】由，得，当或时，，当时，，所以在和上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，因为函数在区间内有最小值，所以，且，所以，且，解得，故选：D3.（2022·辽宁实验中学高二期中）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是______．【答案】【分析】对函数求导，求出函数的单调区间和极值，再根据函数在上存在最小值求参数范围.【详解】，当时，单调递减；当或时，单调递增，∴在取得极大值，处取得极小值.令，整理得，解得：或∵函数在上存在最小值，∴，解得.故答案为：.4．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是____________.【答案】【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，由已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为，则，令，可得；令，可得或.所以，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为，所以，，令，即，即，解得，如下图所示：由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.5.（2022宁夏石嘴山市第一中学高三月考（文））设函数.①若，则的最大值为____________________；②若无最大值，则实数的取值范围是_________________.【答案】2 【解析】①若，则，时的值域为，时，则故时，单调递增；时，单调递减，，故值域为，综上，值域为，最大值为2；②函数，故时的值域为，所以要使无最大值，则需时的最大值小于.由，知，当时在上单调递增，，故解得；当时或，故且，无解，综上，要使无最大值，则.故答案为：2；.题型四：含参数最值讨论问题【例1】（2020·四川省阆中东风中学校高三月考（文））已知函数，其中为常数，且.（1）当时，求的单调区间；（2）若在处取得极值，且在的最大值为1，求的值.【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）或.【解析】（1），，令，得或1，则列表如下：所以在和上单调递增，在上单调递减.（2）∵，令，，，因为在处取得极值，所以，①时，在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上的最大值为，令，解得；②当，；(i)当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能在或处取得，而，∴，∴，(ii)当时，在区间上单调递增；上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能在或处取得而，所以，解得，与矛盾；(iii)当时，在区间上单调递增，在单调递减，所以最大值1可能在处取得，而，矛盾，综上所述，或【例2】（2022北京市第十三中学高三开学考试）已知函数.（1）函数的最大值等于________；（2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是________.【答案】 1 【解析】（1）函数定义域是，，时，，递增，时，，递减，∴时，取得极大值也是最大值；（2）若对任意，都有成立，等价于当时，，由（1）当时，，且，满足题意；当，在上递增，，在递减，，只要即可，∴，综上，的最小值是1.．故答案为：；1．【例3】（2021·湖北·武汉市第一中学高三阶段练习）已知函数.（1）若，求函数在区间上的最大值与最小值；（2）若函数的最小值为0，求实数的值.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）求导，得到函数的单调区间,即可求出最值.(2)对参数进行分类讨论，即可求解.【详解】解：（1）∵，∴.令，得.当，∴，∴是单调递减的；当，∴，∴是单调递增的，∴，.又∵，，∴，∴，.（2），当时，，∴在上是递增的，无最小值，不满足题意；当时，令，得.当时，，∴是单调递减的；当时，，∴是单调递增的，∴.令，.令，则.当，，∴是递增的；当，，∴是递减的.∴，∴，即.【题型专练】1．（2022·山东烟台·高二期末）若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（    ）A．－2 B．－1 C．2 D．【答案】C【分析】对函数求导后，分和两种情况求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值，使最小值等于零，从而可出实数a的值【详解】由，得，当时，在上恒成立，所以在上递增，所以，解得（舍去），当时，由，得或，当时，在上恒成立，所以在上递增，所以，解得（舍去），当时，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值，所以，解得（舍去），当时，当时，，所以在上递减，所以，解得，综上，，故选：C2.【2019年高考全国Ⅲ卷】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）或.【解析】（1）．令，得x=0或.若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a