2023-2024学年广西贵百河三市高一（上）联考数学试卷（12月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年广西贵百河三市高一（上）联考数学试卷（12月份）(含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2}，N={3,4}，则∁U(M∪N)=( )
A. {5}B. {1,2}C. {3,4}D. {1,2,3,4}
2.已知命题p：∃x0≤0，(x0+1)ex0>1，则¬p为( )
A. ∀x>0，(x+1)ex≤1B. ∀x≤0，(x+1)ex≤1
C. ∃x0≤0，(x0+1)ex0≤1D. ∀x>0，(x+1)ex≥1
3.若xy≠0，则“x+y=0”是“yx+xy=−2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )
A. ①y=x3，②y=x2，③y=x12，④y=x−1
B. ①y=x3，②y=x2，③y=x−1，④y=x12
C. ①y=x2，②y=x3，③y=x−1，④y=x12
D. ①y=x3，②y=x12，④y=x2，④y=x−1
5.设集合A={0,−a}，B={1,a−2,2a−2}，若A⊆B，则a=( )
A. 2B. 1C. 23D. −1
6.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的≈1481倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过天.(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010)( )
A. 9B. 15C. 25D. 35
7.已知函数f(x)=3x+x，g(x)=lg3x+x，h(x)=−x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>a>bD. b>a>c
8.已知函数f(x)=(3a−2)x+4a,x<1lgax,x≥1是R上的减函数，那么实数a的取值范围是( )
A. (0,1)B. (0,23)C. [17,13)D. [27,23)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下运算结果等于2的是( )
A. (π−4)2B. 202322023C. −3−23D. (−2)2
10.下列各组函数是同一函数的是( )
A. f(x)=x2−2x−1与g(s)=s2−2s−1
B. f(x)= x2与g(x)=( x)2
C. f(x)=xx与g(x)=x0
D. f(x)=lg10x与g(x)=10lgx
11.下列说法正确的是( )
A. 函数y=3x与y=(13)x的图象关于y轴对称
B. 函数y=3x与y=(13)x的图象关于x轴对称
C. 函数y=3x与y=−(13)x的图象关于原点对称
D. 函数y=3x与y=−3x的图象关于x轴对称
12.已知函数f(x)=x2+1,x>00,x=0−x2−1,x<0，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的定义域为RB. f(x)的值域为R
C. f(x)为奇函数D. f(x)为增函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=lga(x−3)+1(a>0，且a≠1)的图象恒过点______．
14.函数y=lg3x(3≤x≤81)反函数的定义域为______．
15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+2x，则当x<0时，f(x)= ．
16.已知正数a，b满足a+2b=1，则1a+2b的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)计算：(214)12−4×(1649)−12−42×80.25−(1681)−14；
(2)已知3a=5b=c，且1a+1b=1，求c的值．
18.(本小题12分)
已知f(x)=lga(2x+3)，g(x)=lga(3−2x)，(a>0且a≠1)．
(1)求F(x)=f(x)+g(x)的定义域；
(2)判断F(x)=f(x)+g(x)的奇偶性，并说明理由．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+ax−3．
(1)若函数f(x)在[−4,5]上是单调函数，求实数a的取值范围．
(2)当a=3，x∈[−1,1]时，不等式f(x)>m+2x−4恒成立，求实数m的取值范围．
20.(本小题12分)
某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数解析式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数解析式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
21.(本小题12分)
定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数y=f(x)满足f(xy)=f(x)−f(1y)，且函数f(x)在(−∞,0)上是减函数．
(1)求f(−1)，并证明函数y=f(x)是偶函数；
(2)若f(2)=1，解不等式f(2−4x)−f(1x)≤1．
22.(本小题12分)
已知f(x)=2x−12x,x∈R．
(1)判断函数f(x)的单调性并用定义证明你的结论．
(2)若8x−8−x−4x+1−41−x+8>kf(x)对x∈[1,+∞)恒成立，求k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，属于基础题．
利用并集定义先求出M∪N，由此能求出∁U(M∪N)．
【解答】
解：∵全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2}，N={3,4}，
∴M∪N={1,2,3,4}，
∴∁U(M∪N)={5}．
故答案选：A．
2.【答案】B
【解析】解：根据特称命题的否定规则，可知¬p为“∀x≤0，(x+1)ex≤1”
故选：B．
根据特称命题的否定规则得到命题p的否定形式．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：充分性：因为xy≠0，且x+y=0，所以x=−y，
所以xy+yx=−yy+y−y=−1−1=−2，
所以充分性成立；
必要性：因为xy≠0，且xy+yx=−2，
所以x2+y2=−2xy，即x2+y2+2xy=0，即(x+y)2=0，所以x+y=0．
所以必要性成立．
所以“x+y=0”是“xy+yx=−2”的充要条件．
故选：C．
证明充分性可由x+y=0得到x=−y，代入xy+yx化简即可，证明必要性可由xy+yx=−2去分母，再用完全平方公式即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了不等式的性质，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：幂函数y=x3的定义域为R，且为奇函数，在(0,+∞)上单调递增，对应图像①；
幂函数y=x2的定义域为R，且为偶函数，在(0,+∞)上单调递增，对应图像②；
幂函数y=x12的定义域为[0,+∞)，为非奇非偶函数，在(0,+∞)上单调递增，对应图像③；
幂函数y=x−1的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且为奇函数，在(0,+∞)上单调递减，对应图像④．
故选：A．
根据函数的解析式判断图像性质，即可判断图像．
本题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：依题意，a−2=0或2a−2=0，
当a−2=0时，解得a=2，
此时A={0,−2}，B={1,0,2}，不符合题意；
当2a−2=0时，解得a=1，
此时A={0,−1}，B={1,−1,0}，符合题意．
故选：B．
根据题意可得a−2=0或2a−2=0，然后讨论求得a的值，再验证即可．
本题考查集合间的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则()x=2，
∴x=−lg99≈−1.9956=≈35，
故选：D．
设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则()x=2，然后利用对数的运算和题目所给的数据求出x的值即可．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由h(x)=−x=0，得x=0，∴c=0，
由f(x)=0，得3x=−x，由g(x)=0，得lg3x=−x，
则f(x)，g(x)的零点a，b为函数y=3x、y=lg3x与y=−x的图象交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中画出y=3x、y=lg3x、y=−x的图象，
由图象可知，a<0，b>0，∴a故选：B．
根据题意，将函数的零点转化为函数图象交点的横坐标，画出函数的图象，根据图象即可得到a，b，c的大小关系．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合思想，属中档题．
8.【答案】D
【解析】解：根据题意，函数f(x)=(3a−2)x+4a,x<1lgax,x≥1是R上的减函数，
则有0故选：D．
根据题意，由函数单调性的定义可得0本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数的单调性，属于基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A， (|π−4|)2=|π−4|=4−π，不合题意；
对于B，202322023=2，符合题意；
对于C，−3−23=−(−2)=2，符合题意；
对于D， (−2)2=|−2|=2，符合题意．
故选：BCD．
根据根式运算化简各项即可．
本题主要考查指数幂的运算法则，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：A选项，f(x)=x2−2x−1与g(s)=s2−2s−1定义域相同、对应关系相同、值域也相同，故A选项是同一函数．
B选项，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0,+∞)，故B选项不是同一函数．
C 选项，f(x)和g(x)的定义域都为{x|x≠0}，f(x)=1(x≠0)，g(x)=1(x≠0)，
对应关系相同，值域也相同，故C选项是同一函数．
D选项，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为(0,+∞)，故D选项不是同一函数．
故选：AC．
根据函数的三要素：定义域，对应关系，值域来确定是否是同一个函数．
本题考查函数的定义域、对应法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：函数y=3x与y=(13)x=3−x的图象关于y轴对称，故A正确，B错误；
若点(x,y)在函数y=3x的图象上，则点(−x,−y)在函数y=−(13)x=−3−x的图象上，
故函数y=3x与y=−(13)x的图象关于原点对称，故C正确；
函数y=3x与y=−3x的图象关于x轴对称，故D正确．
故选：ACD．
根据函数对称性的性质判断即可．
本题主要考查指数函数的图象与性质，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：对于A，根据分段函数的解析式可知，f(x)的定义域为R，故A正确，
对于B，当x>0时，f(x)=x2+1>1；当x=0时，f(x)=0；当x<0时，f(x)=−x2−1<−1，
所以函数f(x)的值域为(−∞,−1)∪{0}∪(1,+∞)，故B错误，
对于C，D，画出函数f(x)的图象，如图所示，
由图象可知，f(x)为奇函数，在R上单调递减，
故C正确，D错误，
故选：AC．
根据分段函数的解析式可判断AB，画出函数f(x)的图象，根据图象可判断CD．
本题主要考查了分段函数的应用，考查了函数单调性和奇偶性的判断，属于中档题．
13.【答案】(4,1)
【解析】解：令x−3=1，得x=4，
故f(4)=1，
所以函数f(x)=lg(x−3)+1(a>0，且a≠1)的图象恒过点(4,1)．
故答案为：(4,1)．
依题意，可得f(4)=1，从而可得答案．
本题考查对数函数的图象与性质的应用，属于基础题．
14.【答案】[1,4]
【解析】解：当3≤x≤81时，y=lg3x单调递增，可知y∈[1,4]．
所以反函数的定义域为x∈[1,4]．
故答案为：[1,4]．
求得原函数的值域，即可得出反函数的定义域．
本题主要考查反函数的应用，属于基础题．
15.【答案】−x2+2x
【解析】【分析】
本题考查函数解析式的求解及奇函数的性质，属基础题．
当x<0时，−x>0，由已知表达式可求得f(−x)，由奇函数的性质可得f(x)与f(−x)的关系，从而可求出f(x)．
【解答】
解：当x<0时，−x>0，
则f(−x)=(−x)2+2(−x)=x2−2x．
又f(x)是R上的奇函数，
∴当x<0时，f(x)=−f(−x)=−x2+2x．
故答案为：−x2+2x．
16.【答案】9
【解析】解：若正数a，b满足a+2b=1，
则1a+2b=(1a+2b)(a+2b)=1+4+2ba+2ab≥5+2 2ba⋅2ab=9，
当且仅当2ba=2ab，即a=b=13时，等号成立，
所以1a+2b的最小值为9．
故答案为：9．
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可求出结果．
本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
17.【答案】解：(1)原式=(32)2×12−4×(47)2×(−12)−214+34−(23)4×(−14)=32−4×74−2−32=−9．
(2)已知3a=5b=c，所以c>0，所以a=lg3c，b=lg5c，
所以1a=lgc3，1b=lgc5，所以1a+1b=lgc3+lgc5=lgc15，
又1a+1b=1，得lgc15=1，则c=15．
【解析】(1)根据指数幂的运算性质即可求解；
(2)根据指数式与对数式的互化得出a，b，利用换底公式及对数运算性质求得结果．
本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数的换底公式的简单应用，属于基础试题
18.【答案】解：(1)令2x+3>0得：x>−32，
∴f(x)的定义域为(−32,+∞)，
令3−2x>0得：x<32，
∴g(x)的定义域为(−∞,32)，
∴F(x)=f(x)+g(x)的定义域为(−32,32)．
(2)由题意得：F(x)=lga(2x+3)+lga(3−2x)=lga(9−4x2)，x∈(−32,32)，
∴F(−x)=lga[9−4(−x)2]=lga(9−4x2)=F(x)，
∴F(x)=f(x)+g(x)为偶函数．
【解析】(1)分别求出f(x)，g(x)的定义域，即可得出答案；
(2)利用奇偶函数的定义即可判断．
本题主要考查函数的定义域求解，考查函数的奇偶性，属于基础题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)的对称轴为x=−a2，
又函数f(x)在[−4,5]上是单调函数，
∴−a2≥5或−a2≤−4，解得a≤−10或a≥8，
∴实数a的取值范围为(−∞,−10]∪[8,+∞)；
(2)当a=3，x∈[−1,1]时，
f(x)>m+2x−4恒成立，即x2+x+1>m恒成立，
令g(x)=x2+x+1，g(x)min>m恒成立，
函数g(x)的对称轴x=−12∈[−1,1]，
∴g(x)min=g(−12)=34>m，
∴m的范围为(−∞,34)．
【解析】(1)利用二次函数的性质，建立不等式即可求出结果；
(2)根据题意得，当x∈[−1,1]时，x2+x+1>m恒成立，构造函数g(x)=x2+x+1，将问题转化为g(x)min>m即可求解．
本题考查了二次函数的性质和函数的恒成立问题，属于中档题．
20.【答案】解：(1)根据题意，平均每天的销售量y(箱)与销售单价 x(元/箱)之间
得y=90−3(x−50)，即y=−3x+240(50≤x≤55,x∈N)…..(4分)
(2)由(1)可得：w=(x−40)(−3x+240)=−3x2+360x−9600(50≤x≤55,x∈N)(8分)
(3)∴w=−3x2+360x−9600=−3(x−60)2+1200，
∴当50≤x≤55，x∈N时，w为增函数，
∴x=55时w最大，(w)max=1125，
所以当每箱苹果售价为55元时，最大利润时1125元． (12分)
【解析】(1)利用已知条件直接列出函数的解析式即可．
(2)通过该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价 x(元/箱)的利润与批发数量的乘积，列出函数的解析式．
(3)利用二次函数的性质求解函数的最值即可．
本题考查函数的实际应用，二次函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
21.【答案】解：(1)令y=1x≠0，则f(x⋅1x)=f(x)−f(1x)，
得f(1)=f(x)−f(x)=0，
再令x=1，y=−1，可得f(−1)=f(1)−f(−1)，
得2f(−1)=f(1)=0，
所以f(−1)=0，
令y=−1，可得f(−x)=f(x)−f(−1)=f(x)，
所以f(x)是偶函数．
(2)因为f(2)=1，所以f(−2)=1．
因为函数f(x)在(−∞,0)上是减函数，且是偶函数，
所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数．
又f(2−4x)−f(1x)=f(2x−4x⋅x)=f(2x−4)，
所以f(2x−4)≤f(2)，
等价于2x−4>02x−4≤2或2x−4<02x−4≥−2，
解得1所以不等式f(2−4x)−f(1x)≤1的解集为[1,2)∪(2,3]．
【解析】(1)用赋值法令y=1x≠0，得f(1)=f(x)−f(x)=0，令x=1，y=−1，可得f(−1)=0，令y=−1，可得f(−x)=f(x)−f(−1)=f(x)，可得函数f(x)是偶函数．
(2)f(2−4x)−f(1x)=f(2x−4x⋅x)=f(2x−4)，所以不等式可变为f(2x−4)≤f(2)，
本题考查抽象函数的图象和性质，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)在R上单调递增．证明如下．
任取x1，x2∈R且x1则f(x1)−f(x2)=2x1−2−x1−(2x2−2−x2)
=2x1−2x2+2x1−2x22x1⋅2x2=(2x1−2x2)(1+12x1⋅2x2)
∵x10，
∴f(x1)−f(x2)<0，∴f(x1)∴f(x)在R上单调递增．
(2)由8x−8−x−4x+1−41−x+8>kf(x)对x∈[1,+∞)恒成立，
即8x−8−x−4x+1−41−x+8>k(2x−2−x)对x∈[1,+∞)恒成立，
可得(2x)3−(2−x)3−4[(2x)2+(2−x)2]]+8>k(2x−2−x)，
则(2x−2−x)[(2x)2+(2−x)2+1]−4[(2x)2+(2−x)2]+8>k(2x−2−x)，
∴(2x−2−x)[(2x−2−x)2+3]−4[(2x−2−x)2+2]]+8>k(2x−2−x)，
∴(2x−2−x)[(2x−2−x)2+3]−4(2x−2−x)2>k(2x−2−x)
设2x−2−x=t，x≥1，由(1)知，t≥32，
故原不等式可化为t2+3−4t>k在t∈[32,+∞)上恒成立，
又t2+3−4t=(t−2)2−1，所以当t=2时，(t2+3−4t)min=−1，∴k<−1，
∴k的取值范围(−∞,−1)．
【解析】(1)f(x)在R上单调递增，根据函数单调性的定义证明即可；
(2)由题意可知，(2x−2−x)[(2x−2−x)2+3]−4(2x−2−x)2>k(2x−2−x)恒成立，设2x−2−x=t，将问题转化为t2+3−4t>k在t∈[32,+∞)上恒成立，再求出k的取值范围．
本题考查了利用定义法证明函数的单调性，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属中档题．