2023-2024学年山东省淄博市高一上学期期末质量监检测数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年山东省淄博市高一上学期期末质量监检测数学试卷(含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U={1,2,3,4}，集合A={1,2},B={2,3}，则∁U(A∪B)=( )
A. {1,3,4}B. {3,4}C. 3D. 4
2.函数fx=lg122x−1的定义域为
( )
A. −∞,12B. −∞,12C. 12,+∞D. 12,+∞
3.已知函数f(x)=(m2−m−1)xm2−2m−2是幂函数，且在(0,+∞)上是减函数，则实数m=．( )
A. 2B. −1C. 4D. 2或−1
4.已知扇形的半径为2cm，面积为8cm2，则扇形圆心角的弧度数为
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.科学家以里氏震级来度量地震的强度.若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r=0.6lgI，若6.5级地震释放的相对能量为I1，7.4级地震释放的相对能量为I2，记n=I2I1，n约等于
( )
A. 16B. 20C. 32D. 100
6.设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么下列关系正确的是
( )
A. a+2b=cB. ac+bc=2abC. 1a+12b=1cD. 1a+1b=2c
7.已知sinα+csα=13，且α∈0,π，则sinα−csα的值为
( )
A. −13B. − 173C. 173D. 173或− 173
8.已知sinθ=1−a1+a，csθ=3a−11+a，若θ为第二象限角，则下列结论正确的是( )
A. a∈(19,1)B. a=1C. a=1或a=19D. a=19
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论成立的是( )
A. 若ab
C. 若a>b，则1a−cb13，则a>b
10.如图，已知矩形U表示全集，A,B是U的两个子集，则阴影部分可表示为
( )
A. (∁∪A)∩BB. ∁∪(A∩B)C. ∁A(A∩B)D. ∁(A∪B)A
11.下列说法正确的有( )
A. “∃x∈R，使得x2−x−1=0”的否定是“∀x∈R，都有x2−x−1=0”
B. 若函数y=lg2mx2+4x+1的值域为R，则实数m的取值范围是0,4
C. 若α,β∈R，则“α>β”的充要条件是“sinα>sinβ”
D. 若a>1，则a+16a−1的最小值为9
12.设函数f(x)的定义域为R，f(x−π2)为奇函数，f(x+π2)为偶函数，当x∈[−π2,π2]时，f(x)=csx，则下列结论正确的是
( )
A. f(5π2)=−12B. fx在(3π,4π)上为减函数
C. 点(3π2,0)是函数fx的一个对称中心D. 方程f(x)−lgx=0仅有3个实数解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.lg381−lg98⋅lg23−2lg23+lg 2+lg 5=
14.若“∃x∈R，sinx2，若函数Fx=2fx2−mfx有7个零点，则m的取值范围是
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过定点P2,3．
(1)求sinα、csα的值；
(2)求cs11π2−αsin9π2+α−2sinπ+αcs−αcsπ2+αsin−π−α的值．
18.(本小题12分)
已知函数fx为一元二次函数，fx的图象过点0,1，对称轴为x=−12，函数fx在R上的最大值为54．
(1)求fx的解析式；
(2)当x∈m−2,m，m∈R时，求函数fx的最大值(用含参数m的分段函数表示)．
19.(本小题12分)
已知集合A=x|x2−8x+12=0，B=a+1,a2−23，C=x|ax2−x+6=0
(1)若集合A=B，求实数a的值；
(2)若集合C⊆A，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
我们知道存储温度x(单位：℃)会影响着鲜牛奶的保鲜时间T(单位：ℎ)，温度越高，保鲜时间越短.已知x与T之间的函数关系式为Tx=emx+n(e为自然对数的底数)，某款鲜牛奶在5℃的保鲜时间为180ℎ，在25℃的保鲜时间为45ℎ.(参考数据： 2≈1.41)
(1)求此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间约为几小时(结果保留到整数)；
(2)若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于90ℎ，那么对存储温度有怎样的要求？
21.(本小题12分)
已知函数fx=cs2x+θ(−π212，则函数f(x)的定义域为12,+∞．
故选：C．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值，属于基础题．
根据幂函数的定义，令m2−m−1=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数在x∈(0,+∞)上为减函数即可．
【解答】
解：∵幂函数f(x)=(m2−m−1)xm2−2m−2，
∴m2−m−1=1， 解得m=2，或m=−1；
又x∈(0,+∞)时f(x)为减函数，
∴当m=2时，m2−2m−2=−2，幂函数为y=x−2，在(0,+∞)为减函数，满足题意；
当m=−1时，m2−2m−2=1，幂函数为y=x，在(0,+∞)为增函数，不满足题意；
综上，m=2．
故选A.
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积公式，属于基础题．
设扇形圆心角的弧度数为α，则根据扇形面积公式S=12αr2，列出方程求解即可．
【解答】
解：设扇形圆心角的弧度数为α，则根据扇形面积公式S=12αr2，
代入可得：8=12α×22=2α，解得α=4，
故选：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了指数与对数的相互转化及指数与对数值的计算，属于基础试题．
由题意可得I=105r3分别代值计算，比较即可．
【解答】
解：∵r=0.6lgI，∴I=105r3，
当r=6.5时，I1=10656，
当r=7.4时，I2=10373，
∴n=I2I1=10373÷10656=1032=10× 10≈32，
故选：C．
6.【答案】C
【解析】【分析】首先根据指对互化，利用对数表示a,b,c，再结合对数运算判断选项．
【详解】由3a=4b=6c=k，得a=lg3k，b=lg4k，c=lg6k，
1a=lgk3，1b=lgk4，1c=lgk6，则12b=12lgk4=lgk2，
根据lgk3+lgk2=lgk6可知，1a+12b=1c．
故选：C
7.【答案】C
【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得sinαcsα=−49，根据α∈0,π即可求得结果．
【详解】将sinα+csα=13两边同时平方可得，sin2α+cs2α+2sinαcsα=19，
可得sinαcsα=−49；
又α∈0,π，所以sinα>0,csα0,csα0，csθ0，csθbc2知，c2>0，所以a>b，故 B正确；
选项C，当a=5,b=2,c=3时，a>b，
则1a−c=12,1b−c=−1，此时1a−c>1b−c，故 C错误；
选项D，由幂函数y=x3在R上是增函数，
由a13>b13，得a133>b133，即a>b，故 D正确．
故选：BD．
10.【答案】AD
【解析】【分析】在阴影部分区域内任取一个元素x，分析元素x与各集合的关系，即可得出合适的选项．
【详解】在阴影部分区域内任取一个元素x，则x∉A且x∈B，即x∈∁∪A且x∈B，
所以阴影部分可表示为(∁∪A)∩B，A对；
x∈B且x∉A∩B，阴影部分可表示为∁∪(A∩B)，而A≠B，故 C错误；
x∈A∪B且x∉A，阴影部分可表示为∁(A∪B)A，D对；
显然，阴影部分区域所表示的集合为∁∪(A∩B)的真子集，B选项不合乎要求．
故选：AD．
11.【答案】BD
【解析】【分析】选项A，由存在量词命题的否定形式可得；选项B，函数y=lg2mx2+4x+1的值域为R转化为研究函数g(x)=mx2+4x+1的值域，分m=0与m≠0两类情况分析可得；选项 C，特值法可知；选项D，利用基本不等式求最值可得．
【详解】选项A，“∃x∈R，使得x2−x−1=0”的否定是“∀x∈R，都有x2−x−1≠0”，故 A错误；
选项B，因为函数y=lg2mx2+4x+1的值域为R，
设函数g(x)=mx2+4x+1值域为M，则M⊇R+，
当m=0时，g(x)=4x+1，值域M=R，满足题意；
当m≠0时，g(x)=mx2+4x+1为二次函数，要使值域M⊇R+，
则g(x)图象开口向上，且与x轴有公共点，
所以有m>0且Δ=16−4m≥0，解得0β，但sinα=0,sinβ=1，
不满足sinα>sinβ，故 C错误；
选项D，由a>1，则a+16a−1=a−1+16a−1+1≥2 a−1⋅16a−1=2 16+1=9，
当且仅当a−1=16a−1，即a=5时等号成立，
故a+16a−1的最小值为9，故D正确．
故选：BD．
12.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用，函数零点、方程的根的个数和余弦函数的对称轴、对称中心，属于较难题．
利用奇偶函数的定义分析、探讨函数的性质，并判断选项ABC；作出函数y=f(x),y=lgx的部分图象，数形结合判断D作答．
【解答】
解：函数f(x)的定义域为R，由f(x−π2)为奇函数，得f(−x−π2)=−f(x−π2)，即f(−x−π)=−f(x)，
由f(x+π2)为偶函数，得f(−x+π2)=f(x+π2)，即f(−x+π)=f(x)，则f(−x+π)=−f(−x−π)，
即f(x+2π)=−f(x)，于是f(x+4π)=−f(x+2π)=f(x)，函数f(x)是周期为4π的周期函数，
当x∈[−π2,π2]时，f(x)=csx，
对于A，f(5π2)=f(π2+2π)=−f(π2)=−csπ2=0， A错误；
对于B，函数f(x)在[−π2,0]上单调递增，由f(−x−π)=−f(x)，知函数f(x)图象关于点(−π2,0)对称，
则函数f(x)在[−π,−π2]上单调递增，即有函数f(x)在[−π,0]上单调递增，因此fx在(3π,4π)上单调递增， B错误；
对于C，由f(x+2π)=−f(x)及f(−x+π)=f(x)，得f(x+2π)=−f(−x+π)，即f(x+3π)=−f(−x)，
因此函数f(x)图象关于点(3π2,0)对称， C正确；
对于D，当x∈[−π2,π2]时，0≤f(x)≤1，由函数f(x)图象关于点(−π2,0)对称，
知当x∈[−3π2,−π2]时，−1≤f(x)≤0，则当x∈[−3π2,π2]时，−1≤f(x)≤1，
由f(−x+π)=f(x)，知函数f(x)图象关于直线x=π2对称，则当x∈[π2,5π2]时，−1≤f(x)≤1，
于是当x∈[−3π2,5π2]时，−1≤f(x)≤1，而函数f(x)的周期是4π，因此函数f(x)在R上的值域为[−1,1]，
方程f(x)−lgx=0，即f(x)=lgx，因此f(x)−lgx=0的根即为函数y=f(x)与y=lgx图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数y=f(x)与y=lgx的部分图象，如图，
观察图象知，函数y=f(x)与y=lgx图象在(0,7π2)上有且只有3个公共点，
而当x≥7π2时，f(x)≤1,lgx>1，即函数y=f(x)与y=lgx图象在(7π2,+∞)无公共点，
所以方程f(x)−lgx=0仅有3个实数解，D正确．
故选：CD
13.【答案】0
【解析】【分析】根据对数的运算，结合换底公式进行求解即可．
【详解】lg381−lg98⋅lg23−2lg23+lg 2+lg 5
=lg334−lg3223⋅lg23−3+lg 2× 5
=4−32⋅lg2lg3⋅lg3lg2−3+12
=4−32−3+12
=0,
故答案为：0
14.【答案】−1,+∞
【解析】【分析】根据题意可知sinxmin