山东省泰安市泰山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份山东省泰安市泰山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列四个图形中，是中心对称图形的有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．要使分式有意义，则的取值应满足( )
A．B．C．D．
3．分解因式：正确的是( )
A．B．
C．D．
4．一组数据，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别为( )
A．6和8B．6和9C．7和9D．7和10
5．如图，在中，是的平分线交于点，且，的周长是26，则等于( )
A．3B．4C．5D．6
6．化简的结果是( )
A．B．C．D．
7．如果平行四边形一边长为，那么它的两条对角线的长度可以是( )
A．、B．、C．、D．、
8．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列各组条件，其中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．OA＝OC，OB＝ODB．OA＝OC，AB∥CD
C．AB＝CD，OA＝OCD．∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD
9．读下面的材料：定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图1，在中，分别是边的中点．
求证：，且．
证明：延长到点，使，连接
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图2，先证明，再推理得出四边形是平行四边形．
乙：如图3，连接；先后证明四边形分别是平行四边形．
下列判断正确的是( )
A．甲思路正确，乙思路错误B．甲思路错误，乙思路正确
C．甲、乙两人思路都正确D．甲、乙两人思路都错误
10．如图，在方格纸中，线段a，b，c，d的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有（ ）
A．3种B．6种C．8种D．12种
11．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．，且
12．如图，的对角线、交于点平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中成立的个数是( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13．分解因式： ．
14．如果一组数据的方差是5，则另一组数据的方差是 ．
15．如果一个多边形的内角和是其外角和的两倍，那么这个多边形是 边形．
16．若关于的分式方程有增根，则的值是 ．
17．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗，某商场在中秋节来临之际购进、两种汾阳月饼共1500个，已知购进种月饼和种月饼的费用分别为2000元和3000元，且种月饼的单价比种月饼单价多1元，求、两种月饼的单价各是多少？设种月饼单价为元，根据题意，列方程是 ．
18．如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则旋转角的度数为 ．
19．如图，等边三角形的边长为，点是的重心，，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④四边形的面积始终等于．其中正确结论的序号是 ．
20．如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和等边为的中点，连接、与相交于点，若，下列结论：①；②；③四边形为平行四边形；④．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
21．计算：
(1)计算：；
(2)先化简，再求值：，其中．
22．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同条件下各射击10次，射击的成绩如图所示．
根据图中信息，回答下列问题：
（1）甲的平均数是 ，乙的中位数是 ；
（2）分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？
23．解方程：．
24．已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与分别相交于点．求证：
(1)；
(2)．
25．如图，中，是中线，将旋转后与重合．问：
(1)旋转中心是哪个点？旋转了多少度？
(2)如果，求中线长的取值范围．
26．2023年10月26日11时14分，神州十七号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的学生到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为学生们购进两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫多10元，用600元购进款和用480元购进款的文化衫的数量相同．
(1)求款文化衫和款文化衫每件各多少元？
(2)已知毕业班的学生一共有280人，学校计划用不多于12700元购买文化衫，则款文化衫最多买多少件？
27．在中，点是上任意一点，延长交的延长线于点．
(1)在图1中，当时，求证：是的平分线；
(2)根据（1）的条件和结论，
①如图2，若，点是的中点，请求出的度数；
②如图3，若，且，连接、，请直接写出的度数．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了中心对称，熟知定义是解本题的关键．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．
【详解】解：从左到右，第二、第三、第四个图形是中心对称图形，第一个图形不是中心对称图形．故中心对称图形有3个．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0，是分式有意义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查众数与中位数的意义．根据众数和中位数的概念求解可得．
【详解】解：将数据重新排列为，，，，，，
∴这组数据的众数为6，
中位数为，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定；由平行四边形的性质得，则有；再由角平分线知，由此即可得，由平行四边形的周长即可求解；关键是由平行四边形的性质及角平分线的定义得到．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵的周长是26，
∴，
即，
∴，
∴；
故选：C．
6．A
【分析】本题考查分式的加减运算，掌握分式加减的运算法则为解题关键．
先化成同分母分数，再相加减，然后对分子进行因式分解，最后约分即可．
【详解】解：
=
=
=，
故选：A．
7．D
【分析】主要考查了平行四边形的性质，要掌握平行四边形的构造，四边形的两邻边和对角线构成三角形，判断对角线的范围可利用此三角形的三边关系来判断即可．
【详解】解：因为平行四边形的对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形，所以根据三角形的三边关系进行判断：
A、根据三角形的三边关系可知：，不能构成三角形；
B、，不能构成三角形；
C、，不能构成三角形；
D、，能构成三角形；
故选：D．
8．C
【分析】根据平行四边形的判定方法得出A、B、D正确，C不正确；即可得出结论．
【详解】解：A.∵ OA＝OC，OB＝OD
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴A正确，故本选项不符合要求；
B. ∵AB∥CD
∴∠DAO=∠BCO，
在△DAO与△BCO中，
∴△DAO≌△BCO（ASA），
∴OD=OB，
又OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴B正确，故本选项不符合要求；

C. 由 AB=DC， OA=OC，
∴无法得出四边形ABCD是平行四边形．故不能能判定这个四边形是平行四边形，符合题意；∵AB∥DC，
D.∵∠ADB=∠CBD，∠BAD=∠BCD
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形），∴D正确，故本选项不符合要求；故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
9．C
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，分别按照甲、乙两人的思路写出证明过程即可做出判断．
【详解】解：按照甲的思路证明如下：
延长到点，使，连接，如图1，
∵，分别是边，的中点．
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
四边形是平行四边形，
∴，，
又，
，．
按照乙的思路证明如下：
如图2，延长到点，使，连接，，．
∵，分别是边，的中点．
∴，，
，，
四边形是平行四边形，，，
∴，，．
四边形是平行四边形，
∴，，
又，
，．
综上可知，甲、乙两人思路都正确，
故选：C
10．B
【分析】根据三角形三边关系可以得出线段a、b、d可以围成三角形，另外根据平移的性质即可得出答案．
【详解】解：由网格可知：a=，b=d=，c=2，
则能组成三角形的只有：a、b、d，
可以分别通过平移ab，ad，bd得到三角形，平移其中两条线段方法有两种，
即能组成三角形的不同平移方法有6种．
故选B．
【点睛】本题主要考查了平移、勾股定理以及三角形三边关系，利用三边的关系判定围成三角形的三条线段是解题的关键．
11．C
【分析】先化分式方程为整式方程得到，求得方程的解，根据解的属性，方程的增根两个角度去求解即可．本题考查了分式方程的解，增根，探求字母的取值范围，熟练根据解的属性，增根的意义建立不等式是解题的关键．
【详解】∵，
去分母，得，
解得．
∵分式方程的解为正数，且方程的增根为，
∴，且，
解得，且，
故选C．
12．D
【分析】由平行四边形的性质可得，由角平分线定义得是等边三角形，进而得E为中点，则可得，则可判定①；易得，则可判定②；由直角三角形中斜边最长则可判定③；由是等腰三角形及O为中点可判定⑤；由含角直角三角形性质可判定④，最后可确定答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，；
∵平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴，
∴点E为中点，
∴，
∴
∴；
∵，
∴，
故①正确；
∵，
∴；
故②正确；
∵，
∴直角三角形中斜边最长，即，
故③错误；
∵，
∴平分，，
∴；
故⑤正确；
在中，，
∴；
∵，
∴
故④正确；
故正确的有4个；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含角直角三角形性质，灵活运用这些性质是关键．
13．
【分析】因式分解时有公因式先提公因式，然后再考虑用公式法.继续分解.
【详解】解：
．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键.
14．5
【分析】此题考查了方差，解题关键是掌握当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变．
因为方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加了5，所以波动不会变，方差不变．
【详解】解：∵数据，，…，的方差是5，
∴，，…，的方差不变，还是5；
故答案为：5．
15．六/
【分析】本题考查多边形的内角和和外角和的综合应用．设多边形为边形，根据题意，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设多边形为边形，由题意，得：，
解得：；
∴这个多边形是六边形；
故答案为：六．
16．/
【分析】此题考查了分式方程的增根，方程第二个分母提取变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为，即可求出的值．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
∵方程有增根，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了根据实际问题列分式方程，理解题意，分析等量关系并列出方程是关键．由题意得B种月饼单价为元，根据等量关系：两种月饼共购进1500个，列出方程即可．
【详解】解：由种月饼单价为元，则B种月饼单价为元，
由题意得：；
故答案为：．
18．/55度
【分析】本题主要考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识点．先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得等于旋转角、，则利用等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理求得即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵将在平面内绕点A旋转到，
∴等于旋转角，
∵，
∴，
，
∴旋转角为．
故答案为：．
19．①②④
【分析】连接，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，则可对①②进行判断；利用得到四边形ODBE的面积，则可对④进行判断；作，则，计算出，利用随的变化而变化和四边形的面积为定值可对③进行判断；
此题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等边三角形的性质等知识，数形结合是解题的关键．
【详解】解：连接，如图，
∵为等边三角形，
∴，
∵点O是的重心，
∴分别平分和，
∴，
∴，即，
而，即，
∴，
在和中
，
∴，
∴，所以①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴四边形的面积，所以④正确；
作，如图，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即随的变化而变化，
而四边形的面积为定值，
∴不一定成立；所以③错误；
故答案为：①②④．
20．①②③④
【分析】首先证明，结合已知得到，然后根据内错角相等两直线平行得到，由一组对边平行且相等可得四边形是平行四边形，故③正确；由，可得，故①正确；由可知④正确；在和中，，，可证，故②正确．
【详解】解：和都是等边三角形，
，，．
是的中点，
，，．
．
，，
，
．
在和中，
，，
，
，
．
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故③正确；
，，
设交于点，
．
，
，
．①正确；
四边形是平行四边形，
．
．故④正确．
在和中，
，，
．
，故②正确，
综上，①②③④都正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、平行四边形的判定及性质等，综合性较强，熟练掌握上述性质、定理是解题的关键．
21．(1)
(2)；
【分析】本题考查了分式的混合运算与化简求值；
（1）根据分式的乘法以及加法进行计算即可求解；
（2）根据分式的混合运算进行计算，然后将代入化简结果，即可求解．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
当时，原式
22．（1）8；7.5（2）乙运动员射击更稳定
【分析】（1）根据平均数和中位数的定义解答即可；
（2）计算方差，并根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定解答．
【详解】解：（1）甲的平均数==8.
乙的十次射击成绩按从小到大顺序排列为7,7,7,7,7,8,9,9,9,10，中位数是7.5；
故答案为8；7.5；
（2）=[+++]=1.6;
乙=(7+7+7+7+7+8+9+9+9+10)=8,
=[++]=1.2;
∴
∴乙运动员的射击成绩更稳定.
【点睛】此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
23．
【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，最后的检验是解题的易错点．
先将分式方程化成整式方程求解，然后检验即可解答．
【详解】解：，
方程两边同乘可得：，
解整式方程可得，
检验：将代入中可得：，
所以是分式方程的解．
24．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．掌握平行四边形的性质，掌握三角形全等，是解题的关键．
（1）证明，即可；
（2）等底等高得到，全等得到，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∵点为对角线的中点，
∴
∴，
，
∴，即．
（2）由（1）可知：．
∴和等底等高，即
又∵，
，
∴．
25．(1)旋转中心是点，旋转了180度
(2)
【分析】本题考查旋转的性质，三角形的三边关系，掌握旋转的性质，是解题的关键．
（1）根据旋转的性质进行作答即可；
（2）根据旋转的性质以及三角形的三边关系，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵旋转后与重合，
∴旋转中心是点，旋转了180度；
（2）∵将旋转后能与重合，
∴，
在中，由三角形的三边关系得，，
∵，
，
即，
∴，
即中线长的取值范围是：．
26．(1)款文化衫每件50元，款文化衫每件40元
(2)款文化衫最多买150件
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量与不等量关系，正确列出分式方程和不等式．
（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件元，利用数量总价单价，结合用600元购进A款文化衫和用480元购进B款文化衫的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可求出B款文化衫的单价，再将其代入中，即可求出A款文化衫的单价；
（2）设购进A款文化衫y件，则购进B款文化衫件，利用总价单价数量，结合总价不多于12700元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设B款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，
∴．
答：款文化衫每件50元，款文化衫每件40元．
（2）解：设购买件款文化衫，则购买件款文化衫，
根据题意得：，
解得：，
∴款文化衫最多买150件．
27．(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据等边对等角，利用四边形是平行四边形，可得，由等量关系可得即可证明结论；
（2）①先说明是等腰直角三角形可得，再证明可得，然后证明是等腰直角三角形即可证明结论；②延长相较于H，连接，求证四边形是平行四边形，再求证是等边三角形，求证，再根据全等三角形的性质及角的和差即可解答．
【详解】（1）证明：如图1，，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴是的平分线．
（2）解：①如图2，连接
∵在平行四边形中，，
，
，
，
又，
∴是等腰直角三角形，即：，
由（1）可得：，
，
又∵是的中点，
，
，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，即：；
②如图3，延长相较于H，连接．
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形为平行四边形
由（1）可得：AD=DF，CE=CF
∴平行四边形是菱形．平行四边形是菱形．
∵，
∴,,
∴是等边三角形，即，
在与中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，综合运用相关知识成为解题的关键．