山东省潍坊市高密市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份山东省潍坊市高密市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．
2．如图，平分，于点，且，是射线上的一点，则的长度不可能是（ ）
A．2B．C．D．10
3．某班30位同学阅读课外读物的本数统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于阅读课外读物的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A．平均数，方差B．中位数，方差C．平均数，众数D．中位数，众数
4．如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，的长为半径画弧，交延长线于点，连接．则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．某中学在校内劳动基地开展了一堂特殊的劳动课，计划九（1）班共采摘100千克蔬菜，在实际采摘之前将班级10名同学调往其他劳动区域，这样剩余同学实际平均每人需要采摘的重量是原计划全班学生平均每人需要采摘重量的倍，设九（1）班学生的人数为名，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图1，中，点和点分别为，上的动点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，如图2所示．若，，则的度数为（ ）
图1 图2
A．B．C．D．
7．如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误
8．如图，在，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，，交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在平行四边形中，，点是上一点，平分并交于点，且点是的中点，则下列结论正确的是（ ）．
A．B．C．D．
11．下面说法中正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．顺次连接任意四边形的中点得到的新四边形为平行四边形
C．若，满足，且，恰好是等腰两条边的长，则的周长为12或15
D．若关于的分式方程会产生增根，则的值是5
12．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．是等腰三角形
三、填空题
13．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，则的值为 ．
14．小明参加“强国有我”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的成绩分别是70分，90分，80分．若三项得分依次按1：5：4的比例确定最终成绩，则数据70分的权为 ．
15．如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使．
16．对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则 ．
四、解答题
17．先化简，再求值：，其中
18．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)关于轴对称图形为，画出的图形．点，，关于x轴的对称点是，，，请观察点A，B，C与，，的坐标有什么特点？请用一句话叙述．
(2)若点在x轴上，当最小时，在图中作出点的位置．
19．快递业的发展给生活带来了极大方便．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．某草莓种植基地打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此种植基地收集了10家草莓种植户对两家快递公司的配送速度得分（满分10分）和服务质量得分（满分10分）的相关评价．配送速度得分情况：
甲：6，6，7，7，7，9，9，9，9，10；乙：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10．
对配送速度、服务质量得分整理、描述、分析如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：表格中的______，______；
(2)求；
(3)综合表中的统计量，你认为草莓种植基地应选择哪家快递公司？请说明理由．
20．用数学的眼光观察：
①等式：，；
②若，求代数式的值．
解：因为，所以，所以，所以．
用数学的思维思考并表达：
(1)填空：______；
(2)若，求的值；
(3)已知，求的值．
21．某项工程由甲，乙两工程队承包修建，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做天，剩下的工程再由甲，乙两队合作天完成．
(1)求甲，乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元，工程预算的施工费用为万元，为缩短工期，拟安排甲，乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？为什么？
22．八年级我们学习了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【问题背景】
已知，均是等腰三角形，且有公共顶点，，连接，是的中点，连接，．
(1)【思路探究】
如图1，当与在同一直线上时，延长交于点，求证：；
(2)【迁移应用】
如图2，当时，延长，交于点，连接，求证：．
23．如图1，在矩形中，点E是边上的一点，连接．
(1)若平分，点G是上的一点，连接，，且．过点C作于，延长线交于H，过点H作于P，如图．
①填空：的形状是______三角形；
②求证：
(2)将图1的矩形画在纸上，若平分，沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点，如图．求证：．
(3)如图，延长交的延长线于点K使得，此时恰好，连接交于点J，连接．
请证明：．
本数
2
3
4
5
6
7
8
人数
▉
▉
2
3
6
7
9
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
众数
平均数
方差
甲
7.9
9
7
1
乙
8
8
7
参考答案：
1．D
【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解．
【详解】由题意得，，
解得，
故选：．
2．A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，过点F作于D，利用角平分线的性质得到，再由垂线段最短可得，由此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点F作于D，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴四个选项中只有A选项符合题意，
故选A．
3．D
【分析】本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数和中位数的定义是解题的关键；
根据众数和中位数的定义求解即可．
【详解】这组数据中本数为2、3的人数和为：，
则这组数据中出现次数最多的数8，即众数8，与遮盖的数据无关；
第15、16个数据分别为6、7，则中位数为，与被遮盖的数据无关；
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
【详解】解：由基本作图方法得出：垂直平分，
则，
，
，
，，
，
，
故选：B．
5．C
【分析】根据剩余同学实际平均每人需要采摘的重量是原计划全班学生平均每人需要采摘重量的倍这一条件列出分式方程即可．
【详解】解：设九（1）班学生的人数为名，则实际采摘人数为名同学，
根据题意有，
故选：C．
【点睛】本题考查了列分式方程，读懂题意理解其中的等量关系是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理，根据三角形外角和折叠的性质可得，，最后根据三角形内角和定理即可求解，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：根据折叠的性质得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7．C
【分析】首先证明△AOE≌△COF（ASA），可得AE＝CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定判定四边形AECF是平行四边形，再由AC⊥EF，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出AECF是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB＝AF，所以四边形ABEF是菱形．
【详解】解：甲的作法正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
又∵AECF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
乙的作法正确；
∵ADBC，
∴∠1＝∠2，∠6＝∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，
∴∠1＝∠3，∠5＝∠7，
∴AB＝AF，AB＝BE，
∴AF＝BE
∵AFBE，且AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了菱形形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
8．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角，等边对等角，根据得，根据得，利用证明，得，根据得，根据得，即可得，则是等边三角形，，即可得是等边三角形，，根据三角形的外角即可得；掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选：C．
9．BCD
【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是熟知比例的性质．
根据比例的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、无法由推得，该选项错误；
B、由可推得，此选项正确；
C、∵，
∴，即
∴，此选项正确；
D、∵，
∴，即
∴，此选项正确；
故选：．
10．AB
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，延长，交的延长线于点，易证得，即可得，又由平分，即可判定是等腰三角形，由三线合一可得，，即可判断，又根据不一定是的角平分线和不一定等于，即可判断，作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
【详解】解：延长，交的延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，，
即，故，正确；
∵不一定是的角平分线，
∴不一定等于，
∴不一定等于，故错误；
∵不一定等于，
∴不一定等于，故错误；
∴正确的结论是，
故选：．
11．BD
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，非负数的性质，解分式方程，解题的关键是熟练掌握相关的性质．根据平行四边形的判定和性质即可判断A，B；根据非负数的性质求出a、b的值，然后根据等腰三角形定义和三边关系可判断C；根据分式方程增根的特点，求出的值，看判断D．
【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A错误；
B．顺次连接任意四边形的中点得到的新四边形为平行四边形，故B正确；
C．∵，
∴，
∴，，
解得：，，
当3为腰时，等腰三角形的三边为3，3，6，
∵，
∴3，3，6不能构成三角形；
当6为腰时，等腰三角形的三边为3，6，6，
∵，
∴3，6，6能构成三角形，
∴此时三角形的周长为，
综上分析可知，三角形的周长为15，故C错误；
D．，
去分母得：，
当，即时，分式方程有增根，
∴，故D正确．
故选：．
12．ABD
【分析】利用证明可得；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求出，即可判定；假设，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，即可判定；根据等腰三角形的判定求出是等腰三角形．
【详解】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，
故选项正确，符合题意；
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故B选项正确，符合题意；
假设，
，，
，
，
，，
，
，，
，
恰好平分，
，
，
（这与与交于点矛盾），
假设不成立，
故C选项不正确，不符合题意；
，
，
是等腰三角形，
故D选项正确，符合题意；
故选：ABD．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了关于y轴对称的点的性质，代数式求值，根据点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，得，，则，计算得，将，代入，即可得；掌握y轴对称的点的性质，正确计算出m，n的值是解题的关键．
【详解】解：∵点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，
∴，，
∴，
，
∴，
故答案为：．
14．/
【分析】本题考查了加权平均数的计算公式和“权重”的理解，根据题意得出数据70分的权为，即可求解．
【详解】解：依题意，数据70分的权为
故答案为：．
15．或
【详解】解：，，
，
，
，
，
当在上方时，
，，
当时，．
，
；
当在下方时，
，，
当时，，
，
，
当或时，能使．
故答案为：或．
16．5
【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则．由※、，从而得出，求出，代入可得答案．
【详解】解：※，
，
由题意，得：，
解得：，
∴．
故答案为：5．
17．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则和运算顺序是关键．
【详解】解：原式
，
，
原式．
18．(1)图见解析，点A，B，C与，，三个对应点的横、纵坐标分别互为相反数
(2)见解析
【分析】本题考查了作图，轴对称变换，最短路线问题，掌握轴对称变换的定义和性质，是解答本题的关键．
（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接，得到答案；分别作出三个顶点关于x轴的对称点，观察即可得出结论；
（2）作点B关于x轴的对称点，连接，与轴交于点P， 点P即为所求．
【详解】（1）如图所示：即为所求；
观察图象得：点A，B，C与，，三个对应点的横、纵坐标分别互为相反数．
（2）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点，点就是所要求的点．
19．(1)，
(2)
(3)应选择甲公司，理由见解析
【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行求解即可；
（2）根据方差计算公式进行计算即可；
（3）根据中位数、众数、方差已经配送服务质量统计图进行综合判断即可得出答案．
【详解】（1）解：∵甲的配送速度得分从小到大进行排序：6，6，7，7，7，9，9，9，9，10，排在第5的是7、第6的是8，
∴中位数；
∵乙的配送速度得分中出现次数最多的是8，
∴众数；
故答案为：8；8．
（2）解：；
（3）解：应选择甲公司．
理由如下：因为配送速度得分甲和乙的得分相差不大，中位数相同，甲的众数大于乙的众数；服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，所以甲更稳定，所以综合起来看应选择甲公司．
【点睛】本题主要考查了求中位数、众数和方差，根据中位数、众数和方差做决策，解题的关键是数形结合，熟练掌握中位数、众数的定义和方差的计算公式．
20．(1)4
(2)
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，分式的性质；
（1）根据完全平方公式进行计算即可求解；
（2）根据（1）的方法进行计算即可求解；
（3）根据题意得出，，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）因为，所以．
（3）因为，所以，所以，
所以，所以．
21．(1)乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工作所需天数是天
(2)工程预算的费用够用，理由见解析
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出分式方程，一元一次方程是解题的关键．
（1）设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工作所需天数是天，依题意得：，进行计算并检验即可得；
（2）设甲，乙两队合作完成这项工程需要天，则有，进行计算即可得，计算出需要施工的费用，再和预算的施工费用进行比较即可得．
【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工作所需天数是天，
依题意得：，
去分母得，，
解得，
经检验是原分式方程的解且符合题意，
∴（天）．
答：乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工作所需天数是天；
（2）解：设甲，乙两队合作完成这项工程需要天，
则有，
，
解得，
需要施工的费用：（万元），
∵，
∴工程预算的费用够用．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）先证为等腰直角三角形，推出，进而可证为的中位线，根据中位线的性质可得；
（2）延长交于点，连接，可得，，均为等腰直角三角形，根据三角形中位线的性质可证，，再证，推出，即可证明．
【详解】（1）证明： ，为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
点为线段的中点，
又点为线段的中点，
为的中位线，
．
（2）证明：延长交于点，连接，则易知与均为等腰直角三角形，
，，
点为中点，又点为中点，
．
为等腰直角三角形，，
为等腰直角三角形，
，，
点为中点，
又点为中点，
．
在与中，
，
，
，
．
23．(1)①等腰直角；②见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）①根据矩形的性质和角平分线的性质可得，进而得出结果；
②可证得，，， 进而得出结论；
（2）连接，可证得，可得，根据等角对等边即可得出结论；
（3）在线段上取点I，使得，连接，可证，得，在证，得，，得出，进一步得出结论．
【详解】（1）①四边形是矩形，
，
平分，
，
，
，
，
等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角
②证明：如图，过点E作于W．
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
（2）证明：如图，连接，
由（1）知，为等腰直角三角形，
，
四边形是矩形，
，，
由折叠知，，，
，，
又，
在和中，
，，
，
，
．
（3）如图，在线段上取点I，使得，连接，
在与中，
，，，
，
．
，，，
，
，
，
为直角三角形，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，准确添加常用辅助线，构造特殊三角形和证明全等三角形是解本题的关键。