2024扬州高一上学期1月期末考试数学含解析

这是一份2024扬州高一上学期1月期末考试数学含解析，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 下列四个函数中，与有相同单调性和奇偶性的是（ ）
A. B. C. D.
3. 若全集，，则（ ）
A. B. C. D.
4. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M为OA的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）
A. cm2B. cm2C. cm2D. cm2
5. 若实数，满足，则下列关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 若：，：，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（ ）
A. 小于20克B. 不大于20克C. 大于20克D. 不小于20克
8. 若且满足，设，，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 是第二象限角B.
C. 小于的角一定是锐角D.
10. 下列命题为真命题的有（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C 若，则D. 若，则
11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 为奇函数B. 是以为周期的函数
C. 的图象关于直线对称D. 时，的最大值为
12. 如图，过函数（）图象上的两点A，B作轴的垂线，垂足分别为，（），线段与函数（）的图象交于点，且与轴平行.下列结论正确的有（ ）
A. 点的坐标为
B. 当，，时，值为9
C. 当时，
D. 当，时，若，为区间内任意两个变量，且，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知角的终边经过点，则的值为______.
14. 若，，，则的最大值为______.
15. 已知定义域为的奇函数，当时，，若当时，的最大值为，则的最小值为______.
16. 定义域为的函数，如果对于区间内（）的任意三个数，，，当时，有，那么称此函数为区间上的“递进函数”，若函数是区间为“递进函数”，则实数的取值范围是______.
四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 化简求值：
（1）；
（2）若，求的值.
18. 已知.求值：
（1）；
（2）.
19. 已知函数的定义域为集合，函数的值域为.
（1）当时，求；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
20. 已知，.
（1）若，，且，求函数的单调增区间；
（2）若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，当取最小值时，方程在区间上有解，求实数的取值范围.
21 已知函数，，其中.
（1）判断并证明的单调性；
（2）①设，，求取值范围，并把表示为的函数；
②若对任意的，总存在使得成立，求实数的取值范围.
22. 已知函数.
（1）若为定义在上的偶函数，求实数的值；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围.2023—2024学年第一学期期末检测
高一数学
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得.
【详解】根据全称命题的否定为特称命题，
则命题“，” 的否定为“，”
故选：A
2. 下列四个函数中，与有相同单调性和奇偶性的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据基本初等函数的奇偶性和单调性判断.
【详解】明显函数为奇函数，且在上单调递增；
对于AC：函数与均为指数函数，且为非奇非偶函数；
对于B：为奇函数，且在上单调递增；；
对于D：为奇函数，但其在上不是单调函数.
故选：B.
3. 若全集，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的解法，求得集合，结合集合的运算，即可求解.
【详解】由不等式，解得，所以集合，
又由，可得，
所以.
故选：C
4. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M为OA的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）
A. cm2B. cm2C. cm2D. cm2
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形面积公式计算可得；
【详解】解：扇环的面积为．
故选：B
5. 若实数，满足，则下列关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把指数式转化为对数式，利用对数的运算法则进行计算.
【详解】因为，所以，，
由换底公式得：，.
所以.
故选：A
6. 若：，：，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件取特殊值验证充分性和必要性即可.
【详解】因为,取，因为，
此时，故充分性不成立，
当时，取，则，
故必要性不成立，故是的既不充分也不必要条件，
故选:D.
7. 某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（ ）
A. 小于20克B. 不大于20克C. 大于20克D. 不小于20克
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，结合基本不等式，即可求解.
【详解】设天平的左臂长为，右臂长为（不妨设），
第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为，
由杠杆平衡的原理，可得，则，
可得，当且仅当时，等号成立，
所以顾客所得的黄金不小于20克.
故选：D.
8. 若且满足，设，，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过条件得到，通过假设找到矛盾，从而得到，进而确定函数单调性，通过单调性比较大小即可．
【详解】因为，两边同时除以得，
因为，
若，则，，
则，同理，则与矛盾，
所以，
则，，
则，同理，
所以，
又，
因为函数单调递减，单调递增，
所以单调递减，
对于AB：由于与，与大小关系不确定，故AB错误；
对于CD：由于，，所以，，故C正确，D错误．
故选：C．
【点睛】关键点睛：根据选项为比较大小可知本题关键是确定函数的单调性，即是大于还是小于，带着这个目的去挖掘条件即可找到解题思路．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 是第二象限角B.
C. 小于的角一定是锐角D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据角的定义，以及诱导公式和特殊角的三角函数值，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，根据角的定义，可得是第三象限角，所以A不正确；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，根据角的定义，小于的角不一定是锐角，可以是负角，所以C错误；
对于D中，由的终边位于第二象限，所以，所以D正确.
故选：BD.
10. 下列命题为真命题的有（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】作差即可判断ABC；根据不等式的性质即可判断D.
【详解】对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，，
因为，，所以，
所以，所以，故B错误；
对于C，若，则，所以，故C正确；
对于D，若，则，所以，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 为奇函数B. 是以为周期的函数
C. 的图象关于直线对称D. 时，的最大值为
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，由正弦函数的奇偶性即可判断；对于B，判断是否成立即可；对于C，判断是否成立即可；对于D，可得时，单调递增，由此即可得解.
【详解】对于A，的定义域为（关于原点对称），且，
对于B，，故B错误；
对于C，，
，
但，即的图象不关于直线对称，故C错误；
对于D，时，均单调递增，所以此时也单调递增，
所以时，单调递增，其最大值为.
故选：AD.
12. 如图，过函数（）图象上的两点A，B作轴的垂线，垂足分别为，（），线段与函数（）的图象交于点，且与轴平行.下列结论正确的有（ ）
A. 点的坐标为
B. 当，，时，的值为9
C. 当时，
D. 当，时，若，为区间内任意两个变量，且，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】代入验证可判断A；将，，，代入，然后分别得出点A、C的坐标，使点A与点C的纵坐标相等求解m的值可判断B；用含a、b的式子表示出点A、B、C的坐标，再利用AC与x轴平行得到m与c的关系式可判断C；设，利用对数函数的单调性，以及对数的运算法则，即可证明.
【详解】对A：由图可知，若设，则,
又A在上，则，所以，故A对；
对B：由题意得，，且与轴平行，
所以，得故B对；
对C：由题意得 ，，且与轴平行，
所以，因为，所以，故C错；
对D：因为，且，所以，
又因为，所以，，
又因为，
所以，所以，所以，
即，故D对；
故选：ABD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知角的终边经过点，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】直接由三角函数的定义求解.
【详解】由三角函数的定义可得
，
所以.
故答案为：.
14. 若，，，则的最大值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据基本不等式求最大值即可.
【详解】因为，，，
所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为为,
故答案为：.
15. 已知定义域为的奇函数，当时，，若当时，的最大值为，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数为奇函数可知时，最小值为，考查时的最值情况，可得到的范围，即可求解.
【详解】因为是定义域为的奇函数，
当时，的最大值为，
则时，最小值为，
又当时，，
当时，，
当时，，单调递减，
又当时，，
故则时，最小值为，
必有，
则，
故的最小值为，
故答案为：.
16. 定义域为的函数，如果对于区间内（）的任意三个数，，，当时，有，那么称此函数为区间上的“递进函数”，若函数是区间为“递进函数”，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数是区间为“递进函数”，由的递增区间为求解.
【详解】解：因为函数是区间为“递进函数”，
所以的递增区间为，
令，则在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 化简求值：
（1）；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）根据指数幂运算及对数运算法则进行计算即可；
（2）把条件平方后可得，再次平方即可求解.
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
由题意得，
得，
同理，
故.
18. 已知.求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）诱导公式化简后，分子分母同时除以，进一步计算即可；
（2）分母变为，分子分母同时除以，进一步计算即可.
【小问1详解】
因为，
所以原式；
【小问2详解】
因为，
所以原式.
19. 已知函数的定义域为集合，函数的值域为.
（1）当时，求；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求出集合、，再求两个集合的并集；
（2）根据题意，确定两个集合的包含关系，然后求得取值范围.
【小问1详解】
由题意得
所以，所以；
当时，在上单调增，则，
∴；
【小问2详解】
若是的必要不充分条件，则是的真子集.
当时，在上单调增，
则，所以，解得；
当时，，不符合题意；
当时，在上单调减，则，不符合题意；
综上，.
20. 已知，.
（1）若，，且，求函数的单调增区间；
（2）若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，当取最小值时，方程在区间上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1），（闭区间也正确）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，，且，结合周期公式求出函数的解析式，再求单调增区间即可；
（2）根据平移变换法则以及函数的对称性求出函数解析式，再求的最小值，结合正弦函数的性质可求实数的取值范围.
【小问1详解】
，则，所以；
由，，解得，，
所以函数的单调增区间为，（闭区间也正确）.
【小问2详解】
将图象向左平移个单位长度后得到，
若所得图象关于轴对称，则，得，，
因为，所以；
，得，，
所以的取值范围为.
21. 已知函数，，其中.
（1）判断并证明的单调性；
（2）①设，，求的取值范围，并把表示为的函数；
②若对任意的，总存在使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调减函数，证明见解析
（2）①；，；②
【解析】
【分析】（1）利用定义法对的单调性进行证明.
（2）由已知可得，即，代入即可求得；
（3）设在时值域为，得，设在时的值域为，由题意得，然后分、、、 进行讨论即可.
【小问1详解】
是上的单调减函数.
证明如下：在上任取，且，所以
则，
故是上单调减函数；
【小问2详解】
①，
则，
又因为，所以，从而.
又因为，所以，
因为，所以，
②设在时值域为，
在单调递减，
所以，而，，
则；
设在时的值域为，由题意得.
（ⅰ）当时，即，在上单调增，∴，
因为，显然不满足；
（ⅱ）当时，即，
在上单调增，在上单调减，且，
∴，显然不满足；
（ⅲ）当时，即，
在上单调增，在上单调减，且，
∴，且，所以不满足
（ⅳ）当时，，在上单调减，∴，
∵，∴且，所以；
综上，实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，属于中档题. 不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数a≥恒成立(即a≥可)或a≤恒成立（即a≤可）；
② 数形结合(y= 图象在 y= 上方即可)；
③ 讨论最值≥0或≤0恒成立；
22. 已知函数.
（1）若为定义在上的偶函数，求实数的值；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据为定义在上的偶函数，则对恒成立，可得，可求实数的值；
（2）恒成立，可得恒成立，构造函数，结合指数函数的性质即可求实数的取值范围.
【小问1详解】
函数为定义在上的偶函数，则对恒成立，
所以，
化简得，即，所以.
【小问2详解】
不等式可化为（*），
由题意得：对任意恒成立，则；
（*）可化为，所以，
对于不等式，令，因为，所以.
，恒成立，恒成立；
令，可得即（**）
由于函数为上的减函数，且，
所以不等式的解集为；
由于函数为上的减函数，
所以当时，恒成立，
所以（**）式的解为.
综上，的取值范围为.
【点睛】不等式恒成立问题求解方法：（1）分离参数转化为求最值问题；（2）最值用参数表示，再解不等式.