2023-2024学年江苏省苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.地铁是一种现代化的大众交通工具，它为我们提供便捷、快速和安全的出行方式，在如图所示城市地铁图标中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.一次函数y=−35x+1的图象不经过的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.比 5大且比 15小的整数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
4.如图，两个三角形全等，则∠α的度数是( )
A. 50°B. 58°C. 72°D. 60°
5.已知关于x的分式方程m−1x−2=2的解为正数，则m的取值范围是( )
A. m>−3B. m>−3且m≠1
C. m<−3D. m<−3且m≠−7
6.如图，折线为y关于x的函数图象，下列关于该函数说法正确的是( )
A. 点(−2,1)在该函数图象上
B. 当x<0时，y随x的增大而增大
C. 该函数有最大值3
D. 当x>−3时，函数值总大于0
7.为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵.由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的43倍，结果提前4天完成任务.原计划每天种树多少棵？设原计划每天种树x棵，根据题意可列出的方程是( )
A. 96034x−960x=4B. 960x−96034x=4C. 96043x−960x=4D. 960x−96043x=4
8.在平面直角坐标系中，点A坐标为(−2,0)，点B坐标为(a,−3a+1)，则A，B之间距离的最小值为( )
A. 12 10B. 74 2C. 5D. 710 10
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若x3=−8，则x= ______．
10.在平面直角坐标系中，P(1,−2)关于y轴对称点的坐标是______．
11.若关于x的函数y=−45xm−3是正比例函数，则m的值是______．
12.已知12a−1的平方根是±2，b+1的立方根为2，则代数式 a−b的值为______．
13.在平面直角坐标系中，把点P(3,a−1)向下平移5个单位得到点Q(3,2−2b)，则代数式14a+12b+3的值为______．
14.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=10，BD⊥AC于点D，且BD=8，则AC的长为______．
15.如图，将一块含45°角的直角三角板放在平面直角坐标系中，顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边BC与x轴交于点D.已知∠ABC=45°，点A坐标为(−43,0)，点B的坐标为(0,−4)，则点D的坐标为______．
16.如图，△ABC，∠BAC=90°，BC的垂直平分线交CA的延长线于点E，交AB于点F，交BC于点D.若AC=2，BC=2 5，∠BAE的平分线交DE于点M，则AM的长度为______．
三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)( 45− 18)+( 8− 5)；
(2) 6×( 8+ 3)−3 14÷ 7．
18.(本小题8分)
计算：
(1)3aa+b−a−2ba+b；
(2)x+2x2−9÷(1−1x+3).
19.(本小题5分)
解方程：xx−1+2=32x−2．
20.(本小题6分)
已知：如图，点A，B，C，D在同一直线上，AB=DC，EA=FD，∠A=∠D，EC与FB交于点G．
(1)求证：△EAC≌△FDB；
(2)若∠A=70°，∠F=60°，求∠BGC的度数．
21.(本小题6分)
先化简再求值：2xx−2−x2−1x2−4x+4⋅2x−4x+1，其中x= 2+2．
22.(本小题6分)
如图，在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C均为格点．
(1)线段AB的长为______；
(2)确定格点D，使△ACD为等腰直角三角形，画出所有符合条件的格点D．
23.(本小题7分)
已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(1,3)，且与y轴交于点B(0,5)．
(1)求函数表达式；
(2)若一次函数y=mx−1(m≠0)的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)图象交于点C(a,1)，求m，a的值；
(3)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=nx−12(n≠0)的值大于y=kx+b(k≠0)的值，则n的取值范围为______．
24.(本小题8分)
(1)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在CB的延长线上，且BD=BA，点E在BC的延长线上，且CE=CA，求∠DAE的度数；
(2)如果把第(1)题中“AB=AC”的条件舍去，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？如果不变，请写出∠DAE的度数并说明理由；
(3)如果把第(1)题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC<90°”，其余条件不变，则∠DAE与∠BAC之间的数量关系为______．
25.(本小题8分)
已知：如图1，四边形ABCD是长方形，AB=6，BC=2，四边形EFGH是边长为4的正方形，AB，EF在同一直线上.四边形ABCD从起始位置以每秒4个单位长度向右匀速运动，同时，四边形EFGH以每秒2个单位长度向右匀速运动.当点A运动到与点F重合时，两个四边形同时停止运动.设运动的时间为t秒，两个四边形运动过程中重叠部分面积为S.如图2，S与t的函数关系图象为折线O—M—N—P—Q．
(1)a的值为______，b的值为______；
(2)求图象中线段PQ所在直线的函数表达式；
(3)若两个四边形运动后重叠部分面积S为正方形面积的38倍，求t的值．
26.(本小题10分)
如图，直线y=x+3与y轴交于点A，点B为该直线上一点，且点B的纵坐标是6；
(1)求点A和点B的坐标；
(2)把直线y=x+3向下平移7个单位长度，若平移后的直线与x轴交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积；
(3)点D为直线y=13x上一点，连接AD和BD，若△ABD的面积为6，求点D的坐标．
27.(本小题10分)
在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘．
【纸片规格】
三角形纸片ABC，∠ACB=120°，CA=CB，点D是底边AB上一点．
【换作探究】
(1)如图1，若AC=6，AD=2 3，连接CD，求CD的长度；
(2)如图2，若AC=6，连接CD，将△ACD沿CD所在直线翻折得到△ECD，点A的对应点为点E.若DE所在的直线与△ABC的一边垂直，求AD的长；
(3)如图3，将△ACD沿CD所在直线翻折得到△ECD，边CE与边AB交于点F，且DE/​/BC，再将△DFE沿DF所在直线翻折得到△DFG，点E的对应点为点G，DG与CE、BC分别交于H，K，若KH=1，请直接写出AC边的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=−x+1中k=−1<0，b=1>0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
先根据一次函数y=−x+1中k=−1，b=1判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k<0，b>0时，函数图象经过一、二、四象限．
3.【答案】B
【解析】解：∵ 4< 5< 9，
即2< 5<3，
∵ 9< 15< 16，
即3< 15<4，
∴比 5大且比 15小的整数是3，
故选：B．
利用夹逼法估算 5、 15的大小，然后找出比 5大且比 15小的整数即可．
本题考查了无理数的估算，熟练掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵两个三角形全等，
∴∠α=50°，
故选：A．
根据全等三角形的对应角相等解答．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：去分母得：
m−1=2x−4，
解得：x=m+32，
∵方程的解是正数，
∴m+32>0，
解得m>−3，
又∵x−2≠0，
∴x≠2，
∴m+32≠2，
∴m≠1，
∴m的取值范围是m>−3且m≠1．
故选：B．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据解为正数，求出m的范围即可．
本题考查了分式方程的解，掌握求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由图象可知：
A.设x≤−1时，y=kx+b，则−k+b=2−3k+b=0，
解得k=1b=3，
∴y=x+3，
当x=−2时，y=−2+3=1，
∴点(−2,1)在该函数图象上，
故选项A说法正确，符合题意；
B.当x≤−1时，y随x的增大而增大；当x≥−1时，y随x的增大而减小，原说法错误，故本选项不合题意；
C.该函数有最大值是2，原说法错误，故本选项不合题意；
D.当−3故选：A．
根据函数图象的相应点坐标以及增减性，可得答案．
本题考查了函数的图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵实际每天种树的棵数是原计划的43倍，且原计划每天种树x棵，
∴实际每天种树43x棵．
根据题意得：960x−96043x=4．
故选：D．
根据实际与原计划每天种树棵数间的关系，可得出实际每天种树43x棵，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵点A坐标为(−2,0)，点B坐标为(a,−3a+1)，
∴AB= (a+2)2+(−3a+1)2= 10a2−2a+5= 10(a−110)2+4910，
∴AB有最小值是 4910=7 1010．
故选：D．
由两点的距离公式得到：AB= 10(a−110)2+4910，由二次函数的性质即可求出AB的最小值．
本题考查两点的距离公式，勾股定理，二次函数的性质，关键是由两点的距离公式得到：AB= 10(a−110)2+4910．
9.【答案】−2
【解析】解：由题意，得：x=3−8=−2．
故答案为：−2．
根据立方根的定义求解即可．
此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
10.【答案】(−1,−2)
【解析】解：因为点P(1,−2)关于y轴对称，
所以纵坐标相等相等，横坐标互为相反数，
所以点P(1,−2)关于y轴对称的点的坐标是(−1,−2)，
故答案为(−1,−2)．
根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于y轴对称的点的坐标，利用关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题关键．
11.【答案】4
【解析】解：∵关于x的函数y=−45xm−3是正比例函数，
∴m−3=1，
解得：m=4．
故答案为：4．
根据正比例函数的定义得m−3=1，由此解出m即可．
此题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解决问题的关键．
12.【答案】 3
【解析】解：∵12a−1的平方根是±2，b+1的立方根为2，
∴12a−1=4，b+1=8，
解得：a=10，b=7，
则 a−b= 10−7= 3，
故答案为： 3．
根据平方根及立方根的定义求得a，b的值，然后根据算术平方根的定义即可求得答案．
本题考查平方根，算术平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：将点P(3,a−1)向下平移5个单位得到点Q(3,2−2b)，
∴a−1−5=2−2b，
∴a+2b=8，
∴14a+12b+3=14(a+2b)+3=14×8+3=5，
故答案为：5．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
本题考查了坐标与图形的平移，掌握点的平移规律是解题的关键．
14.【答案】1003
【解析】解：∵BD⊥AC，
∴∠BDC=∠ADB=90°，
∵BC=10，BD=8，
∴CD= BC2−BD2= 102−82=6，
设AB=AC=x，则AD=x−6，
在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
∴(x−6)2+82=x2，
∴x=253，
∴AC=253，
∴S△ABC=12AC⋅BD=12×253×8=1003，
故答案为：1003．
先根据勾股定理得出CD的长，再根据勾股定理得出方程求出AC的长，即可解决问题．
此题考查了勾股定理以及三角形面积，等腰三角形的性质，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长．
15.【答案】(2,0)
【解析】解：过点C作x轴的垂线，垂足为M，
则∠CAM+∠AVM=90°，
又∵∠CAB=90°，
∴∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠ACM．
在△AOB和△AMC中，
∠BAO=∠ACM∠AOB=∠CMAAB=AC，
∴△AOB≌△AMC(AAS)，
∴CM=AO，AM=OB．
又∵点A坐标为(−43,0)，点B的坐标为(0,−4)，
∴CM=AO=43，AM=OB=4，
∴OM=4−43=83，
则点C坐标为(83,43).
令直线BC的函数解析式为y=kx+b，
则83k+b=43b=−4，
解得k=2b=−4，
所以直线BC的函数解析式为y=2x−4．
将y=0代入函数解析式，
2x−4=0，
解得x=2，
∴点D的坐标为(2,0)．
故答案为：(2,0)．
过点C作x轴的垂线，构造出全等三角形，进而求出点C的坐标，再求出直线BC的函数解析式即可解决问题．
本题考查坐标与图形性质，能过点C作x轴的垂线，并求出AM和CM的长是解题的关键．
16.【答案】 2
【解析】解：如图，过点M作MN⊥AE于点N，
∴∠MNE=∠MNA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE=90°，
∵∠BAE的平分线交DE于点M，
∴∠MAN=∠MAF=45°，
∴△AMN为等腰直角三角形，
∴MN=AN，
∵DE为BC的垂直平分线，
∴BD=CD，DE⊥BC，
∵BC=2 5，
∴CD= 5，
∵∠EDC=∠BAC=90°，∠C为公共角，
∴△EDC∽△BAC，
∴CDCA=CECB，∠E=∠B，
∴ 52=CE2 5，
∴CE=5，
∵∠BAC=90°，AC=2，BC=2 5，
∴由勾股定理得AB= BC2−AC2= (2 5)2−22=4，
∵∠MNE=∠CAB=90°，∠E=∠B，
∴△MNE∽△CAB，
∴MNCA=NEAB，
∴MN2=NE4，
即MNNE=12，
设MN=AN=x，
则NE=2x，
∵CE=NE+AN+AC=5，
∴2x+x+2=5，
∴x=1，
即MN=AN=1，
在Rt△AMN中，由勾股定理得AM= MN2+AN2= 2，
故答案为： 2．
过点M作MN⊥AE于点N，先证△AMN为等腰直角三角形，得出MN=AN，再证△EDC∽△BAC，求出CE的长，再证△MNE∽△CAB，得出NE与MN的关系，最后根据CE=NE+AN+AC=5即可求出MN、AN的长，然后根据勾股定理即可求出AM的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
17.【答案】解：(1)( 45− 18)+( 8− 5)
=3 5−3 2+2 2− 5
=2 5− 2；
(2) 6×( 8+ 3)−3 14÷ 7
= 6× 8+ 6× 3−3 2
=4 3+3 2−3 2
=4 3．
【解析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
(2)先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)3aa+b−a−2ba+b
=3a−(a−2b)a+b
=3a−a+2ba+b
=2a+2ba+b
=2(a+b)a+b
=2；
(2)x+2x2−9÷(1−1x+3)
=x+2(x+3)(x−3)÷x+3−1x+3
=x+2(x+3)(x−3)÷x+2x+3
=x+2(x+3)(x−3)⋅x+3x+2
=1x−3．
【解析】(1)利用同分母分式加减法法则进行计算，即可解答；
(2)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：原方程去分母得：2x+4(x−1)=3，
去括号得：2x+4x−4=3，
移项，合并同类项得：6x=7，
系数化为1得：x=76，
检验：将x=76代入2(x−1)得2×16=13≠0，
故原分式方程的解为x=76．
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AB=DC，
∴AB+BC=CD+BC，
∴AC=BD，
在△AEC和△BFD中，
AE=BF∠A=∠FBDAC=BD，
∴△AEC≌△BFD(SAS)；
(2)解：∵△AEC≌△BFD，
∴∠E=∠F=60°，∠ACE=∠DBF，
∠A=70°，
∴∠ACE=180°−∠A−∠E=180°−70°−60°=50°，
∴∠DBF=50°，
∴∠BGC=180°−∠ACE−∠DBF=180°−50°−50°=80°．
【解析】(1)利用SAS证明△AEC≌△BFD即可；
(2)利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
21.【答案】解：2xx−2−x2−1x2−4x+4⋅2x−4x+1
=2xx−2−(x+1)(x−1)(x−2)2⋅2(x−2)x+1
=2xx−2−2(x−1)x−2
=2x−2x+2x−2
=2x−2，
当x= 2+2时，原式=2 2+2−2= 2．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
22.【答案】5
【解析】解：(1)由勾股定理得，AB= 42+32=5．
故答案为：5．
(2)如图，点D1，D2，D3，D4，D5均满足题意．
(1)利用勾股定理计算即可．
(2)分别以点A，C，D为直角顶点，结合等腰直角三角形的性质画图，可得答案．
本题考查作图—应用与设计作图、勾股定理、等腰直角三角形，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
23.【答案】n>34
【解析】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(1,3)，且与y轴交于点B(0,5)，
∴k+b=3b=5，
∴k=−2b=5，
∴一次函数解析式为：y=−2x+5；
(2)∵若一次函数y=mx−1(m≠0)的图象与一次函数y=−2x+5(k≠0)图象交于点C(a,1)，
∴−2a+5=1，
∴a=2，
将C(2,1)坐标代入y=mx−1得：
2m−1=1，
∴m=1．
(3)∵当x>2时，对于x的每一个值，函数y=nx−12(n≠0)的值大于y=−2x+5(k≠0)的值，
∴2n−12>1，
解得n>34．
故答案为：n>34．
(1)待定系数法求出一次函数解析式即可；
(2)将点C(a,1)坐标代入y=−2x+5解出a，再将C(2,1)代入y=mx−1解出m值即可；
(3)根据题意，将点(2,1)看作两个函数的交点坐标，依据不等式解出n的取值范围即可．
本题考查了两条直线相交和平行问题，熟练掌握一次函数与不等式间的关系式解答本题的关键．
24.【答案】90°+12∠BAC
【解析】解：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BD=BA，CE=CA，
∴∠BAD=∠D=22.5°，∠CAE=∠E=22.5°，
∴∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE=22.5°+90°+22.5°=135°；
(2)不变，∠DAE=135°．
理由如下：∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BD=BA，CE=CA，
∴∠BAD=∠D=12∠ABC，∠CAE=∠E=12∠ACB，
∴∠BAD+∠CAE=12∠ABC+12∠ACB=45°，
∴∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE=45°+90°=135°；
(3)∵BD=BA，CE=CA，
∴∠BAD=∠D=12∠ABC，∠CAE=∠E=12∠ACB，
∴∠BAD+∠CAE=12∠ABC+12∠ACB=12(180°−∠BAC)，
∴∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE=12(180°−∠BAC)+∠BAC=90°+12∠BAC．
故答案为：90°+12∠BAC．
(1)根据等腰三角形的性质，求出∠BAD和∠CAE的度数，再利用∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE即可求出∠DAE的度数；
(2)根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质，求出∠BAD+∠CAE的度数，再根据∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE，利用整体思想即可求出∠DAE的度数；
(3)根据三角形内角和的性质和等腰三角形的性质，将∠BAD+∠CAE的度数用∠BAC的代数式表示，再根据∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE，利用整体思想即可得到∠DAE与∠BAC之间的数量关系．
本题考查三角形内角和定理及其推论，等腰三角形的性质，掌握相关性质，能灵活整体思想是解题的关键．
25.【答案】3 4
【解析】解：(1)由题意得：当t=1时，BC与EH重合，S开始逐渐增大，当BC与FG重合时，S达到最大值，当AD与EH重合后，S逐渐减小，
当t=1时，S开始逐渐增大，BC与EH重合，
∴BE=4−2=2，
当BC与FG重合时，S达到最大值，如图，
4t−2t=4+2，解得t=3，
∴a=3，
当AD与EH重合后，S逐渐减小，如图，
4t−2t=6+2，解得t=4，
∴b=4，
故答案为：3，4；
(2)由题意得：当点A运动到与点F重合时，4t−2t=6+2+4，
解得t=6，
∴t的取值范围为0≤t≤6，
∵当AD与EH重合后，S逐渐减小，b=4，
∴线段PQ为4≤t≤6时的函数关系图象，如图，
AF=2t+4+2+6−4t=12−2t，
∴线段PQ所在直线的函数表达式为S=2(12−2t)=−4t+24(4≤t≤6)；
(3)∵正方形面积为4×4=16，
∴正方形面积的38倍为16×38=6，
当0BE=4t−2−2t=2t−2，
∴S=2(2t−2)=6，解得t=52；
当4由(2)知，S=−4t+24(4≤t≤6)，
∴−4t+24=6，解得t=92．
综上，t的值为52或92．
(1)由题意得：当t=1时，BC与EH重合，S开始逐渐增大，当BC与FG重合时，S达到最大值，当AD与EH重合后，S逐渐减小，由此可得a、b的值；
(2)由题意得：当点A运动到与点F重合时，4t−2t=6+2+4，可得t=6，即t的取值范围为0≤t≤6，线段PQ为4≤t≤6时的函数关系图象，画出图形，表示出4≤t≤6时AF的长即可求解；
(3)分两种情形：当0本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的图象与性质，求函数表达式，平移变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考常考题型．
26.【答案】解：(1)把x=0代入y=x+3，得y=3，
∴A(0,3)．
把y=6代入y=x+3，得6=x+3，
解得x=3，
∴B(3,6)；
∴A的坐标为(0,3)，B的坐标为(3,6)；
(2)设直线AB与x轴交于点E，如图：

在y=x+3中，令y=0得x=−3，
∴E(0,−3)，
把直线y=x+3向下平移7个单位长度得到直线：y=x+3−7，即y=x−4，
在y=x−4中，令y=0得x−4=0，
解得x=4，
∴C(4,0)，
∴CE=7，
∴S△ABC=S△BCE−S△ACE
=12CE⋅yB−12CE⋅yA
=12CE⋅(yB−yA)
=12×7×(6−3)
=212．
∴△ABC的面积为212；
(3)过D作DK//AB交y轴于K，过K作KH⊥AB于H，
当D在AB左侧时，设AB交x轴于M，如图：

在y=x+3中，令y=0得x=−3，
∴M(−3,0)，
∵A(0,3)，B(3,6)，
∴AB= (0−3)2+(3−6)2=3 2，
∵△ABD的面积为6，DK//AB，
∴△ABK的面积为6，
∴12×3 2⋅KH=6，
∴KH=2 2，
由A(0,3)，M(−3,0)可得△AOM是等腰直角三角形，
∴∠KAH=∠MAO=45°，
∴△AKH是等腰直角三角形，
∴AK= 2KH= 2×2 2=4，
∴K(0,7)，
∴直线KD的解析式为y=x+7，
联立y=x+7y=13x，
解得x=−212y=−72，
∴D(−212,−72)；
当D在AB右侧时，如图：

同理可得K(−1,0)，
∴直线KD解析式为y=x−1，
联立y=x−1y=13x，
解得x=32y=12，
∴D(32,12)；
综上所述，D的坐标为(−212,−72)或D(32,12).
【解析】(1)把x=0代入y=x+3求得相应的y值，即可得点A的坐标；把y=6代入y=x+3求得相应的x值，可得点B的坐标；
(2)首先求得平移后直线方程为y=x−4，据此求得C(4,0)；设直线AB与x轴交于点E，则S△ABC=S△BCD−S△ACD．
(3)分两种情况：过D作DK//AB交y轴于K，过K作KH⊥AB于H，当D在AB左侧时，设AB交x轴于M，求出AB= (0−3)2+(3−6)2=3 2，由△ABD的面积为6，DK//AB，可得KH=2 2，由A(0,3)，M(−3,0)可得△AOM是等腰直角三角形，可知△AKH是等腰直角三角形，求出K(0,7)，直线KD的解析式为y=x+7，联立y=x+7y=13x，解方程组可得D(−212,−72)；当D在AB右侧时，同理可得D(32,12).
本题考查一次函数的综合应用，涉及三角形面积，等腰直角三角形的性质和判定，一次函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
27.【答案】解：(1)如图1，

作CE⊥AB于E，
∴∠AEC=90°，
∵CA=CB，∠ACB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴CE=12AC=3，AE= 32AC=3 3，
∴DE=AE−AD=3 3−2 3= 3，
∴CD= DE2+CE2= ( 3)2+32=2 3；
(2)如图2，

当DE⊥AB时，连接AE，作CG⊥AB于G，
由翻折得：AD=DE，∠CAD=∠CED，AC=CE，
∴∠DAE=∠DEA=45°，
∴∠CAE=∠CAD+∠DAE=30°+45°=75°，
∴∠CEA=∠CAE=75°，
∴∠ACE=30°，
∴∠ACD=∠DCE=15°，
∴∠CDG=∠CAB+∠DAC=45°，
∴DG=CG，
由(1)知：CG=3，AG=3 3，
∴AD=AG−DG=3 3−3；
如图3，

当ED⊥AC时，设ED交AC于点WCE交AB于V，
∴∠E+∠ACE=90°，
∵∠E=∠A，
∴∠A+∠ACE=90°，
∴∠AVC=90°，
∴∠ACE=60°，
∴∠ACD=∠DCE=30°，
∴∠ACD=∠A，
∴AD=CD，
∵CV=3，
∴CD=3 32=2 3，
∴AD=CD=2 3，
如图4，

当DE⊥BC时，
∵∠E=∠A=30°，
∴∠BCE=60°，
∴∠ACB+∠BCE=180°，
∴∠ACD=∠DCE=90°，
∴AD=6 32=4 3，
综上所述：AD=3 3−3或2 3或4 3；
(3)如图5，

∵DE/​/BC，∠B=∠C=30°，
∴∠BCF=∠E=30°，∠EDF=∠B=30°，
∵∠ACB=120°，
∴∠ACE=90°，
∴∠ECD=∠ACD=12∠ACE=45°，
∵将△DFE沿DF所在直线翻折得到△DFG，
∴∠GDF=∠EDF=30°，
∴∠EDG=60°，
∴∠CHK=∠EHD=90°，
∴DH=CH= 3KH= 3，
∴FH= 33DH=1，
∴CF=CH+FH= 3+1，
∴AC= 3CF=3+ 3．
【解析】(1)作CE⊥AB于E，求得∠A=∠B=30°，从而得出CE=12AC=3，AE= 32AC=3 3，进而得出DE=AE−AD=3 3−2 3= 3，进一步得出结果；
(2)当DE⊥AB时，连接AE，作CG⊥AB于G，依次得出∠DAE=∠DEA=45°，∠CAE=∠CAD+∠DAE=30°+45°=75°，∠CEA=∠CAE=75°，∠ACE=30°，∠ACD=∠DCE=15°，∠CDG=∠CAB+∠DAC=45°，从而DG=CG，进一步得出结果；当ED⊥AC时，设ED交AC于点WCE交AB于V，可推出∠AVC=90°，∠ACE=60°，从而∠ACD=∠DCE=30°，进一步得出结果；当DE⊥BC时，可推出∠ACB+∠BCE=180°，从而∠ACD=∠DCE=90°，进一步得出结果；
(3)可推出△CKH和△CDH及△CHK是直角三角形，且∠HCK=30°，∠HDF=30°，∠DCH=45°，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．