2023-2024学年广东省肇庆市德庆县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省肇庆市德庆县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是( )
A. 同位角相等，两直线平行
B. 三角形具有稳定性
C. 两点之间，线段最短
D. 垂线段最短
2.以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是( )
A. 3，6，9B. 3，5，9C. 2，6，4D. 4，6，9
3.下列图形中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.如图，△ABC≌△DBC，AC=2，则DC等于( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.计算x⋅x2的结果是( )
A. 3xB. x2C. xD. x3
6.如图，在△ABC中，∠A=55°，∠B=45°，那么∠ACD的度数为( )
A. 110
B. 100
C. 55
D. 45
7.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A. 6米B. 9米C. 12米D. 15米
8.分式1x−1的值存在的条件是( )
A. x≠0B. x≠1C. x>0D. x>1
9.△ABC中，AB=BC=6，∠B=60°，则AC等于( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
10.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )
A. △ABC的三条中线的交点
B. △ABC三条角平分线的交点
C. △ABC三条高所在直线的交点
D. △ABC三边的中垂线的交点
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.化简：x+1x−1x=______．
12.因式分解：4a2−1= ______．
13.如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，要使△AOB≌△COD还需添加一个条件是______(填上你认为适当的一个条件即可)．
14.计算：3a(5a−2b)= ______．
15.六边形的内角和为______．
16.如图，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点M，且过点M的直线DE/​/BC，分别交AB、AC于D、E两点，若AB=12，AC=10，则△ADE的周长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：3x−3=2x．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：(x−y)2+(x+y)(x−y)．
19.(本小题6分)
计算：|−5|−(−1)2023+30+(14)−1．
20.(本小题8分)
计算：(2ab)2⋅1a−b−ab÷b4．
21.(本小题8分)
先化简代数式，再求值：aa2−4a+4÷1a−2，其中a=3．
22.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)测量OB与OD、∠BOA与∠DOA，你有何猜想？证明你的猜想．
23.(本小题10分)
如图，∠EAC是△ABC的外角，AB=AC．
(1)请你用尺规作图的方法作∠EAC的角平分线AD；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
24.(本小题10分)
2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空.某中学组织毕业班的同学观看现场直播，学校准备为同学们购进A、B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款文化衫和用400元购进B款文化衫的数量相同．
(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
(2)已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元购进两种文化衫，应至少购进B款文化衫多少件．
25.(本小题10分)
(1)计算下列两个数的积(这两个数的十位上的数相同，个位上的数的和等于10)，你发现结果有什么规律？53×57，38×32，84×86，71×79．
(2)你能用所学知识解释这个规律吗？
(3)利用你发现的规律计算：58×52，63×67，752，952．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性，
故选：B．
学校门口设置的移动拒马做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案．
本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，掌握“三角形具有稳定性”是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、3+6=9，错误；
B、3+5<9，错误；
C、2+4=6，错误；
D、6+4>9，正确，
故选：D．
看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
3.【答案】C
【解析】解：选项C的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项A、B、D的图形能找到一条(或多条)直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△DEC，
∴DC=AC=2，
故选：B．
根据全等三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应边相等解答．
5.【答案】D
【解析】解：x⋅x2=x1+2=x3．
故选：D．
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：由三角形的外角的性质可知，∠ACD=∠A+∠B=100°，
故选：B．
根据三角形的外角的性质计算即可．
本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【解答】
解：如图，根据题意BC=3米，
∵∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×3=6米，
∴3+6=9米．
故选B．
8.【答案】B
【解析】解：∵分式1x−1的值存在，
∴x−1≠0，解得x≠1．
故选：B．
根据分式有意义则分式的分母不为0列式计算即可．
本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
9.【答案】B
【解析】解：∵在△ABC中，AB=BC=6，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=6．
故选：B．
由在△ABC中，AB=BC=6，∠B=60°，可判定△ABC是等边三角形，继而可求得答案．
此题考查了等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形定理的应用是解此题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：B．
由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．
11.【答案】1
【解析】解：x+1x−1x=x+1−1x=xx=1．
故答案为：1．
根据同分母得分是加减运算法则计算即可求得答案．
此题考查了同分母的分式加减运算法则．题目比较简单，注意结果需化简．
12.【答案】(2a+1)(2a−1)
【解析】解：4a2−1=(2a+1)(2a−1)．
故答案为：(2a+1)(2a−1)．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
13.【答案】OB=OD
【解析】解：OB=OD，OA=OC，∠COD=∠AOB，
∴△AOB≌△COD(SAS)．
故答案为：OB=OD．
本题根据题目条件，图形条件可知，OA=OC，∠AOB=∠COD，只需要添加一组对应边相等(即OB=OD)，或者对应角相等即可．
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
14.【答案】15a2−6ab
【解析】解：3a(5a−2b)=15a2−6ab，
故答案为：15a2−6ab．
根据单项式乘以多项式，先用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加计算．
本题主要考查了单项式乘以多项式，直接根据单项式乘以多项式的运算法则求解即可，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．
15.【答案】720°
【解析】解：(6−2)×180°=720°，
即六边形的内角和为720°，
故答案为：720°．
利用多边形的内角和公式计算即可．
本题考查多边形的内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键．
16.【答案】22
【解析】解：∵DE/​/BC，
∴∠DMB=∠MBC，∠EMC=∠MCB，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点M，
∴∠DBM=∠MBC，∠ECM=∠MCB，
∴∠DBM=∠DMB，∠ECM=∠EMC，
∴DM=DB，EM=EC，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DM+EM+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=12+10=22．
故答案为：22．
由∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点M，且过点M的直线DE/​/BC，易证得△DBM与△ECM是等腰三角形，继而可得△ADE的周长等于AB+AC．
此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
17.【答案】解：3x−3=2x，
3x=2(x−3)，
3x=2x−6，
3x−2x=−6，
x=−6，
经检验，x=−6是方程的根，
∴原方程的解为x=−6．
【解析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对所求的根进行检验是解题的关键．解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
18.【答案】解：原式=x2−2xy+y2+x2−y2
=2x2−2xy．
【解析】先根据完全平方公式及平方差公式把原式展开，再合并同类项即可．
本题考查的是完全平方公式及平方差公式，解题的关键是熟练完全平方公式的展开式以及平方差公式，运用多项式的运算法则，本题属于基础题型
19.【答案】解：|−5|−(−1)2023+30+(14)−1
=5−(−1)+1+4
=5+1+1+4
=11．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：原式
=4a2b2⋅1a−b−ab×4b
=4a2b2(a−b)−4a(a−b)b2(a−b)
=4a2−4a2+4abb2(a−b)
=4abb2(a−b)
=4aab−b2．
【解析】先变形、化简，然后通分运算，即可解决问题．
该题主要考查了分式的混合运算问题；解题的关键是灵活变形、正确化简、准确计算；对运算求解能力提出了较高的要求．
21.【答案】解：原式=a(a−2)2⋅(a−2)
=aa−2，
当a=3时，
原式=33−2
=31
=3．
【解析】先分母分解因式，把除化为乘，约分后将a的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
22.【答案】(1)证明：在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=DCAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)；
(2)解：OB=OD，∠BOA=∠DOA，
证明：由(1)知，△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABO和△ADO中，
AB=AD∠BAC=∠DACAO=AO，
∴△ABO≌△ADO(SAS)，
∴OB=OD，∠BOA=∠DOA．
【解析】(1)根据SSS即可得出结论；
(2)由△ABC≌△ADC，得出∠BAC=∠DAC，进而根据SAS判断出△ABO≌△ADO，即可得出结论．
此题考查了全等三角形的判定和性质，“筝形”的面积求法，判断出△ABC≌△ADC是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)如图，AD为所作；
(2)AD/​/BC．
理由如下：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
而∠EAC=∠B+∠C，
∴∠DAC=∠C，
∴AD//BC．
【解析】(1)利用基本作图作AD平分∠EAC；
(2)利用AD平分∠EAC得到∠EAD=∠CAD，再根据等腰三角形的性质得∠B=∠C，然后根据三角形外角性质证明∠DAC=∠C，从而可判断AD//BC．
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了等腰三角形的性质．
24.【答案】解：(1)设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件(x+10)元，
根据题意得：500x+10=400x，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10=40+10=50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
(2)设购进B款文化衫y件，则购进A款文化衫(300−y)件，
根据题意得：50(300−y)+40y≤14800，
解得：y≥20．
答：应至少购进B款文化衫20件．
【解析】(1)设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件(x+10)元，利用数量=总价÷单价，结合用500元购进A款文化衫和用400元购进B款文化衫的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可求出B款文化衫的单价，再将其代入(x+10)中，即可求出A款文化衫的单价；
(2)设购进B款文化衫y件，则购进A款文化衫(300−y)件，利用总价=单价×数量，结合总价不多于14800元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】解：(1)∵53×57=3021，38×32=1216，84×86=7224，71×79=5609，
∴十位数乘以十位数加一作为结果的百位，两个个位相乘作为结果的个位和十位．
(2)设十位数字为x，个位数字为y，一个数为10x+y，则另一个数为10x+10−y=10(x+1)−y，
(10x+y)[10(x+1)−y]=100x(x+1)+y(10−y)，
前一项就是十位数乘以十位数加一，后一项就是两个个位数字相乘．
(3)58×52=5×6×100+8×2=3016；
63×67=6×7×100+3×7=4221；
752=7×8×100+5×5=5625；
952=9×10×100+5×5=9025．
【解析】(1)算出四个算式的结果，再寻找规律；
(2)设十位数字为x，个位数字为y，一个数为10x+y，则另一个数为10x+10−y=10(x+1)−y，将两数相乘即可验证(1)的规律；
(3)利用(1)找出的规律解决问题即可．
本题考查了规律型中数字的变化类，根据两数乘积的变化找出变化规律是解题的关键．