2023-2024学年安徽省合肥市肥东县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市肥东县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线y=x2−1的开口方向是( )
A. 向右B. 向上C. 向左D. 向下
2.在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=35∘，AB=7，则BC的长为( )
A. 7sin35∘B. 7cs35∘C. 7tan35∘D. 7cs35∘
3.下列函数中，当x>0时，y随x的增大而减小的是( )
A. y=3xB. y=1xC. y=−1xD. y=2x2
4.将抛物线y=−(x−3)2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为( )
A. y=−(x−5)2−1B. y=−(x−1)2−1
C. y=−(x−5)2+11D. y=−(x−1)2+11
5.如图，C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，则下列结论中正确的是( )
A. AC2+BC2=AB2B. BC≈0.618AB
C. AC= 5−12BCD. BC：AC=AC：AB
6.若点(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)分别在反比例函数y=−2x的图象上，且x1A. y17.若反比例函数y=ax的图象位于第一、三象限，则二次函数y=2ax2+x−a的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.已知△ABC中，AD是高，AD=2，DB=2，CD=2 3，则∠BAC为( )
A. 105°B. 15°C. 105°或15°D. 15°或60°
9.如图，在平面直角坐标系中，OA=3，将OA沿y轴向上平移3个单位长度至CB，连接AB，若反比例函数y=kx(x>0)的图象恰好经过点A及BC的中点D，则k值等于( )
A. 6
B. 2 5
C. 3
D. 5
10.△ABC的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若∠B=∠FAC，BD=AC，∠BDE=∠C，则根据图中标示的长度，求四边形ADEF与△ABC的面积比为何？( )
A. 1：3B. 1：4C. 2：5D. 3：8
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
11.如果a：b=2：3，那么(a+b)：b=______．
12.如图，直线l1//l2//l3.若AB=6，BC=10，EF=9，则DE的长为______．
13.如图，△ABC中，∠A=30°，E为AC上一点，且AE：EC=3：1，EF⊥AB，F为垂足，连接FC，则tan∠CFB的值等于______．
14.在二次函数y=x2−2tx+3中，t为大于0的常数．
(1)若此二次函数的图象过点(2,1)，则t等于______；
(2)如果A(m−2,a)，B(4,b)，C(m,a)都在此二次函数的图象上，且a三、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
计算：tan230°+2sin45°−sin60°⋅cs30°．
16.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为(−4,3)，(−3,−1)，(0,2)．
(1)△A1B1C1与△ABC是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置，并写出点E的坐标；
(2)以点D(−2,1)为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A2B2C2(其中A2与A，B2与B，C2与C是对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧)．
17.(本小题8分)
已知抛物线y=−2x2−x+6．
(1)用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；
(2)x取何值时，y<0？
18.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．
19.(本小题10分)
学校科技创新社团制作了一种固定翼飞机的机翼模型，形状如图所示.测得AD=50cm，CD=10cm，∠A=53.3°，∠ABC=111.8°，AB//DC，求AB边的长.(参考数据：sin53.3°≈0.80，cs53.3°≈0.60，tan53.3°≈1.34，sin68.2°≈0.93，cs68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.50)
20.(本小题12分)
如图1放置的木板余料，下方边缘AB为12dm，上方边缘呈抛物线形状，最大高度为9dm.如图2，建立平面直角坐标系，AB在x轴上，y轴正好是此木板的对称轴．

(1)求木板上方边缘对应的抛物线的函数表达式；
(2)如图3，若从此木板中切割出矩形HGNM，且边GN在x轴上，求此矩形的最大周长；
(3)若从此木板中横向切割出短边为2dm的矩形木板若干块(矩形的长边与x轴共线或平行)，然后拼接成一个短边为2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出此时的切割方案，并直接写出拼接后矩形长边的最长长度.(结果保留根号)
21.(本小题12分)
如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一动点，线段DE和AF相交于点P，连接PC，过A作AQ//PC交PD于点Q．
(1)证明：PC=2AQ；
(2)已知AD2=PD⋅DE，AB=10，AD=12，求BF的长；
(3)当点F为BC的中点时，求APPF的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y=x2−2中，a=1>0，
∴抛物线开口向上，
故选：B．
根据a>0，得出抛物线开口向上，即可求解．
本题考查了二次函数图象的性质，理解二次项系数大于0，抛物线开口向上是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，csB=BCAB，
∴BC=AB⋅csB=7cs35°，
故选：B．
根据余弦的定义列出算式，计算即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、y=3x，y随x的增大而增大，故本选项错误，
B、y=1x，y随x的增大而减小，故本选项正确，
C、y=−1x，y随x的增大而增大，故本选项错误，
D、y=2x2，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项错误，
故选：B．
利用一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质判定即可．
本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质，解题的关键是熟记一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质．
4.【答案】A
【解析】解：将抛物线y=−(x−3)2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为：y=−(x−3−2)2+5−6，即y=−(x−5)2−1．
故选：A．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5.【答案】D
【解析】解：∵C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，
∴ACAB=BCAC= 5−12≈0.618，
∴AC2=AB⋅BC，BC≈0.618AC，AC= 5−12AB，
故选：D．
根据黄金分割的定义进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了黄金分割，勾股定理，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：由题意，k=−2<0，
∴点(x1,y1)、(x2,y2)在第二象限，(x3,y3)在第四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，
∴y3最小，
∵x1∴0∴y3故选：B．
判断出各个点所在的象限，根据反比例函数的增减性可得其中两组点的大小关系，进而比较同一象限点的大小关系即可．
考查反比例函数图象上点的坐标的特点；用到的知识点为：第二象限点的纵坐标总大于第四象限点的纵坐标；在同一象限内，比例系数小于0，y随x的增大而增大．
7.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=ax的图象位于第一、三象限，
∴a>0，
∴抛物线开口向上，
∴二次函数y=2ax2+x−a的对称方程为直线x=−14a<0，
∴抛物线的顶点在y轴左侧，
∴D选项符合题意．
故选：D．
先根据反比例函数y=ax的图象位于第一、三象限判断出a的符号，再根据二次函数y=2ax2+x−a的对称轴方程即可得出结论．
本题考查的是反比例函数的性质和图象，二次函数的性质和图象，熟知以上知识是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：①当AD在三角形内部时，
∵tan∠BAD=BDAD=1，tan∠CAD=CDAD= 3，
∴∠BAD=45°，∠CAD=60°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=105°．
②当AD在△ABC外部时，
，
∵tan∠BAD=BDAD=1，tan∠CAD=CDAD= 3，
∴∠BAD=45°，∠CAD=60°，
∴∠BAC=∠CAD−∠BAD=15°．
故选C．
分两种情况讨论，①AD在三角形内部，②AD在三角形外部，分别画出图形求解即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是分类讨论，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．
9.【答案】B
【解析】解：设A(m,n)，则B(m,n+3)，
∵点D是BC的中点，C(0,3)，
∴D(m2,n+62)，
∵反比例函数y=kx(x>0)的图象恰好过点A与BC的中点D，
∴k=mn=m2⋅n+62，
解得n=2，
∴A(m,2)，
∵OA=3，
∴m2+22=32，
∴m= 5(负数舍去)，
∴A( 5,2)，
∴k= 5×2=2 5，
故选：B．
设A(m,n)，则由题意B(m,n+3)，进而求得D(m2,n+62)，根据反比例函数系数k=xy，得到k=mn=m2⋅n+62，解得n=2，利用勾股定理求得m的值，得到A( 5,2)，代入解析式即可求得k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化−平移，能够根据题意表示出A、D的坐标是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵∠C=∠C，∠CAF=∠B，
∴△CAF∽△CBA，
∴CACB=CFCA，
∴CA2=CF⋅CB，
∴CA2=5×16=80，
∵AC>0，
∴AC=4 5，
∴ACCB=4 516= 54，
∴S△ACF：S△ACB=5：16，
同法可证△BDE∽△BCA，
∵BD=AC，
∴BDBC= 54，
∴S△BDE：S△ABC=5：16，
∴S四边形ADEF：S△ABC=(16−5−5)：16=3：8，
故选：D．
证明△CAF∽△CBA，推出CA2=CF⋅CB，推出AC=4 5，可得ACCB=4 516= 54，推出S△ACF：S△ACB=5：16，同法S△BDE：S△ABC=5：16，由此可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】5：3
【解析】解：∵a：b=2：3，
∴(a+b)：b=2+33=53．
故答案为：5：3．
根据比例式的性质求解即可求得答案．
本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．
12.【答案】5.4
【解析】解：∵l1/​/l2/​/l3，
∴ABBC=DEEF，
即：610=DE9
∴DE=5.4，
故答案为：5.4．
由l1//l2//l3，得到ABBC=DEEF，代入数据即可得到结果．
本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．
13.【答案】4 33
【解析】解：过点C作AB的垂线，垂足为M，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90°．
在Rt△AEF中，
sinA=EFAE，
即EFAE=12．
令EF=3a，则AE=6a，
∴AF= (6a)2−(3a)2=3 3a．
∵AE：EC=3：1，
∴EC=2a，
∴AC=6a+2a=8a．
在Rt△ACM中，
sinA=MCAC，
则MC=12AC=4a．
csA=AMAC，
则AM=4 3a．
∴MF=AM−AF= 3a．
在Rt△CFM中，
tan∠CFB=CMMF=4a 3a=4 33．
故答案为：4 33．
过点C作AB的垂线，利用特殊角的三角函数值即可解决问题．
本题考查解直角三角形，过点C作AB的垂线构造出直角三角形及巧用特殊角的三角函数值是解题的关键．
14.【答案】32 36
【解析】解：(1)将(2,1)代入y=x2−2tx+3得：
1=4−4t+3，
解得：t=32，
故答案为：32．
(2)∵A(m−2,a)，C(m,a)都在二次函数图象上，
∴二次函数y=x2−2tx+3的对称轴为直线x=t=m−2+m2=m−1，
∵t>0，
∴m−1>0，
解得m>1，
∵m−2∴A点在对称轴左侧，C点对称轴右侧，
在二次函数y=x2−2tx+3中，令x=0，y=3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,3)，
∴点(0,3)关于对称轴对称点的坐标为(2m−2,3)，
∵b<3，
∴4<2m−2，解得m>3，
①当点A(m−2,a)，B(4,b)都在对称轴左侧时，
∵y随x的增大而减小，且a∴46，
此时m满足的条件为：m>6；
②当点A(m−2,a)在对称轴左侧，点B(4,b)在对称轴右侧时，
∵a∴点B(4,b)到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离，
∴4−(m−1)>m−1−(m−2)，
解得：m<4，
此时，m满足的条件是：3综上分析，36．
故答案为：36．
(1)将(2,1)代入y=x2−2tx+3计算得出t值即可；
(2)先根据点AC的纵坐标相等，可得对称轴x=t=m−1，再分两种情况讨论得出结果即可．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是分类讨论．
15.【答案】解：tan230°+2sin45°−sin60°⋅cs30°
=( 33)2+2× 22− 32× 32
=13+ 2−34
= 2−512．
【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.【答案】解：(1)如图，点E的位置即为所求，E(1,−1)；
(2)如图，△A2B2C2即为所求．

【解析】(1)对应点的连线的交点O即为位似中心；
(2)利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
本题考查作图−位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质．
17.【答案】解：(1)y=−2x2−x+6=−2(x2+12x+116)+18+6=−2(x+14)2+498，
顶点坐标(−14,498)，
对称轴是直线x=−14；
(2)令y=0，即−2x2−x+6=0，
解得x=−2或32，
∵抛物线开口向下，
∴当x<−2或x>32时，y<0．
【解析】(1)用配方法时，先提二次项系数，再配方，写成顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标及对称轴；
(2)令y=0，确定函数图象与x轴的交点，结合开口方向判断x的取值范围．
本题考查了二次函数的三种形式，抛物线的顶点式适合于确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最大(小)值，增减性等；抛物线的交点式适合于确定函数值y>0，y=0，y<0．
18.【答案】解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有AP=2t，BQ=4t，BP=10−2t，
当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB=BQ：BC，
即(10−2t)：10=4t：20，
解得t=2.5(s)
当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=(10−2t)：20，
解得t=1．
所以，经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似．
解法二：设ts后，△PBQ与△ABC相似，则有，AP=2t，BQ=4t，BP=10−2t
分两种情况：
(1)当BP与AB对应时，有BPAB=BQBC，即10−2t10=4t20，解得t=2.5s
(2)当BP与BC对应时，有BQAB=BPBC，即4t10=10−2t20，解得t=1s
所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似．
【解析】设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，根据路程公式可得AP=2t，BQ=4t，BP=10−2t，然后利用相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可．
本题综合了路程问题和三角形的问题，所以学生平时学过的知识要会融合起来．
19.【答案】解：作CE⊥AE，DF⊥AF，如图：

在Rt△ADF中，AD=50cm，∠A=53.3°，
∴DF=AD×sin53.3°=40cm，FA=AD×cs53.3°=30cm，
∵∠DFE=FEC=90°，
∴AB/​/CD，
∴∠FDC=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴CE=DF=40cm，
在Rt△BCE中，CE=40cm，∠CBE=180°−∠ABC=68.2°，
∴BE=CEtan68.2∘=16cm，
∴AB=AF+CD−BE=24cm，
【解析】作CE⊥AE，DF⊥AF，在Rt△ADF中，求出DF，AF，证四边形CDFE是矩形得CE=DF=40cm；在Rt△BCE中求出BE即可求解
本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键．
20.【答案】解：(1)由题意得：OA=OB=6，抛物线的顶点为(0,9)，
∴A(−6,0)，B(6,0)．
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∴36a+6b+c=036a−6b+c=0c=9，
解得：a=−14b=0c=9，
∴木板上方边缘对应的抛物线的函数表达式为y=−14x2+9；
(2)设M(m,−14m2+9)，
∵四边形HGNM为矩形，
∴M，N关于y轴对称，
∴N(−m,−14m2+9)，
∴MN=HG=−14m2+9，HM=NG=2m，
∴矩形HGNM的周长=2(MN+HM)
=2(−14m2+9+2m)
=−12m2+4m+18
=−12(m−4)2+26，
∵−12<0，
∴当m=4时，矩形HGNM的周长的最大值为26．
∴此矩形的最大周长为26；
(3)如图，切割方案如下：

设抛物线的顶点为C，在OC上依次截取OD=DE=EF=FG=2dm，分别过点D，E，F，G作AB的平行线，交抛物线与点H，I，J，K，L，M，N，P，则HI，JK，LM，NP为分割线，拼接后矩形长边的最长长度为HI+JK+LM+NP．
令y=2，则−14x2+9=2，
∴x=±2 7，
∴HI=4 7．
令y=4，则−14x2+9=4，
∴x=±2 5，
∴JK=4 5．
令y=6，则−14x2+9=6，
∴x=±2 3，
∴LM=4 3．
令y=8，则−14x2+9=8，
∴x=±2，
∴JK=4．
∴拼接后矩形长边的最长长度为4 7+4 5+4 3+4．
【解析】(1)利用线段的长度得到A，B和顶点坐标，再利用待定系数法解答即可；
(2)利用二次函数的解析式设M(m,−14m2+9)，利用矩形的性质和轴对称的性质求得点N的坐标，进而求得线段MH，MN的长度，利用矩形的周长的性质求得矩形的周长，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论；
(3)设抛物线的顶点为C，在OC上依次截取OD=DE=EF=FG=2dm，分别过点D，E，F，G作AB的平行线，交抛物线与点H，I，J，K，L，M，N，P，则HI，JK，LM，NP为分割线，拼接后矩形长边的最长长度为HI+JK+LM+NP.分别令y=2，4，6，8，依次求得分割线的长度，相加即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，矩形的性质，点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵AQ//PC，
∴∠AQE=∠CPD，
由题意知，AE/​/CD，AE=12AB=12CD，
∴∠AEQ=∠CDP，
∴ΔAEQ∽ΔCDP，
∴AQPC=AECD=12，
∴PC=2AQ；
(2)∵AD2=PD⋅DE，
即ADDE=PDAD，
∵∠ADP=∠EDA，
∴ΔADP∽ΔEDA，
∴∠DAP=∠DEA，
∵AD/​/BC，
∴∠DAP=∠AFB，
∴∠DEA=∠AFB，
在矩形ABCD中，∠DAE=∠ABF=90°，
∴ΔDAE∽ΔABF，
∴ADAB=AEBF，即1210=5BF，
∴BF=256；
(3)如图，延长DE交CB的延长线于点G，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∵AD/​/BC，
∴∠ADE=∠BGE，
∵∠AED=∠BEG，
∴ΔADE≌ΔBGE(AAS)，
∴AD=BG，
又AD=BC，
∴GC=BG+BC=2AD，
又点F为BC的中点，
∴BC=2BF，
∴AD=2BF，BG=2BF，
∴GF=BG+BF=3BF，
∴ADGF=2BF3BF=23，
由题意知，AD//GC，
∴ΔAPD∽ΔFPG，
∴APPF=ADGF=23．
【解析】(1)判断出∠AEQ=∠CDP，进而得出ΔAEQ∽ΔCDP，即可得出结论；
(2)先判断出ΔADP∽ΔEDA，得出∠DAP=∠DEA，进而判断出∠DEA=∠AFB，再判断出ΔDAE∽ΔABF，即可得出结论；
(3)先判得出ΔADE≌ΔBGE(AAS)，得出AD=BG，进而判断出GC=BG+BC=2AD，再判断出AD=2BF，BG=2BF，进而判断出ADGF=2BF3BF=23，判断出ΔAPD∽ΔFPG，即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．