2023-2024学年江西省九江市六校高二（上）期末数学试卷（北师大版）（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省九江市六校高二（上）期末数学试卷（北师大版）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y2=x的准线方程为( )
A. x=14B. x=−14C. y=14D. y=−14
2.已知随机变量X～N(2,σ2)，若P(X0)是相似椭圆，则下列结论中正确的是( )
A. 椭圆x26+y24=1与椭圆x212+y28=1相似
B. m可以取2
C. m可以取92
D. 双曲线x23−y2m=1的离心率为 153
12.由直线l：x−y+1=0上的一点P向圆C：x2−6x+y2+8=0引两条切线PA，PB，A，B是切点，则( )
A. 线段PA长的最小值为 7
B. 四边形PACB面积的最小值为 72
C. cs∠APB的最大值是34
D. 当点P的坐标为(0,1)时，切点弦AB所在的直线方程为3x−y−8=0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图所示，在四面体O−ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE=______(用a，b，c表示)．
14.从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有______条(用数值表示)
15.若圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B，且|AB|=2.则圆C的标准方程为______．
16.过点A(0,1)作斜率为k的直线l交双曲线x2−y22=1于P1，P2两点，线段P1P2的中点在直线x=12上，则实数k的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
直线2x−y−3=0与圆C交于E、F两点，E、F两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，且x1，x2是方程5x2−4x−5=0的两根．
(1)求弦EF的长；
(2)若圆C的圆心为(2,−3)，求圆C的一般方程．
18.(本小题12分)
如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，SA⊥底面ABCD，SA=2，设G是△ABC的重心，E是SD上的一点，且SE=3ED．
(1)试用基底{AB,AD,AS}表示向量GE；
(2)求线段GE的长．
19.(本小题12分)
已知动圆过定点M(0,4)，且在x轴上截得的弦AB的长为8．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)过轨迹C上一个定点P(m,n)(m≠0)引它的两条弦PS，PT，若直线PS，PT的斜率存在，且直线ST的斜率为−m4.证明：直线PS，PT的倾斜角互补．
20.(本小题12分)
如图1，在△ABV中，AC=BC=CV，AC⊥VB于C.现将△ABV沿AC折叠，使V−AC−B为直二面角(如图2)，D是棱AB的中点，连接CD、VB、VD．

(1)证明：平面VAB⊥平面VCD；
(2)若AC=1，且棱AB上有一点E满足BE=14BA，求二面角C−VE−A的正弦值．
21.(本小题12分)
在过去三年防疫攻坚战中，我国的中医中药起到了举世瞩目的作用.某公司收到国家药品监督管理局签发的散寒化湿颗粒《药品注册证书》，散寒化湿颗粒是依据第六版至第九版《新型冠状病毒肺炎诊疗方案》中的“寒湿疫方”研制的中药新药.初期为试验这种新药对新冠病毒的有效率，把该药分发给患有相关疾病的志愿者服用．
(1)若10位志愿者中恰有6人服药后有效，从这10位患者中选取3人，以ξ表示选取的人中服药后有效的人数，求ξ的分布列和数学期望；
(2)若有3组志愿者参加试验，甲，乙，丙组志愿者人数分别占总数的40%，32%，28%，服药后，甲组的有效率为64%，乙组的有效率为75%，丙组的有效率为80%，从中任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自乙组的概率．
22.(本小题12分)
设F1，F2为椭圆C：x2t+y2=1(t>1)的左、右两个焦点，P为椭圆上一点，且PF2⊥F1F2,|PF1||PF2|=3．
(1)求t的值；
(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点N(0,−12)，证明：k2−m为定值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，由此可得抛物线y2=x的准线方程．
本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键．
【解答】
解：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，
∴p2=14，
∴抛物线y2=x的准线方程为x=−14．
故选：B．
2.【答案】C
【解析】解：∵随机变量X～N(2,σ2)，
∴其图象关于直线x=2对称，
∵P(X