【备战2024年中考】一轮复习 初中数学 考点精讲精炼 第7讲 分式方程（题型突破+专题精练） 教师版+学生版

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A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．
【详解】分母中含有字母的是，，，∴分式有3个，故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．
2．（2023·上海·统考中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案.
【详解】解：设，则原方程可变形为，
即；
故选：D.
【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
3．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）方程的解是________．
【答案】
【分析】先去分母，左右两边同时乘以，再根据解一元一次方程的方法和步骤进行解答，最后进行检验即可．
【详解】解：去分母，得：，
化系数为1，得：．
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，正确找出最简公分母，注意解分式方程要进行检验．
4．（2023·江苏苏州·统考中考真题）分式方程的解为________________．
【答案】
【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程验根即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
5．（2017·江西·南昌市育新学校校联考一模）分式方程的解是_____．
【答案】
【分析】根据解分式方程的步骤计算即可．
【详解】去分母得：，
解得：，
经检验是方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查解分式方程，正确计算是解题的关键，注意要检验．
6．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）方程的解为___________．
【答案】
【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出的值．
【详解】解：，
方程两边同时乘以得，，
，
，
，
或．
经检验时，，故舍去．
原方程的解为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．
7.（2020·湖南郴州·中考真题）解方程：
【答案】x=3．
【分析】观察可得方程最简公分母为(x2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
【解析】解：去分母得， 解得，x=3，
经检验，x=3是原方程的根，所以，原方程的根为：x=3．
【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要检验．
8．（2022·江苏宿迁）解方程：．
【答案】x＝﹣1
【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可．
【详解】解：，
2x＝x﹣2+1，
x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是原方程的解，
则原方程的解是x＝﹣1．
【点睛】本题考查解分式方程，得出方程的解之后一定要验根．
9．（2020·黑龙江大庆·中考真题）解方程：
【答案】3
【分析】去分母化成整式方程，求出x后需要验证，才能得出结果；
【解析】，去分母得：，解得：．
检验：把代入中，得，∴是分式方程的根．
【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，准确计算是解题的关键．
10．（2020·陕西中考真题）解分式方程：．
【答案】x＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】解：方程，去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，移项得：-5x=-4，
系数化为1得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程．利用了转化的思想，解分式方程要注意检验．
11.（2021·浙江中考真题）解分式方程：．
【答案】
【分析】
先将分式方程化成整式方程，然后求解，最后检验即可．
【详解】
解：
．
．
经检验，是原方程的解．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的解法，将将分式方程化成整式方程是解题的关键，检验是解答本题的易错点．
12.（2021·江苏连云港市·中考真题）解方程：．
【答案】无解
【分析】
将分式去分母，然后再解方程即可．
【详解】
解：去分母得：
整理得，解得，
经检验，是分式方程的增根，
故此方程无解．
【点睛】
本题考查的是解分式方程，要注意验根，熟悉相关运算法则是解题的关键．
13.（2021·江苏南京市·中考真题）解方程．
【答案】
【分析】
先将方程两边同时乘以，化为整式方程后解整式方程再检验即可．
【详解】
解：，
，
，
，
检验：将代入中得，，
∴是该分式方程的解．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是牢记解分式方程的基本步骤，即要先将分式方程化为整式方程，再利用“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等方式解整式方程，最后不能忘记检验等．
14.（2021·陕西中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】
按照解分式方程的方法和步骤求解即可．
【详解】
解：去分母（两边都乘以），得，
．
去括号，得，
，
移项，得，
．
合并同类项，得，
．
系数化为1，得，
．
检验：把代入．
∴是原方程的根．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步骤是解题的关键，尤其注意解分式方程必须检验．
15.（2020·内蒙古通辽?中考真题）解方程：.
【答案】.
【解析】
【分析】
首先去掉分母，观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．
【详解】
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
化x的系数为1，得，
经检验，是原方程的根，
∴原方程的解为．
【点睛】
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤以及注意事项是解题的关键．
16.（2020·黑龙江大庆?中考真题）解方程：
【答案】3
【解析】
【分析】
去分母化成整式方程，求出x后需要验证，才能得出结果；
【详解】
，
去分母得：，
解得：．
检验：把代入中，得，
∴是分式方程的根．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的求解，准确计算是解题的关键．
17.（2020·陕西中考真题）解分式方程：．
【答案】x＝．
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：方程，
去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，
移项得：-5x=-4，
系数化为1得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
【点睛】
本题考查了解分式方程．利用了转化的思想，解分式方程要注意检验．
18.解方程：
【答案】x=3．
【分析】观察可得方程最简公分母为(x2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
【解析】解：去分母得， 解得，x=3，
经检验，x=3是原方程的根，所以，原方程的根为：x=3．
【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要检验．
19.解方程：；
【答案】x=0；
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
【解析】解：（1） 去分母得： 解得x=0，
经检验x=0是分式方程的解；
【点睛】本题考查了解分式方程与解不等式组，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解一元一次不等式组要注意不等号的变化．
20.解分式方程：．
【答案】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：
去分母，得，
解此方程，得，
经检验，是原分式方程的根．
【点睛】
本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，不要忘记检验．
题型二 含参问题
21．（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【分析】解分式方程求出，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：分式方程去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是非负数，
∴，且，
∴且，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．
22．（2020·黑龙江穆棱·朝鲜族学校中考真题）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．3B．5C．3或5D．3或4
【答案】D
【分析】解带参数m的分式方程，得到，即可求得整数m的值．
【解析】解：，两边同时乘以得：，
去括号得：，移项得：，合并同类项得：，
系数化为1得：，
若m为整数，且分式方程有正整数解，则或，
当时，是原分式方程的解；当时，是原分式方程的解；故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．
23．（2022·四川泸州）若方程的解使关于的不等式成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】先解分式方程得，再把代入不等式计算即可．
【详解】
去分母得：解得：
经检验，是分式方程的解
把代入不等式得：
解得故答案为：
【点睛】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则．
24．（2022·浙江宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为___________．
【答案】
【分析】根据新定义可得，由此建立方程解方程即可．
【详解】解：∵，∴，
又∵，∴，
∴，∴，∴，
∵即，∴，解得，
经检验是方程的解，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题的关键．
25．（2019·四川遂宁·中考真题）关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【分析】先对分式方程去分母，再根据题意进行计算，即可得到答案.
【解析】解：分式方程去分母得：，解得：，
根据题意得：，且，解得：，且．故选C．
【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是掌握分式方程的求解方法.
26．（四川凉山·中考真题）关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣5B．﹣8C．﹣2D．5
【答案】A
【解析】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m，解得：m=﹣5．故选A．
27.（2019·黑龙江伊春·中考真题）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m的范围即可
【解析】，方程两边同乘以，得，移项及合并同类项，得，
分式方程的解是非正数，，，解得，，故选A．
【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m的值
28．（2022·浙江舟山）观察下面的等式：，，，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明．
(1)解：∵第一个式子，
第二个式子，
第三个式子，……
∴第（n+1）个式子；
(2)解：∵右边==左边，
∴．
【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．
题型三 分式方程的解
29．（2020·四川遂宁·中考真题）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2B．m＝1C．m＝3D．m＝﹣3
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
【解析】解：去分母得：m+3＝x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
30．（2020·山东潍坊·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则_________．
【答案】．
【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出的值．
【解析】解：去分母得：，整理得：，
∵关于的分式方程有增根，即，∴，
把代入到中得：，解得：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．
31．（黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为__．
【答案】-1或5或
【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.
【解析】去分母得：，可得：，
当时，一元一次方程无解，此时，当时，则，
解得：或.故答案为：或或.
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.
32．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10 C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
【答案】D
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
【解析】解：去分母得，解得，
由方程的解为正数，得到，且，，
则m的范围为且，故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m的范围，其中考虑到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键．
33．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．
【解析】解：方程两边同时乘以得：，
∴，∴，∴，
∵解为非正数，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．
题型四 分式方程的应用
类型一 行程问题
34．（2023·云南·统考中考真题）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是米/分，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设乙同学的速度是米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可．
【详解】解∶设乙同学的速度是米/分，可得：
故选： D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
35．（2020·湖北荆州·中考真题）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A．-=20B．-=20C．-=D．=
【答案】C
【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解析】由题意可得，-=，故选：C．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
36．（2023·湖南·统考中考真题）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为千米/时，根据时间的等量关系列出方程即可．
【详解】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为千米/时，
根据题意列方程为：，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系是解题的关键．
37．（2020·广西中考真题）甲、乙两地相距，提速前动车的速度为，提速后动车的速度是提速前的倍，提速后行车时间比提速前减少，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】行驶路程都是600千米；提速前后行驶时间分别是：；因为提速后行车时间比提速前减少，所以，提速前的时间-提速后的时间=．
【解析】根据提速前的时间-提速后的时间=，可得
即故选：A
【点睛】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
38．（2023·四川·统考中考真题）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】若设路线a时的平均速度为x千米/小时，则走路线b时的平均速度为千米/小时，根据路线b的全程比路线a少用10分钟可列出方程．
【详解】解：由题意可得走路线b时的平均速度为千米/小时，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
39．（2022·四川乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
【答案】摩托车的速度为40千米/时
【分析】设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，
依题意，得：，解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的根，且符合题意，
答：摩托车的速度为40千米/时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
40．（2022·四川自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．
【答案】张老师骑车的速度为千米/小时
【分析】实际应用题的解题步骤“设、列、解、答”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可．
【详解】解：设张老师骑车的速度为千米/小时，则汽车速度是千米/小时，
根据题意得：，解之得，
经检验是分式方程的解，
答：张老师骑车的速度为千米/小时．
【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，根据问题设未知数，读懂题意，找到等量关系列出分式方程是解决问题的关键．
41．（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度．
【答案】(1) (2)千米/时
【分析】（1）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙列方程求解即可；（2）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，根据甲、乙恰好同时到达地列方程求解即可．
(1)解：设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，
由题意得：，解得：，
则（千米/时），
答：甲骑行的速度为千米/时；
(2)设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，
由题意得：，解得，
经检验是分式方程的解，
则（千米/时），
答：甲骑行的速度为千米/时．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
类型二 工程问题
42．（2023·湖北随州·统考中考真题）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修千米，根据“最终用的时间比甲工程队少半个月”列出分式方程即可．
【详解】解：设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修千米，
依题意得，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系．
43．（2022·山东泰安）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用天，现在甲、乙两队合做天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为天，下面所列方程中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设总工程量为，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为；因为乙工程队单独去做，要超过规定日期天，所以乙的工作效率为，根据甲、乙两队合做天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可．
【详解】解：设规定日期为天，由题意可得，，
整理得，或或．
则选项均正确，故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
44．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做个零件，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设甲每天做x个零件，根据甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相同，列出方程即可．
【解析】解：设甲每天做x个零件，根据题意得：，故选：A．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．
45．（2022·重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
【答案】(1)100米(2)90米
【分析】（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建米，根据工效问题公式：工作总量＝工作时间×工作效率，列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建米，根据水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同，可知每队修建900米，再结合两队同时开工修建，直至同时完工，可得两队工作时间相同，列出关于y的分式方程，解方程即可得出答案．
(1)解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建米，
则有解得
∴甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米．
(2)∵水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同
∴两队修建的长度都为1800÷2＝900(米)
乙施工队技术更新后，修建长度为900－360＝540(米)
解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建米，即1.2y米
则有解得
经检验，是原方程的解，符合题意
∴乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用，应注意分式方程要检验，读懂题意，正确设出未知数，并列出方程，是解题的关键．
类型三 方案选择
46．（2020·湖北恩施·中考真题）某校足球队需购买、两种品牌的足球．已知品牌足球的单价比品牌足球的单价高20元，且用900元购买品牌足球的数量用720元购买品牌足球的数量相等．
（1）求、两种品牌足球的单价；
（2）若足球队计划购买、两种品牌的足球共90个，且品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买品牌足球个，总费用为元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
【答案】（1）购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元；
（2）该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元．
【分析】（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x-20）元，根据用900元购买品牌足球的数量用720元购买品牌足球的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买m个A品牌足球，则购买（90−m）个B品牌足球，根据总价＝单价×数量结合总价不超过8500元，以及品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【解析】解：（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x-20）元，根据题意，得解得：x=100经检验x=100是原方程的解x-20=80
答：购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元．
（2）设购买m个A品牌足球，则购买（90−m）个B品牌足球，则W=100m+80(90-m)=20m+7200
∵品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．
∴解不等式组得：60≤m≤65
所以，m的值为：60,61,62,63,64,65即该队共有6种购买方案，
当m=60时，W最小 m=60时，W=20×60+7200=8400(元)
答：该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
47．（2019·湖南衡阳·中考真题）某商店购进、两种商品，购买1个商品比购买1个商品多花10元，并且花费300元购买商品和花费100元购买商品的数量相等．（1）求购买一个商品和一个商品各需要多少元；（2）商店准备购买、两种商品共80个，若商品的数量不少于商品数量的4倍，并且购买、商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
【答案】（1）购买一个商品需要15元，购买一个商品需要5元；（2）商店有2种购买方案，方案①：购进商品65个、商品15个；方案②：购进商品64个、商品16个．
【分析】（1）设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买商品和花费100元购买商品的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买商品个，则购买商品个，根据商品的数量不少于商品数量的4倍并且购买、商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可找出各购买方案．
【解析】解：（1）设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，
依题意，得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，∴．
答：购买一个商品需要15元，购买一个商品需要5元．
（2） 设购买商品个，则购买商品个，
依题意，得：，解得：．
∵为整数，∴或16．∴商店有2种购买方案，方案①：购进商品65个、商品15个；方案②：购进商品64个、商品16个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
类型四 其他问题
48．（2023·广东深圳·统考中考真题）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．
【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输吨，
则．
故选：B.
【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．
49．（2023·湖南张家界·统考中考真题）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设元购买椽的数量为x株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案．
【详解】解：设元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为，
由题意得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．
50．（2023·浙江台州·统考中考真题）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有________人．
【答案】3
【分析】审题确定等量关系：第一组平均每人植树棵数＝第二组平均每人植树棵数，列方程求解，注意检验．
【详解】设第一组有x人，则第二组有人，根据题意，得
去分母，得
解得，
经检验，是原方程的根．
故答案为：3.
【点睛】本题考查分式方程的应用，审题明确等量关系是解题的关键，注意分式方程的验根．
51．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
【答案】乙商品的进价40元/件；补全进货单见详解
【分析】设出乙的进货价为x，表示出乙的进货数量，表示出甲的进货数量与进货价，根据假的进货数量乘以进货价等于甲的总金额列出方程，解出方程即可．
【解析】解：设乙的进货价为x，则乙的进货数量为 件，
所以甲的数量为（+40）件，甲的进货价为x（1+50%）
可列方程为：x（1+50%）（+40）=7200
4800+60x=7200 60x=2400 解得：x=40．
经检验：x=40是原方程的解，所以乙的进价为40元/件．答：乙商品的进价为40元/件．
，+40=120，x（1+50%）=60，
补全进货单如下表：
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，通过题目给的条件，设出乙的进货价，表示出甲的数量与进货价，通过甲的进货价×甲的数量=甲的总金额，列出分式方程，解出答案，解答本题的关键在于表示出相关量，找出等量关系，列出方程．
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
7200
乙
3200
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
60
120
7200
乙
40
80
3200