2023-2024学年浙江省台州市高二上学期期末数学试题

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命题：陈传熙（玉环中学） 钭伟炀（台州市洪家中学）
审题：陈清妹（台州中学）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】本题考查直线的斜率.
由得，此直线的斜率为；由斜率的定义有.
因为直线的倾斜角，所以.
故正确答案为A
2. 点关于坐标平面Oxy对称的点的坐标是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题根据关于坐标平面对称的点的坐标直接求解即可.
【详解】因为点关于Oxy平面对称的点的坐标是，
所以点关于平面对称的点的坐标是，
故选：C
3. 一个盒子中装有3个红球和1个白球（这些球除颜色外其余均相同），从中任取2个球，设事件A=“恰有一个红球”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出共有多少种取球方法，再计算事件A=“恰有一个红球”的方法数，根据古典概型的计算公式求得答案.
【详解】个盒子中装有3个红球和1个白球（这些球除颜色外其余均相同），从中任取2个球共有种取法，
事件A=“恰有一个红球”的方法数为 ，
因此，
故选：C.
4. 已知数列的前n项和，则该数列的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当时，，当时，，得到答案.
【详解】当时，.
当时，，不符合上式；
所以数列的通项公式为.
故选：D.
5. 已知直线与直线平行，则m的值为（ ）
A. 3B. C. 3或D. 3或4
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线平行的判定得即可求m值，注意验证两直线是否平行，而非重合.
【详解】由题设，，可得或，
当时，、平行，符合题设；
当时，、重合，不合题设；
∴.
故选：B.
6. 在等比数列中，，，则公比q的值为（ ）
A. 1B. C. 1或2D. 1或
【答案】D
【解析】
【分析】讨论、，由已知结合等比数列前n项和公式求公比q.
【详解】由题设，当时，符合题设；
当时，，
∴，则，可得或（舍），
综上，或.
故选：D.
7. 已知A，B两点在以F为焦点的抛物线上，并满足，过弦AB的中点M作抛物线对称轴的平行线，与OA交于N点，则MN的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知结合抛物线的性质，求得坐标，进而求得坐标，即可得解.
【详解】由，利用抛物线对称性，不妨设A在第一象限，作垂直于抛物线准线，垂足分别为，作于C,如图所示，
设，由抛物线的定义知,
在中，，则,
所以，所以直线AB的方程为,
与抛物线的方程联立得，解得，,
所以，，故AB的中点,
直线OA的方程为，令，得，
所以MN的长为
故选：C
8. 在三棱台中，底面BCD，，，．若A是BD中点，点P在侧面内，则直线与AP夹角的正弦值的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用异面直线的夹角定义转化为求直线与AP夹角的正弦值最小，需点到AP的距离最小，最小值为点到面的距离，再利用等体积法求出距离，进而得解.
【详解】如图，分别取的中点，连接，
取的中点，连接
由三棱台的性质知，且，
所以四边形为平行四边形，
又，，故直线与AP的夹角为直线与AP的夹角，
要使直线与AP夹角的正弦值最小，需点到AP的距离最小，
又点P在侧面内，则需点到AP的距离最小，即点到面的距离，
设点到面的距离为，利用等体积法知
即，即，
在直角中，，，
又在中，，，，
，又
设直线与AP夹角的最小值为，则
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查异面直线的夹角，解题的关键是通过异面直线夹角定义转化，再将所求夹角正弦值转化为点到AP的距离最小，即点到面的距离，考查学生的转化化归能力与运算求解能力，属于难题。
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A. ，的坐标分别为，B. 椭圆的离心率为
C. 的最小值为1D. 当P是椭圆的短轴端点时，取到最大值
【答案】ACD
【解析】
【分析】由椭圆方程知，利用椭圆的性质可判断ABC；利用余弦定理结合基本不等式可判断D.
【详解】椭圆，其中，
对于A，，，的坐标分别为，，故A正确；
对于B，椭圆的离心率为，故B错误；
对于C，，所以的最小值为1，故C正确；
对于D，当P在椭圆的长轴端点时，；当P不在长轴端点时，，
利用余弦定理可知，
当，即P在椭圆的短轴端点时，最小，此时最大，故D正确；
故选：ACD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 是等差数列的第8项
B. 在等差数列中，若，则当时，前n项和取得最大值
C. 存在实数a，b，使成等比数列
D. 若等比数列的前n项和为，则，，成等比数列
【答案】BD
【解析】
【分析】求出通项公式，代入即可判断A项；根据通项公式，得出首项、公差的值，得到表达式，即可判断B项；设为等比数列，根据等比中项可得，，易知无实数解，即可判断C项；分和，根据前n项和公式，即可判断D项.
【详解】对于A项，易知等差数列的通项为，则，故A项错误；
对于B项，由已知，，所以，所以当时，取得最大值，故B项正确；
对于C项，若存在实数a，b，使得成等比数列，则，，显然无实数解，故C项错误；
对于D项，设的公比为.当时，有，满足等比数列；当时，，，，满足等比数列.
综上所述，，，成等比数列，故D项正确.
故选：BD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心，则
B. 在四面体OABC中，若，则A，B，C，G四点共面
C. 已知平行六面体的棱长均为1，且，则对角线的长为
D. 若向量，则称（m，n，k）为在基底下的坐标．已知向量在单位正交基底下的坐标为（1，2，3），则在基底下的坐标为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A令，，，，由G是底面三角形ABC的重心，利用向量的坐标表示即可判断；B根据空间向量共面的结论即可判断；C由，应用向量的运算律求的模即可；D用基底及对应坐标表示出向量即可判断.
【详解】A：令，，，，又G是底面三角形ABC的重心，
∴，，，，，
∴成立，正确；
B：由，而，故A，B，C，G四点不共面，错误；
C：如下图，，
∴，又且棱长为1，
∴，则，正确；
D：在基底下坐标为，则，故在基底下坐标为（1，2，3），正确.
故选：ACD.
12. 两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）．已知圆锥轴截面的顶角为2θ，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为α．当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线；当时，截口曲线为双曲线．在长方体中，，，点P在平面ABCD内，下列说法正确的是（ ）
A. 若点P到直线的距离与点P到平面的距离相等，则点P的轨迹为抛物线
B. 若点P到直线的距离与点P到的距离之和等于4，则点P的轨迹为椭圆
C. 若，则点P的轨迹为抛物线
D. 若，则点P的轨迹为双曲线
【答案】BD
【解析】
【分析】A、B将距离转化到平面ABCD内P到定点、定直线的距离，结合圆锥曲线的定义判断正误；C、D确定被截圆锥的轴与截面ABCD的夹角，并比较被截圆锥轴截面顶角一半的大小关系，结合题设判断P的轨迹.
【详解】A：如下图，P到直线的距离与P到平面的距离相等，又P在平面ABCD内，
∴在平面内，P到的距离与P到直线的距离相等，又，
∴在直线上，故P的轨迹为直线，错误；
B：P到直线的距离与P到的距离之和等于4，
同A知：平面内，P到直线的距离与P到的距离之和等于4，而，
∴P的轨迹为椭圆，正确；
C：如下示意图，根据正方体的性质知：与面所成角的平面角为，
∴时，相当于以为轴，轴截面的顶角为的圆锥被面所截形成的曲线，
而，则，即，故P的轨迹为椭圆，错误；
D：同C分析：时，相当于以为轴，轴截面的顶角为的圆锥被面所截形成的曲线，
而，即，故P的轨迹为双曲线，正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：将空间点线、点面距离转化为平面点点、点线距离判断轨迹，由题设及给定的条件确定被截圆锥的轴与截面ABCD的夹角、被截圆锥轴截面顶角大小，进而确定轨迹形状.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．第16小题第1空3分，第2空2分）
13. 已知△的三个顶点分别是点A（4，0），，，则△的外接圆的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】令外接圆圆心，而中点为、中点为，由求x、y，进而求半径，即可写出△的外接圆的方程.
【详解】令△的外接圆圆心，又A（4，0），，
∴中点为，则，则，
中点为，则，则，
∴圆心，又外接圆的半径，
∴△的外接圆的方程为.
故答案为：.
14. 在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】由正方体的性质易得△斜边上的高为到平面的距离，结合已知即可求值.
【详解】由题设可得示意图如下，根据正方体的性质知：面面，又△为等腰直角三角形，
∴△斜边上的高，即为到平面的距离，又正方体棱长为1，
∴到平面的距离为.
故答案为：.
15. 双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点P，若，则双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题设，不妨令，过作，则，结合勾股定理、等腰直角三角形求，再由双曲线定义求参数间的数量关系，进而求离心率.
详解】如下图，垂直一条渐近线，则，
过作，故，又，
∴，，又在△中，故，，
由双曲线定义知：，则，
∴.
故答案为：.
16. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子来研究数．他们根据小石子所排列的形状把数分成许多类，如图（1）可得到三角形数1，3，6，10，…，图（2）可得到四边形数1，4，9，16，…，图（3）可得到五边形数1，5，12，22，…，图（4）可得到六边形数1，6，15，28，…．进一步可得，六边形数的通项公式______，前n项和______．
（参考公式：）
【答案】 ①. ； ②. .
【解析】
【分析】由题设易知是首项为5，公差为4的等差数列，累加法求通项公式，利用分组求和求.
【详解】设六边形中，则是首项为5，公差为4等差数列，
∴，
∴
，
∴，当时，符合该式，
∴，
.
故答案为：，.
四、解答题（本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 某机构的招聘面试有3道难度相当的问题，假设小明答对每个问题的概率都是0.6．按照规则，每位面试者共有3次机会，一旦答对所抽到的问题，则面试通过，否则继续抽取下一个问题，依次类推，直到第3个问题为止．用G表示答对问题，用B表示答错问题，假设问题是否答对相互之间不影响．
（1）请写出这个面试的样本空间；
（2）求小明不能通过面试的概率．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题设写出样本空间即可.
（2）由小明不能通过面试事件为，应用独立事件乘法公式求概率即可.
【小问1详解】
由题设，样本空间为.
【小问2详解】
由题意，小明不能通过面试的事件为，
∴小明不能通过面试的概率.
18. 已知圆C的圆心在直线上，且与x轴相交于点M（2，0）和N（4，0）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，试问符合要求的直线有几条？并求出相应直线l的方程．
【答案】（1）;
（2）有2条，分别为、。
【解析】
【分析】（1）由题设易知圆心在直线上，联立求圆心坐标，进而求半径，即可得圆的方程.
（2）判断的位置，讨论直线l斜率，结合圆的方程，应用韦达定理、弦长公式求参数，即可判断直线的条数及对应方程.
【小问1详解】
由题设，中点为，则圆心在直线上，联立，可得圆心为，
∴圆的半径为，
综上，圆C的标准方程：.
【小问2详解】
∵，
∴在圆外，
当直线l斜率不存在时，直线方程为，则，，显然符合题设；
当直线l斜率存在时，设为，联立圆C可得：，
若，，则，，
∴，可得：.
∴此时，直线l：，即.
综上，符合条件的直线有2条，分别为、.
19. 在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，．
（1）若PB的中点为E，求证：平面PCD；
（2）若PB与底面ABCD所成的角为60°，求平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取PC的中点F，连接EF，DF，推导出四边形ADFE是平行四边形，，由此能证明平面PCD；
（2）△为等边三角形，是中点，作，以为原点，、、为x、y、z轴建空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【小问1详解】
如图，取PC的中点F，连接EF，DF，
，F分别为PB，PC的中点，
，，
且，
且，
四边形ADFE是平行四边形，
，
平面PCD，平面PCD，
平面PCD．
【小问2详解】
若是中点，作，由底面ABCD为直角梯形且，，，
由侧面底面ABCD，面面，面，
∴在面ABCD的投影在直线上，又PB与底面ABCD所成的角为60°，
∴PB与底面ABCD所成角的平面角，则△为等边三角形.
∴以为原点，、、为x、y、z轴建空间直角坐标系，如下图示：
∴、、、，则，，，
设平面BDP的法向量，则，取，得，
设平面PCD的法向量，则，取，得，
设平面PCD与平面PBD的夹角为，则，
平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值为．
20. 已知数列的首项，且满足．
（1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）设，，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对已知等式两边取倒数，再利用等比数列的定义证明，进而求得通项公式；
（2）利用错位相减法求和即可求解.
【小问1详解】
由，两边取倒数得，
即，即
故数列是首项为，公比为3的等比数列，
所以，，即
所以数列的通项公式为
【小问2详解】
由（1）知，，
①
②
两式相减得：
21. 已知椭圆的离心率为，椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上．
（1）求△面积的最大值；
（2）设过点P的椭圆的切线方程为，试用k，m表示点P的坐标；
（3）设点P坐标为，求证：一条光线从点发出到达P点，经过椭圆反射后，反射光线必经过点．
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由离心率求椭圆方程，再由椭圆中焦点三角形的性质即可求其最大面积.
（2）联立直线与抛物线，整理成一元二次方程形式，根据求得，进而求P的坐标即可.
（3）由题设求得P的切线斜率、、，令的左切角为，的右切角为，应用到角公式求，即可证结论.
【小问1详解】
由题设，，又，则，可得，
∴椭圆方程为，而在椭圆上下顶点时，△面积的最大，
∴.
【小问2详解】
联立与，整理得：，
∵直线与椭圆相切，即，
∴，故，
∴，则，故.
【小问3详解】
由P处的切线方程为，故切线斜率为，
设的左切角为，的右切角为，而，，
由到角公式：，，
∴，即，
当P为或时，过P的切线方程分别为、，
由椭圆的对称性知：光线从点发出到达P点，经过椭圆反射后，反射光线必经过点.
综上，一条光线从点发出到达P点，经过椭圆反射后，反射光线必经过点，得证．
【点睛】关键点点睛：第三问，求P的切线斜率、、，再应用到角公式求、与P处的切线夹角大小.